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2016届高三第三次统一考试-数学-理科试卷--2

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2016 届高三第三次统一考试 理科数学(新课标卷) 2016.03

本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(必考题和选考题两部分) . 考生作答时,将第 Ⅰ卷的选择题答案填涂在答题卷的答题卡上 (答题注意事项见答题卡) , 将第Ⅱ卷的必考题 (13 题 -- 21 题)和选考题(22、23、24)答在答题卷上.考试结束后,将答题卷交回.

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 P = { 2, A.{ 2, 2.若复数 0} 3 a } , Q = { a, B.{ 2, 1, 0 } b } ,若 P∩Q = { 1 },则 P ? Q 等于 C.{ 3, 2, 0} D.{ 3, 2, 1, 0 }

1+bi 的实部与虚部相等,则实数 b 等于 2+i
B. -

A.3

1 2

C.

1 3

D. 1

3.已知向量 a,b 满足∣a∣= 3,且 a ⊥(a+b),则 b 在 a 方向上的投影为 A. 3 B. -3 C.-

3 3 2

D.

3 3 2

4.甲、乙、丙三位同学相互传球,第一次由甲将球传出去,每次传球时,传球者将球等可能 地传给另外 2 个人中的任何 1 人,经过 3 次传球后,球仍在甲手中的概率是 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

5.如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值,若要使输入的 x 值与 输出的 y 值相等,则满足上述条件的所有 x 的值为

A. -1,0,1,3

B. 1,2,3

C. 0,1, 3

D. -3,-1,1,3

6.某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中面积最大的为

A. 1

B. 2

C.

3

D. 2

7.等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 S 3 ? a 2 ? 10a1 , a 5 ? 9 ,则 a1 ? A.

1 3

B. ?

1 3

C.

1 9

D. ?

1 9

8.已知椭圆 C:

3 x2 y2 + = 1 (a > b > 0)的离心率为 ,双曲线 x2 - y2 = 1的渐近 2 2 2 a b

线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为

x2 y2 + = 1 A. 8 2

x2 y2 + = 1 B. 12 6

x2 y2 + = 1 C. 16 4

x2 y2 + = 1 D. 20 5

9.已知 f ( x ) = 2 sin ω x ( cos ωx + sin ω x ) 的图象在 x∈[0,1]上恰有一个对称轴和一个对称 中心,则实数 ω 的取值范围为 3π 5π A.( , ) 8 8 3π 5π B.[ , ) 8 8 3π 5π C.( , ] 8 8 3π 5π D .[ , ] 8 8

?|log2x,0?2 ? 10. 已 知 函 数 f(x)??? , 若 存 在 实 数 x1 、 x 2 、 x3 、 x 4 , ( 其 中 ??sin(4x),2??10

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) 满 足

f(x ? f ( 3x ) ? 1 )? f ( x 2 )
A.(0,12)

,则 f (4x )

( x3 ? 2)( x4 ? 2) 的取值范围是 x1 ? x2
C.(9,21) D.(15,25)

B.(4,16)

11. 棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,点 M 在与正方体的各棱都相切的球面上运动,点 N 在 ?ACB1 的外接圆上运动,则线段 MN 长度的最小值是

A.

3+1 2

B.

2 ?1 2

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 2

12.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 且当 x ? (??, 0) 时, f ( x) ? xf '( x) ? 0 成 立, a ? 2 系是 A. a ? b ? c B .b ? a ? c C. c ? a ? b 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上. 13.点 A (-4, 0) 到抛物线 C: y = 8x 的焦点 F 的距离∣A F∣等于 14.若 (ax +
2
2

0.2

1 1 f (20.2 ) , b ? (ln 2) f (ln 2) , c ? (log 1 ) f (log 1 ) ,则 a , b , c 的大小关 2 4 2 4
D. a ? c ? b

. .

b 6 ) 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2 + b2 的最小值为 x

?x ? 0 y ? 15.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 的取值范围为 _____ ; x ?2 x ? y ? 3 ?
16.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?an ? 的前 n 项 和为 S n ,且 a1 ? ?1 , Sn ? 2an ? n ( n ? N * ) ,则 f ? a5 ? ? f ? a6 ? ? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 .

