当前位置:首页 >> 数学 >>

【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识+典例精析)6.7数学归纳法课件 理 新人教B版_图文

第七节 数学归纳法

三年3考

高考指数:★★

1.了解数学归纳法的原理;
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

1.归纳——猜想——证明仍是高考的重点;

2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合,在知识交
汇处命题;

3.题型以解答题为主,难度中等偏上.

数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按以下步骤: 第一个值n0 (1)(归纳奠基)证明当n取____________(n 0∈N+)时命题成立;

(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当
n=k+1 时命题也成立. ________ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.

【即时应用】 (1)判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“√”或 “×”)

①用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1.
②数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.
2

(
(

)
)

③应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 1 n(n-3)条时, 第一步是检验n等于3. ( )

④用数学归纳法证明“1+2+22+?+2n+2=2n+3-1”时,验证n=1时,

左边式子应为1+2+22.

(

)

(2)用数学归纳法证明1+a+a2+?+an+1=

1 ? a n?2 (a≠1,n∈N+), 1? a

在验证n=1成立时,左边需计算的项是_________. (3)凸k边形内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和为 f(k+1)=f(k)+_________.

【解析】(1)①错误.有些数学归纳法证明题,第一步验证初始 值不是1,可能为2,3,4等. ②正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可,第一步是归纳奠基,

第二步是归纳递推.
③正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0. ④错误.验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23. (2)当n=1时,左边=1+a+a2. (3)易得f(k+1)=f(k)+π.

答案:(1)①× ②√

③√

④×

(2)1+a+a2 (3)π

用数学归纳法证明等式
【方法点睛】 用数学归纳法证明等式的规则 (1)数学归纳法证明等式要充分利用定义,其中两个步骤缺一不 可,缺第一步,则失去了递推基础,缺第二步,则失去了递推 依据.

(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律,两边各有多少项,

并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利
用假设,不利用n=k时的假设去证明,就不是数学归纳法. 【提醒】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边 的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.

【例1】(2012·烟台模拟)是否存在常数a,b,c,使得等式(n212)+2(n2-22)+?+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立? 若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说明理由. 【解题指南】本题是开放式、存在性的问题,一般是先假设存 在,利用特值求得a、b、c的值,而后用数学归纳法证明.

【规范解答】假设存在a、b、c使得所给等式成立.
?a ? b ? c ? 0 ? 令n=1,2,3代入等式得 ?16a ? 4b ? c ? 3 , ?81a ? 9b ? c ? 18 ?
1 ? a ? ? 4 ? 1 解得 ? b ? ? . ? 4 ? ?c ? 0 ? ?

以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+?+n(n2-n2)
? 1 4 1 2 对一切正整数n都成立. n ? n 4 4

(1)当n=1时,由以上可知等式成立;

(2)假设当n=k时,等式成立,即(k2-12)+2(k2-22)+? +k(k2-k2)=
1 4 1 2 k ? k , 4 4

则当n=k+1时, [(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+?+k[(k+1)2-k2]+

(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]
=(k2-12)+2(k2-22)+?+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+?+k(2k+1)
k ? k ? 1? 1 1 1 1 4 2 ? k4 ? k2 ? (2k ? 1) ? ? k ? 1? ? ? k ? 1? . 4 4 2 4 4

由(1)、(2)知,等式对一切正整数n都成立.

【反思·感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题,一般

是先假设结论成立,利用n的前几个取值求参数,而后用数学归
纳法证明. 2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时,事实上,“归纳假 设”已经成了已知条件,“n=k+1时结论正确”则是求证的目标, 可先用分析法的思路,借助已学过的公式、定理或运算法则进

行恒等变形,把待证的目标拼凑出归纳假设的形式,再把运用
归纳假设后的式子进行变形、证明.

用数学归纳法证明不等式问题

【方法点睛】
应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容
易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时 也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求 差(求商)比较法、放缩法等证明.

【例2】由下列不等式:
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ??? ? ,1 ? ? ??? ? 2,?, 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15

你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式,关键是证明, 证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.

