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指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题


1

指数函数、对数函数及幂函数知识总结
一、知识框图

二、知识要点梳理 ? 指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数 且 叫做指数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 在第一象限内,从逆时针方向看图象, 逐渐增大;在第二象限内,从逆时 象的影响 针方向看图象, 逐渐减小. 常见性质 n 次方根的性质:

2

(1)当 为奇数时, (2) 分数指数幂的意义:

;当 为偶数时,

; 注意:0 的正分数指数幂等与 0,负分数指数幂没有意义. 有理数指数幂的运算性质:

(1)

(2)

(3)

?

对数函数 函数名称 定义 函数 对数函数 且 叫做对数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

3

函数值的 变化情况

变化对图 在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限内,从顺时 象的影响 针方向看图象, 逐渐减小. 几个重要的对数恒等式 , , .

常用对数与自然对数 常用对数: …). ,即 ;自然对数: ,即 (其中

对数的运算性质 如果 常见性质 ①加法: ,那么

②减法: ③数乘: ④



⑥换底公式:

4

?

幂函数 形如 的函数,叫做幂函数,其中 为常数.

三、考题训练 1 1.(2012·新课标全国高考文科·T11)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2 (C)(1, 2) ) (D)( 2,2) )

2.(2012·安徽高考文科·T3)( log2 9 )·( log3 4 )=( (A)
1 4

(B)

1 2

(C)2

(D)4

3.(2012·天津高考文科·T6)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的 为( )

(A)y=cos2 x, x ? R

(B)y=log2 | x | , x ? R且x ? 0
(D)y=x3 +1, x ? R

e x ? e? x (C)y= ,x?R 2

4.(2012·北京高考文科·T12)已知函数 f(x)=lgx,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2) =___________. 5.(2012·江苏高考·T5)函数

f ( x) ? 1 ? 2log6 x

的定义域为

.

6.(2012·山东高考文科·T15)若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4, 最小值为 m,且函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=
1 7.函数 y=( )x-2x 在区间[-1, 1]上的最大值为 3

.

.

5

8.记函数 y ? 1 ? 3? x 的反函数为 y ? g ( x) ,则 g (10) ? A. 2 B. ?2 C. 3

D.

?1

9.若函数 f(x)=logxa 在[2,4]上的最大值与最小值之差为 2,则 a=___ 10.函数 y ? log 1 (3x ? 2) 的定义域是____________
2

?x ? 1 ?2 ( x?1) 10.f(x)= ? 则满足 f(x)= 的 x 的值是_______________3 x 4 ? ?log81 ( x?1)

11.设 f

?1

( x) 是函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 的反函数,若 [1 ? f ?1 (a)][ 1 ? f ?1 (b)] ? 8 ,则

f(a+b)的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D.

log2 3


12.函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在 x ? [2,4] 上是增函数,则 a 的取值范围是( A. a ? 1 B. a ? 0, a ? 1 C. 0 ? a ? 1 D. a ? ? .

13.方程 lg(4 x ? 2) ? lg 2 x ? lg 3 的解是___________________
1 14. a ? ? 是函数 f ( x) ? ln(e x ? 1) ? ax 为偶函数的 c 2 (A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

15.已知函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? ax ? a) 的值域为 R,且 f(x)在( ? ?,1 ? 3) 上是增函数,则 a
2

的范围是 16.函数 y=log2(1-x)的图象是 (A)
y

.

(B)
y

(C)
y y

(D)

O

1

x

-1 O

x

O

1

x

O 1

x

16.已知 9x-10.3x+9≤0,求函数 y=(

1 x-1 1 ) -4·( )x+2 的最大值和最小值 4 2

6

17.设函数 f ( x) ?

1 , 4 ?2
x

(1)求证:对一切 x ? R, f ( x) ? f (1 ? x) 为定值;
1 2 n ?1 ) ? f (1) (2)记 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( n n n 前 n 项和. (n ? N * ) , 求数列 {an } 的通项公式及


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