3 2

cosB b = . cosC 2a + c

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S= 3 ,a =1,求边 AC 上的中线 BD 的长. 18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB , OA ? OB ? 2OC=2 , AB ? 2 2 , D 为

AB 的中点.
(Ⅰ)求证: AB ⊥平面 COD ; (Ⅱ)若动点 E 满足 CE ∥平面 AOB ,问:当 AE ? BE 时, 平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角是否为定值? 若是,求出该锐二面角的余弦值;若不是,说明理由. A 19. (本小题满分 12 分) 在一次考试中,某班 5 名同学的数学、物理成绩如下表所示: 学生 物理( x 分) 数学( y 分) A B C D E

C

O D

E B

87 86

90 89

91 89

92 92

95 94

(Ⅰ)根据表中数据,求数学分 y 对物理分 x 的线性回归方程; (Ⅱ)要从 4 名物理成绩在 90 分(含 90 分)以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 ? 表示选中的同学的数学成绩高于 90 分的人数,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E ? .

?? ?x ? a ? ?b ? 中, b (线性回归方程 y

?(x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

?(x
i ?1

? ? y ? bx ,其中 x , y 为样本 ,a

? x)

2

? ,a ? 的值的结果保留二位小数.) 平均值, b
20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 1 + = 1 (a>b>0)的左右焦点 F1,F2 其离心率为 e = ,点 P 为椭圆 2 2 a b 2

上的一个动点,△ PF1F2 内切圆面积的最大值为 (Ⅰ)求此椭圆的标准方程;

4π . 3

(Ⅱ)若 A、B、C、D 是椭圆上不重合的四个点,且满足 F1 A // F1C , F1 B // F1 D ,

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r AC ? BD

0 ,求 AC + BD 的取值范围.

uuu r

uuu r

21.(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x ) = x ln x ﹣

a 2 . x (a∈R) 2

(Ⅰ)若 a = 2,求曲线 y = f(x)在点[1,f(1)] 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 g(x)= f(x)﹣x 有两个极值点 x1、x2,求证:

1 1 + > 2ae . ln x1 ln x2

四、选考题:本小题满分 10 分,请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做, 则按所做的第一题记分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 为直角三角形, ?ABC ? 90 ,
?

以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是

BC 边的中点,连 OD 交圆 O 于点 M .
(Ⅰ)求证: O, B, D, E 四点共圆;
2 (Ⅱ)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为: í ?

ì ? ? x = 2 + 2cosα ( ? 为参数) ,曲线 ? ? y = 2sinα

ì ? ? x = 2cosβ C2 的参数方程为: í ( ? 为参数) ,以 0 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ? ? ? y = 2 + 2sinβ
标系. (Ⅰ) 求 C1 和 C2 的极坐标方程; (Ⅱ) 已知射线 l1 : ? ? ? (0 ? ? ?

?
2

) ,将 l1 逆时针旋转

? ? 得到 l2 : ? ? ? ? ,且 l1 与 C1 6 6

交于 O, P 两点, l 2 与 C2 交于 O, Q 两点,求 | OP | ? | OQ | 取最大值时点 P 的极坐标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ( x) ?| x | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图像恒在函数 g ( x) 图像的上方,求实数 m 的取值范围.

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2016 届高三第三次统一考试 理科数学(新课标卷)参考答案及评分标准
题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2016.03

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

答案

B

A

B

A

C

D

C

D

B

A

D

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上. 13、 6 ; 14、 2 ; 15、 [1,??) ; 16、 3 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S= 解: ( Ⅰ) 由 ,a =1,求边 AC 上的中线 BD 的长. ,

cosB b = . cosC 2a + c

cos B sin B = cos C 2 sin A + sin C

可 得 2sin A c os B +sin ( B + C ) =0 , 即 2sin A co s B +sin A =0 ,

而 sin A ≠ 0 , 所 以 cos B = ﹣ , B = ( Ⅱ) 因 S= ac sin B , 又 S =
2 2 2

2π . 3
, 则 c =4 . ,

, a =1 , sin B =

由 余 弦 定 理 b = a + c ﹣ 2 accosB , 得 b =

cosC =

a 2 + b 2 - c 2 1+21-16 3 21 21 = = = 2ab 21 7 2 21

又 BD2 = BC2 + CD2 - 2BC ? CD cos C

= 1+ ( =
∴ BD =

21 2 ) - 2鬃 1 2

21 21 ? 2 7

13 4


18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB , OA ? OB ? 2OC=2 , AB ? 2 2 , D 为

