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【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识+典例精析)6.7数学归纳法课件 理 新人教B版_图文

第七节 数学归纳法

三年3考

高考指数:★★

1.了解数学归纳法的原理;
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

1.归纳——猜想——证明仍是高考的重点;

2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合,在知识交
汇处命题;

3.题型以解答题为主,难度中等偏上.

数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按以下步骤: 第一个值n0 (1)(归纳奠基)证明当n取____________(n 0∈N+)时命题成立;

(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当
n=k+1 时命题也成立. ________ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.

【即时应用】 (1)判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“√”或 “×”)

①用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1.
②数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.
2

(
(

)
)

③应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 1 n(n-3)条时, 第一步是检验n等于3. ( )

④用数学归纳法证明“1+2+22+?+2n+2=2n+3-1”时,验证n=1时,

左边式子应为1+2+22.

(

)

(2)用数学归纳法证明1+a+a2+?+an+1=

1 ? a n?2 (a≠1,n∈N+), 1? a

在验证n=1成立时,左边需计算的项是_________. (3)凸k边形内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和为 f(k+1)=f(k)+_________.

【解析】(1)①错误.有些数学归纳法证明题,第一步验证初始 值不是1,可能为2,3,4等. ②正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可,第一步是归纳奠基,

第二步是归纳递推.
③正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0. ④错误.验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23. (2)当n=1时,左边=1+a+a2. (3)易得f(k+1)=f(k)+π.

答案:(1)①× ②√

③√

④×

(2)1+a+a2 (3)π

用数学归纳法证明等式
【方法点睛】 用数学归纳法证明等式的规则 (1)数学归纳法证明等式要充分利用定义,其中两个步骤缺一不 可,缺第一步,则失去了递推基础,缺第二步,则失去了递推 依据.

(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律,两边各有多少项,

并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利
用假设,不利用n=k时的假设去证明,就不是数学归纳法. 【提醒】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边 的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.

【例1】(2012·烟台模拟)是否存在常数a,b,c,使得等式(n212)+2(n2-22)+?+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立? 若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说明理由. 【解题指南】本题是开放式、存在性的问题,一般是先假设存 在,利用特值求得a、b、c的值,而后用数学归纳法证明.

【规范解答】假设存在a、b、c使得所给等式成立.
?a ? b ? c ? 0 ? 令n=1,2,3代入等式得 ?16a ? 4b ? c ? 3 , ?81a ? 9b ? c ? 18 ?
1 ? a ? ? 4 ? 1 解得 ? b ? ? . ? 4 ? ?c ? 0 ? ?

以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+?+n(n2-n2)
? 1 4 1 2 对一切正整数n都成立. n ? n 4 4

(1)当n=1时,由以上可知等式成立;

(2)假设当n=k时,等式成立,即(k2-12)+2(k2-22)+? +k(k2-k2)=
1 4 1 2 k ? k , 4 4

则当n=k+1时, [(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+?+k[(k+1)2-k2]+

(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]
=(k2-12)+2(k2-22)+?+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+?+k(2k+1)
k ? k ? 1? 1 1 1 1 4 2 ? k4 ? k2 ? (2k ? 1) ? ? k ? 1? ? ? k ? 1? . 4 4 2 4 4

由(1)、(2)知,等式对一切正整数n都成立.

【反思·感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题,一般

是先假设结论成立,利用n的前几个取值求参数,而后用数学归
纳法证明. 2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时,事实上,“归纳假 设”已经成了已知条件,“n=k+1时结论正确”则是求证的目标, 可先用分析法的思路,借助已学过的公式、定理或运算法则进

行恒等变形,把待证的目标拼凑出归纳假设的形式,再把运用
归纳假设后的式子进行变形、证明.

用数学归纳法证明不等式问题

【方法点睛】
应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容
易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时 也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求 差(求商)比较法、放缩法等证明.

【例2】由下列不等式:
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ??? ? ,1 ? ? ??? ? 2,?, 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15

你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式,关键是证明, 证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.

【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式, 即一般不等式为:
1? 1 1 1 n ? ??? n ? ? n ? N? ?. 2 3 2 ?1 2 1 2

用数学归纳法证明如下:

(1)当n=1时, 1 ? , 猜想成立;

(2)假设当n=k时,猜想成立,即 1 ? 1 ? 1 ??? k1
2 3

k ? . 2 ?1 2 1 2
k ?1

则当n=k+1时,1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ??? k k k
2 3 2 ?1 2 2 ?1

?1

?

k 1 1 1 k 2k k ?1 ? k? k ??? k ?1 ? ? k ?1 ? , 2 2 2 ?1 2 ?1 2 2 2

即当n=k+1时,猜想也正确,所以对任意的n∈N+,不等式都 成立.