【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式, 即一般不等式为:
1? 1 1 1 n ? ??? n ? ? n ? N? ?. 2 3 2 ?1 2 1 2

用数学归纳法证明如下:

(1)当n=1时, 1 ? , 猜想成立;

(2)假设当n=k时,猜想成立,即 1 ? 1 ? 1 ??? k1
2 3

k ? . 2 ?1 2 1 2
k ?1

则当n=k+1时,1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ??? k k k
2 3 2 ?1 2 2 ?1

?1

?

k 1 1 1 k 2k k ?1 ? k? k ??? k ?1 ? ? k ?1 ? , 2 2 2 ?1 2 ?1 2 2 2

即当n=k+1时,猜想也正确,所以对任意的n∈N+,不等式都 成立.

【反思·感悟】1.本例在由n=k到n=k+1这一步变化中,不等式 左边增加了
1 1 1 1 k项, 即增加了 2 ? ? ??? 2k 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 2k ? 1

这一点很关键,若项数写不正确,该题的证明将无法正确得出 . 2.当n=k+1时的证明中采用了放缩法,即将已知式子分母变大, 从而所得结果变小,顺利地与要证的式子接轨从而得以证明, 此种方法是证明不等式的常用方法,应用时要注意是放大还

是缩小.

归纳—猜想—证明类问题 【方法点睛】

归纳—猜想—证明类问题的解题步骤
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在 性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推 理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性, 这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.

(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—
证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.

【例3】(2011·南京模拟)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1. (1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式;

(2)用数学归纳法证明所得的结论.
【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+?+an,且Sn+an=2n+1,代入

n=1,2,3得a1,a2,a3,从而猜想an.
(2)应用数学归纳法证明时,要利用n=k的假设去推证n=k+1 时成立.

【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得
3 7 15 1 a1 ? ,a 2 ? ,a 3 ? , 猜想a n ? 2 ? n . 2 4 8 2

(2)①由(1)得n=1时,命题成立;

②假设n=k时,命题成立,即 a k ? 2 ? 1k ,
2

那么当n=k+1时,a1+a2+?+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且a1+a2+?+ak=2k+1-ak,

∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
1 1 ,a ? 2 ? , 即当n=k+1时,命题也成立. k ?1 k k ?1 2 2 1 a ? 2 ? 根据①、②得,对一切n∈N+, n 都成立. 2n ? 2a k ?1 ? 2 ? 2 ?

【反思·感悟】“归纳—猜想—证明”是不完全归纳法与数
学归纳法综合应用的解题模式,此种方法在解探索性问题、

存在性问题时起着重要的作用,特别是在数列中求 an,Sn时更
是应用频繁.

用数学归纳法证明整除性问题或 与平面几何有关的问题 【方法点睛】 数学归纳法的综合应用

(1)应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类:
①是整除数,②是整除代数式.这两类证明最关键的问题是“配

凑”要证的式子(或是叫做“提公因式”),即当n=k+1时,将
n=k时假设的式子提出来,再变形,可证.

(2)应用数学归纳法证明与平面几何有关的命题,其关键是从前 几项的情形中归纳出一个变化过程,用f(k+1)-f(k)就可以得到 增加的部分,然后理解为何是增加的,就可以从容解题了.

【例4】证明下列问题: (1)已知n为正整数,a∈Z,用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能

被a2+a+1整除.
(2)有n个圆,任意两个都相交于两点,任意三个不交于同一点, 求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+). 【解题指南】(1)当n=k+1时,把ak+2+(a+1)2k+1提出ak+1+(a+1)2k-1 的形式是解题的关键. (2)当n=k+1时,第k+1个圆与前k个圆相交,平面区域增加了2k 个部分是解题的关键.

【规范解答】(1)①当n=1时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1, 能被a2+a+1整除. ②假设当n=k(k∈N+)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, 那么当n=k+1时, ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]+ak+2-ak+1(a+1)2 =(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除. 即当n=k+1时,命题也成立.

根据①、②可知,对于任意n∈N+,
an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.

(2)①当n=1时,1个圆将平面分成两部分. f(1)=12-1+2=2,∴n=1时,命题成立. ②假设当n=k(k≥1且k∈N+)时, k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.