AB 的中点.
(Ⅰ)求证: AB ⊥平面 COD ; (Ⅱ)若动点 E 满足 CE ∥平面 AOB ,问:当 AE ? BE 时, 平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角是否为定值? 若是,求出该锐二面角的余弦值;若不是,说明理由. A

C

O D z C

E B

解法一: (Ⅰ)在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB ,∴OC⊥ AB . 又 OA ? OB , D 为 AB 的中点,∴ DO ? AB . ∵ DO ? CO ? O , ∴ AB ⊥平面 COD .
[来源:

O A D

E B

y

(Ⅱ)∵ OA ? OB=2 , AB ? 2 2 ,∴ AO⊥ BO .

x 由 CO ? 平面 AOB ,故以点 O 为原 点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴, , OC 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图) 由已知可得 O(0, 0, 0), A(2,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,1), D (1,1, 0) . 由 CE ∥平面 AOB ,故设 E ( x, y,1) .

由 AE ? BE ,得 ( x ? 2)2 ? y2 ? 12 ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 12 ,故 x ? y ,即 E ( x, x,1)( x ? 0) .
???? ??? ? ??2a ? c ? 0, 设平面 ACE 的法向量为 n1 =(a, b, c) ,由 AC ? (?2,0,1) , CE ? ( x, x,0) ,得 ? ?ax ? bx ? 0,

令 a ? 1 ,得 n1 =(1, ?1, 2) . 又平面 AOB 的法向量为 n2 =(0,0,1) ,所以 cos n1 , n2 =
2 1? 6 ? 6 . 3

故平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角为定值且该锐二面角的余弦值为 解法二: (Ⅰ)∵ OA ? OB=2 , AB ? 2 2 ,? AO ? BO .

6 . 3

由 CO ? 平面 AOB , 故以点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴, ,由已知可得 OC 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图)
O(0, 0, 0), A(2,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,1), D (1,1, 0) . ???? ????? ???? ????? ??? ? ???? ???? ∵ AB ? (?2, 2,0) , OC ? (0,0,1) , OD ? (1,1,0) ,∴ AB ?OC ? 0 , AB ?OD ? 0 ,

∴ OC ? AB . OD ? AB ,∵ OD ? OC ? O ,∴ AB ⊥平面 COD . (Ⅱ)∵ CE ∥平面 AOB ,∴ E 在过点 C 且与平面 AOB 平行的平面内,设该平面为 ? . 又 AE ? BE ,∴ E 在底面的射影在直线 OD 上, ∴ E 又在过点 C 且与平面 AOB 垂直的平面内, 设该平面为 ? ,∴ ? ? ? =CE .∴由 AC ? CE =C ,∴直线 AC 与 CE 确定平面 ACE , ∴点 E 运动时,平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角为定值.故不妨取 E (1,1,1) , 设平面 ACE 的法向量为 n1 =(a, b, c) ,

??? ? ??? ? ??2a ? c ? 0, 由 AC ? (?2,0,1) , CE ? (1,1,0) ,得 ? 令 a ? 1 ,得 n1 =(1, ?1, 2) . ?a ? b ? 0,
又平面 AOB 的法向量为 n2 =(0,0,1) , 所以 cos n1 , n2 =
2 1? 6 ? 6 . 3

故平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角为定值且该锐二面角的余弦值为 19. (本小题满分 12 分) 在一次考试中,某班 5 名同学的数学、物理成绩如下表所示:

6 . 3

学生 物理( x 分) 数学( y 分)

A

B

C

D

E

87 86

90 89

91 89

92 92

95 94

(Ⅰ)根据表中数据,求数学分 y 对物理分 x 的线性回归方程; (Ⅱ)要从 4 名物理成绩在 90 分(含 90 分)以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 ? 表示选中的同学的数学成绩高于 90 分的人数,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E ? .

?? ?x ? a ? ?b ? 中, b (线性回归方程 y

?(x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

?(x
i ?1

? ? y ? bx ,其中 x , y 为样本 ,a

? x)

2

? ,a ? 的值的结果保留二位小数.) 平均值, b
解: (Ⅰ) x ?