【反思·感悟】1.本例在由n=k到n=k+1这一步变化中,不等式 左边增加了
1 1 1 1 k项, 即增加了 2 ? ? ??? 2k 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 2k ? 1

这一点很关键,若项数写不正确,该题的证明将无法正确得出 . 2.当n=k+1时的证明中采用了放缩法,即将已知式子分母变大, 从而所得结果变小,顺利地与要证的式子接轨从而得以证明, 此种方法是证明不等式的常用方法,应用时要注意是放大还

是缩小.

归纳—猜想—证明类问题 【方法点睛】

归纳—猜想—证明类问题的解题步骤
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在 性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推 理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性, 这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.

(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—
证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.

【例3】(2011·南京模拟)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1. (1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式;

(2)用数学归纳法证明所得的结论.
【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+?+an,且Sn+an=2n+1,代入

n=1,2,3得a1,a2,a3,从而猜想an.
(2)应用数学归纳法证明时,要利用n=k的假设去推证n=k+1 时成立.

【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得
3 7 15 1 a1 ? ,a 2 ? ,a 3 ? , 猜想a n ? 2 ? n . 2 4 8 2

(2)①由(1)得n=1时,命题成立;

②假设n=k时,命题成立,即 a k ? 2 ? 1k ,
2

那么当n=k+1时,a1+a2+?+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且a1+a2+?+ak=2k+1-ak,

∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
1 1 ,a ? 2 ? , 即当n=k+1时,命题也成立. k ?1 k k ?1 2 2 1 a ? 2 ? 根据①、②得,对一切n∈N+, n 都成立. 2n ? 2a k ?1 ? 2 ? 2 ?

【反思·感悟】“归纳—猜想—证明”是不完全归纳法与数
学归纳法综合应用的解题模式,此种方法在解探索性问题、

存在性问题时起着重要的作用,特别是在数列中求 an,Sn时更
是应用频繁.

用数学归纳法证明整除性问题或 与平面几何有关的问题 【方法点睛】 数学归纳法的综合应用

(1)应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类:
①是整除数,②是整除代数式.这两类证明最关键的问题是“配

凑”要证的式子(或是叫做“提公因式”),即当n=k+1时,将
n=k时假设的式子提出来,再变形,可证.

(2)应用数学归纳法证明与平面几何有关的命题,其关键是从前 几项的情形中归纳出一个变化过程,用f(k+1)-f(k)就可以得到 增加的部分,然后理解为何是增加的,就可以从容解题了.

【例4】证明下列问题: (1)已知n为正整数,a∈Z,用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能

被a2+a+1整除.
(2)有n个圆,任意两个都相交于两点,任意三个不交于同一点, 求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+). 【解题指南】(1)当n=k+1时,把ak+2+(a+1)2k+1提出ak+1+(a+1)2k-1 的形式是解题的关键. (2)当n=k+1时,第k+1个圆与前k个圆相交,平面区域增加了2k 个部分是解题的关键.

【规范解答】(1)①当n=1时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1, 能被a2+a+1整除. ②假设当n=k(k∈N+)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, 那么当n=k+1时, ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]+ak+2-ak+1(a+1)2 =(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除. 即当n=k+1时,命题也成立.

根据①、②可知,对于任意n∈N+,
an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.

(2)①当n=1时,1个圆将平面分成两部分. f(1)=12-1+2=2,∴n=1时,命题成立. ②假设当n=k(k≥1且k∈N+)时, k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.

当n=k+1时,在k个圆的基础上再增加一个圆与原k个圆都相交,
圆周被分成2k段弧,增加了2k个平面区域. ∴f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2, 即当n=k+1时,命题也成立. 综上知,对任意n∈N+,命题都成立.

【反思·感悟】1.用数学归纳法证明整除问题,P(k)? P(k+1)的整式变形是个难点,找出它们之间的差异,然后将 P(k+1)进行分拆,配凑成P(k)的形式,也可运用结论: “P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除?P(k+1)能被p整除.” 2.证明与平面几何有关的问题,其着眼点是找规律,由前几项 可找到规律,进行应用即可.

【满分指导】数学归纳法解答题的规范解答

【典例】(12分)(2012·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,
并且满足 2Sn ? a 2 n ? n,a n ? 0 ? n ? N ? ? .

(1)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
(2)设x>0,y>0,且x+y=1,证明: a n x ? 1 ? a n y ? 1 ? 2 ? n ? 2 ?.

【解题指南】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,从而可 猜想an,并用数学归纳法证明. (2)利用分析法,结合x>0,y>0,x+y=1,利用均值不等式可证. 【规范解答】(1)分别令n=1,2,3,得
?2a1 ? a12 ? 1 ? 2 , ? 2 ? a1 ? a 2 ? ? a 2 ? 2 ? 2 2 a ? a ? a ? a ?3 ? ? 1 2 3 3 ?

∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3.

猜想:an=n.

??????????????????2分

由 2S ? a 2 ? n n n
2 可知,当n≥2时, 2Sn?1 ? a n ?1 ? (n ? 1)
2 ①-②,得 2a n ? a n ? a 2 ? 1,
n ?1

① ②

2 即 a2 ? 2a ? a n n n ?1 ? 1.

??????????????? 3分

(ⅰ)当n=2时,a 22 ? 2a 2 ? 12 ? 1,
∵a2>0,∴a2=2.显然成立. ????????????4分

(ⅱ)假设当n=k(k≥2)时,ak=k,那么当n=k+1时,
2 2 a2 ? 2a ? a ? 1 ? 2a ? k ?1 k ?1 k ?1 k k ?1

?[ak+1-(k+1)][ak+1+(k-1)]=0, ∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1)>0,∴ak+1=k+1. 即当n=k+1时也成立. ???????????????6分 ∴an=n(n≥2). 显然n=1时,也成立,故对于一切n∈N+,均有an=n. ??????????????????????7分

(2)要证

nx ? 1 ? ny ? 1 ? 2 ? n ? 2 ? ,

只要证 nx ? 1 ? 2 ? nx ? 1?? ny ? 1? ? ny ? 1 ? 2 ? n ? 2 ?. ????8分 即 n ? x ? y ? ? 2 ? 2 n 2 xy ? n ? x ? y ? ? 1 ? 2 ? n ? 2 ? , 将x+y=1代入,得 2 n 2 xy ? n ? 1 ? n ? 2, 即只要证4(n2xy+n+1)≤(n+2)2,

即4xy≤1.

???????????????10分
x?y 1 ? , 2 2

∵x>0,y>0,且x+y=1,∴ xy ?
1 4

即xy≤ , ,故4xy≤1成立,所以原不等式成立.
???????????????12分

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下

失分警示和备考建议:
失 在解答本题时有两点容易造成失分: (1)在代入n=1,2,3时,不能准确求得a1,a2,a3,从而 猜想不出an. (2)证明不等式时,不会应用x+y=1这一条件代换,


警 示

导致无法证明不等式成立.

解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式 证明时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度

关注:
备 考 (1)归纳整理不到位得不出正确结果,从而给猜想造成 困难.




(2)证明n=k到n=k+1这一步时,忽略了假设条件去证明,
造成使用的不是纯正的数学归纳法. (3)不等式证明过程中,不能正确合理地运用分析法、 综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧, 只有这样,才能快速正确地解决问题.

1.(2011·东营模拟)用数学归纳法证明等式1+2+3+?+(n+3)

= ? n ? 3?? n ? 4 ? (n∈N+)时,第一步验证n=1时,左边应取的项
2

是( (A)1

) (B)1+2 (C)1+2+3 (D)1+2+3+4

【解析】选D.当n=1时,左边是1+2+3+4,是由1加到n+3,故选D.

2.(2012·上海交大附中模拟)用数学归纳法证明
(n+1)(n+2)·?·(n+n)=2n·1·3·?·(2n-1),从k到k+1,

左边需要增乘的代数式为(
(A)2k+1 (B)2(2k+1)

)
(C) 2k ? 1
k ?1

(D) 2k ? 3
k ?1

【解析】选B.当n=k时,左边为(k+1)(k+2)?(k+k), 而当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)?(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)

=(k+2)(k+3)?(k+k)(2k+1)(2k+2),
∴左边增乘的式子为(2k ? 1) ? 2k ? 2 ? ? 2 ? 2k ? 1? .
k ?1

3.(2012·九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N+)能被8 整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( (A)56·34k+1+25(34k+1+52k+1) (C)34k+1+52k+1 (B)34·34k+1+52·52k (D)25(34k+1+52k+1) )

【解析】选A.∵当n=k时,34k+1+52k+1能被8整除. 那么当n=k+1时,34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5

=(34-52)·34k+1+52(34k+1+52k+1)
=56·34k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.

4.(2012·盐城模拟)利用数学归纳法证明不等式
1 1 1 1 ? ??? ? (n>1,n∈N+)的过程中,用n=k+1 n ?1 n ? 2 n?n 2

时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为_____.

【解析】当n=k时,左边的代数式为 而当n=k+1时,

1 1 1 ? ??? , k ?1 k ? 2 k?k

1 1 1 1 ? ??? ? k ?1?1 k ?1? 2 k ?1 ? k ?1 k ?1 ? k 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? , k ?1? k ?1 k ? 2 k ? 3 k ? k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? . ∴相减是 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 2k ? 1 2k ? 2

左边的代数式为

答案: 1

1 2k ? 1 2k ? 2 ?


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