当n=k+1时,在k个圆的基础上再增加一个圆与原k个圆都相交,
圆周被分成2k段弧,增加了2k个平面区域. ∴f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2, 即当n=k+1时,命题也成立. 综上知,对任意n∈N+,命题都成立.

【反思·感悟】1.用数学归纳法证明整除问题,P(k)? P(k+1)的整式变形是个难点,找出它们之间的差异,然后将 P(k+1)进行分拆,配凑成P(k)的形式,也可运用结论: “P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除?P(k+1)能被p整除.” 2.证明与平面几何有关的问题,其着眼点是找规律,由前几项 可找到规律,进行应用即可.

【满分指导】数学归纳法解答题的规范解答

【典例】(12分)(2012·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,
并且满足 2Sn ? a 2 n ? n,a n ? 0 ? n ? N ? ? .

(1)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
(2)设x>0,y>0,且x+y=1,证明: a n x ? 1 ? a n y ? 1 ? 2 ? n ? 2 ?.

【解题指南】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,从而可 猜想an,并用数学归纳法证明. (2)利用分析法,结合x>0,y>0,x+y=1,利用均值不等式可证. 【规范解答】(1)分别令n=1,2,3,得
?2a1 ? a12 ? 1 ? 2 , ? 2 ? a1 ? a 2 ? ? a 2 ? 2 ? 2 2 a ? a ? a ? a ?3 ? ? 1 2 3 3 ?

∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3.

猜想:an=n.

??????????????????2分

由 2S ? a 2 ? n n n
2 可知,当n≥2时, 2Sn?1 ? a n ?1 ? (n ? 1)
2 ①-②,得 2a n ? a n ? a 2 ? 1,
n ?1

① ②

2 即 a2 ? 2a ? a n n n ?1 ? 1.

??????????????? 3分

(ⅰ)当n=2时,a 22 ? 2a 2 ? 12 ? 1,
∵a2>0,∴a2=2.显然成立. ????????????4分

(ⅱ)假设当n=k(k≥2)时,ak=k,那么当n=k+1时,
2 2 a2 ? 2a ? a ? 1 ? 2a ? k ?1 k ?1 k ?1 k k ?1

?[ak+1-(k+1)][ak+1+(k-1)]=0, ∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1)>0,∴ak+1=k+1. 即当n=k+1时也成立. ???????????????6分 ∴an=n(n≥2). 显然n=1时,也成立,故对于一切n∈N+,均有an=n. ??????????????????????7分

(2)要证

nx ? 1 ? ny ? 1 ? 2 ? n ? 2 ? ,

只要证 nx ? 1 ? 2 ? nx ? 1?? ny ? 1? ? ny ? 1 ? 2 ? n ? 2 ?. ????8分 即 n ? x ? y ? ? 2 ? 2 n 2 xy ? n ? x ? y ? ? 1 ? 2 ? n ? 2 ? , 将x+y=1代入,得 2 n 2 xy ? n ? 1 ? n ? 2, 即只要证4(n2xy+n+1)≤(n+2)2,

即4xy≤1.

???????????????10分
x?y 1 ? , 2 2

∵x>0,y>0,且x+y=1,∴ xy ?
1 4

即xy≤ , ,故4xy≤1成立,所以原不等式成立.
???????????????12分

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下

失分警示和备考建议:
失 在解答本题时有两点容易造成失分: (1)在代入n=1,2,3时,不能准确求得a1,a2,a3,从而 猜想不出an. (2)证明不等式时,不会应用x+y=1这一条件代换,


警 示

导致无法证明不等式成立.

解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式 证明时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度

关注:
备 考 (1)归纳整理不到位得不出正确结果,从而给猜想造成 困难.




(2)证明n=k到n=k+1这一步时,忽略了假设条件去证明,
造成使用的不是纯正的数学归纳法. (3)不等式证明过程中,不能正确合理地运用分析法、 综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧, 只有这样,才能快速正确地解决问题.

1.(2011·东营模拟)用数学归纳法证明等式1+2+3+?+(n+3)

= ? n ? 3?? n ? 4 ? (n∈N+)时,第一步验证n=1时,左边应取的项
2

是( (A)1

) (B)1+2 (C)1+2+3 (D)1+2+3+4

【解析】选D.当n=1时,左边是1+2+3+4,是由1加到n+3,故选D.

2.(2012·上海交大附中模拟)用数学归纳法证明
(n+1)(n+2)·?·(n+n)=2n·1·3·?·(2n-1),从k到k+1,

左边需要增乘的代数式为(
(A)2k+1 (B)2(2k+1)

)
(C) 2k ? 1
k ?1

(D) 2k ? 3
k ?1

【解析】选B.当n=k时,左边为(k+1)(k+2)?(k+k), 而当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)?(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)

=(k+2)(k+3)?(k+k)(2k+1)(2k+2),
∴左边增乘的式子为(2k ? 1) ? 2k ? 2 ? ? 2 ? 2k ? 1? .
k ?1

3.(2012·九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N+)能被8 整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( (A)56·34k+1+25(34k+1+52k+1) (C)34k+1+52k+1 (B)34·34k+1+52·52k (D)25(34k+1+52k+1) )

【解析】选A.∵当n=k时,34k+1+52k+1能被8整除. 那么当n=k+1时,34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5

=(34-52)·34k+1+52(34k+1+52k+1)
=56·34k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.

4.(2012·盐城模拟)利用数学归纳法证明不等式
1 1 1 1 ? ??? ? (n>1,n∈N+)的过程中,用n=k+1 n ?1 n ? 2 n?n 2

时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为_____.

【解析】当n=k时,左边的代数式为 而当n=k+1时,

1 1 1 ? ??? , k ?1 k ? 2 k?k

1 1 1 1 ? ??? ? k ?1?1 k ?1? 2 k ?1 ? k ?1 k ?1 ? k 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? , k ?1? k ?1 k ? 2 k ? 3 k ? k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? . ∴相减是 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 2k ? 1 2k ? 2

左边的代数式为

答案: 1

1 2k ? 1 2k ? 2 ?


相关文章:
...(主干知识+典例精析)6.7数学归纳法课件 理 新人教B....ppt
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)6.7数学归纳法课件
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)11.6几
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)7.1空间
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)8.1基本课件...答案:3x+2y+1=0 例题归类全面精准,核心知识深入解读。本栏目科学归纳 考向,...
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)7.4空间
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)8.5椭
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)12.1绝
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)11.8条
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)3.7正弦
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)11.5古
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)11.2排
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例....ppt
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例精析)7.7空间向量及其运算课件 理 新人教B版 - 第七节 空间向量及其运算 三年10考 高考指数:★★★ ...
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例....ppt
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例精析)5.2等差数列课件 理 新人教B版_教育学_高等教育_教育专区。【全程复习方略】(山东专用)版高中数学...
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例....ppt
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例精析)8.3圆的方程课件 理 新人教B版 - 第三节 圆的方程 三年5考 高考指数:★★ 1.掌握确定圆的几何...
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 ....ppt
【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)2.2函数的...(1)能画出图象的函数,用图象法,其思维流程为: 作图象 看升降 归纳单调性(...
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例....ppt
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例精析)8.8直线与圆锥曲线课件 理 新人教B版 - 第八节 直线与圆锥曲线 三年7考 高考指数:★★ 1.掌握...
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例....ppt
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例精析)11.10正态分布课件 理 新人教B版_教育学_高等教育_教育专区。【全程复习方略】(山东专用)版高中...
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例....ppt
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例精析)2.8幂函数课件 理 新人教B版 - 第八节 幂函数 三年1考 高考指数:★ 1.了解幂函数的概念; 2....
2013版高中全程复习方略配套课件:6.7数学归纳法(北师大....ppt
2013版高中全程复习方略配套课件:6.7数学归纳法(北...【即时应用】 (1)已知n为正偶数,用数学归纳法证明...【满分指导】数学归纳法解题的规范解答 【典例】(...
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例....ppt
【全程复习方略】(山东专用)版高中数学 (主干知识 典例精析)2.9函数的图象课件 理 新人教B版 - 第九节 函数的图象 三年10考 高考指数:★★★ 1.在实际...