87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 91 5 86 ? 89 ? 89 ? 92 ? 94 y? ? 90 5

i ?1 5

? ( x i ? x ) 2 ? ( ?4) 2 ? ( ?1) 2 ? 0 2 ? 1 2 ? 4 2 ? 34 ? ( x i ? x )( y i ? y ) ? ( ?4) ? ( ?4) ? ( ?1) ? ( ?1) ? 0 ? ( ?1) ? 1 ? 2 ? 4 ? 4 ? 35

5

i ?1

? ? 35 ? 1.03 b 34

? x ? 90 ? 1.03 ? 91 ? ?3.73 ? ? y?b a
(Ⅱ)随机变量 ? 的可能取值为 0 , 1 , 2

? ? 1.03 x ? 3.73 故回归直线方程为 y

P (? ? 0) ?

2 C2 2 C4

?

C 1C 1 2 C2 1 1 ? , P (? ? 1) ? 2 2 2 ? , P (? ? 2) ? 2 2 6 3 6 C4 C4

故 ? 的分布列为

?

0
1 6

1
2 3

2
1 6

P
所以 E? ? 0 ?

1 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 6 3 6

20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的左右焦点 F1,F2 其离心率为 e = a2 b2

,点 P 为椭圆

上的一个动点,△ PF1F2 内切圆面积的最大值为 (Ⅰ)求此椭圆的标准方程;

4π . 3

(Ⅱ)若 A、B、C、D 是椭圆上不重合的四个点,且满足 F1 A // F1C , F1 B // F1 D ,

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r AC ? BD

0 ,求 AC + BD 的取值范围.

uuu r

uuu r

解: (Ⅰ)当 P 为椭圆上下顶点时,△ PF1F2 内切圆面积取得最大值,设△ PF1F2 内切圆半 径为 R, ∵ π R2 =

2 3 4π ,∴ R = . 3 3

S VPF F =
1 2

1 F F b = bc 2 1 2
1 2 3 ( F1 F2 + PF2 + PF1 )R = (a + c ) 2 3 2 3 3

S VPF F =
1 2

∴ bc = ( a + c )



c 1 = , a2 = b2 + c2 ,联立解得 a2 =16,b2 = 12 a 2
x2 y2 + = 1 16 12

∴椭圆的标准方程为:

(Ⅱ)∵A、B、C、D 满足 F1 A // F1C , F1 B // F1 D , AC ? BD ∴直线 AC,BD 垂直相交于点 F1,

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r

0,

x2 y2 + = 1 ,∴F1(﹣2,0) . 16 12 uuu r uuu r ①直线 AC,BD 有一条斜率不存在时, AC + BD = 6+8 =14.
由(Ⅰ)椭圆方程 ②当 AC 斜率存在且不为 0 时,设方程 y=k(x+2) ,A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,

ì ? y = k( x + 2) ? 2 2 2 2 ? 联立 í x2 ,化为(3+4k )x +16k x+16k ﹣48 = 0. y2 ? + = 1 ? ? 12 ? ? 16
∴ x1+x2=

- 16k 2 3 + 4k 2

,x1x2=

16k 2 - 48 , 3 + 4k 2 24(1 + k 2 ) 3 + 4k 2

∴ AC =

uuu r

(1 + k 2 )[( x1 + x2 )2 + 4 x1 x2 ] =

uuu r 24(1 + k 2 ) 1 把代入上述可得:可得 BD = , 4 + 3k 2 k
∴| AC + BD =

uuu r

uuu r

24(1 + k 2 ) 24(1 + k 2 ) 168 (1 + k 2 )2 , + = 3 + 4k 2 4 + 3k 2 (3 + 4k 2 )(4 + 3k 2 )
uuu r uuu r 168 , t -1 12 + 2 t

2 设 t = k +1(k≠0) ,t>1.∴ AC + BD =

uuu r uuu r t -1 1 96 ,∴ AC + BD ? [ ? ,14). 2 4 7 t uuu r uuu r 由①②可得: AC + BD 的取值范围是 .
∵t>1,∴ 0 < 22.(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x ) = x ln x ﹣

a 2 . x (a∈R) 2

(Ⅰ)若 a = 2,求曲线 y = f(x)在点[1,f(1)] 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 g(x)= f(x)﹣x 有两个极值点 x1、x2,求证:

1 1 + > 2ae . ln x1 ln x2

解: (Ⅰ)当 a = 2 时,f ( x ) = x ln x ﹣ x2 ,f ′(x)=lnx+1- x2 , ∴ f(1)=﹣1,f ′(1)=﹣1, 曲线 y =f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 y = ﹣x; (Ⅱ)g ′(x)=f ′(x)﹣1 = lnx﹣ax,函数 g(x)= f(x)﹣x 有两个极值点 x1、x2, 即 g ′(x)=f ′(x)﹣1 = lnx﹣ax 有两个不同的实根,

当 a ≤ 0 时,g ′(x)单 调递增,g ′(x)= 0 不可能有两个不同的实根; 当 a > 0 时,设 h(x)= lnx﹣ax,h ′(x)=

1 - ax , x

若0 < x <

1 时,h ′(x)>0,h(x)单调递增, a

若x >

1 时,h ′(x)<0,h(x)单调递减, a 1 . e

∴h ( ) = - ln a - 1 > 0 ,∴ 0 < a <

1 a

不妨设 x2>x1>0, ∵g ′(x1)= g ′(x2)= 0, ∴ lnx1﹣ax1 = 0, 先证 lnx2﹣ax2= 0 , lnx2 - lnx1 = a(x2


x1) ,

x + x1 1 1 1 1 + = 2 > 2 + > 2 ,即证 ax2 ax1 ax2 x1 ln x1 ln x2

即证

x2 + x1 ln x2 - ln x1 > 2 x2 x1 x2 - x1

即证

x2 2 - x12 x x 1 x = ( 2 - 1 ) > ln 2 2 x2 x1 2 x1 x2 x1
x2 > 1 ,即证 ln t < 1 (t - 1) x1 2 t

令t =

设φ (t ) = ln t -

1 1 1 1 (t - ),即证 φ (t ) = ln t - (t - ) < 0 2 t 2 t

则 φ? (t ) =

2t - t 2 - 1 (t - 1)2 = < 0 2t 2 2t 2

函数 φ (t ) = ln t -

1 1 (t - )在(1,+ ∞)上单调递减, 2 t
1 1 + > 2, ln x1 ln x2

(t ) < φ (1) = 0 ,∴ ∴φ

又∵ae <1,∴

1 1 + > 2ae ln x1 ln x2

四、选考题:本小题满分 10 分,请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做, 则按所做的第一题记分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 为直角三角形, ?ABC ? 90 ,
?

以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是

BC 边的中点,连 OD 交圆 O 于点 M .
(Ⅰ)求证: O, B, D, E 四点共圆;
2 (Ⅱ)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB .

解: (Ⅰ)连接 BE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD
? 又 OE ? OB, OD ? OD ,所以 ?ODE ? ?ODB ,所以 ?OBD ? ?OED ? 90

故 D, E, O, B 四点共圆. (Ⅱ)延长 DO 交圆于点 H ,? DE 2 ? DM ? DH ? DM ? (DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH

1 1 ? DE 2 ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB ) ,即 2DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB 2 2
23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为: í ?

ì ? ? x = 2 + 2cosα ( ? 为参数) ,曲线 ? ? y = 2sinα

ì ? ? x = 2cosβ C2 的参数方程为: í ( ? 为参数) ,以 0 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ? ? ? y = 2 + 2sinβ
标系. (Ⅰ) 求 C1 和 C2 的极坐标方程; (Ⅱ) 已知射线 l1 : ? ? ? (0 ? ? ?

?
2

) ,将 l1 逆时针旋转

? ? 得到 l2 : ? ? ? ? ,且 l1 与 C1 6 6

交于 O, P 两点, l 2 与 C2 交于 O, Q 两点,求 | OP | ? | OQ | 取最大值时点 P 的极坐标.
2 2 解:(Ⅰ)曲线 C1 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,所以 C1 极坐标方程为 ? ? 4 cos ? 2 2 曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,所以 C2 极坐标方程为 ? ? 4sin ?

(Ⅱ) 设点 P 极点坐标 ( ?1 , ? ) ,即 ?1 ? 4cos ? 点 Q 极坐标为 ( ? 2 , ? ?

?
6

)

即 ? 2 ? 4sin(? ?

?
6

)

则 | OP | ? | OQ |? ?1 ? 2 ? 4 cos ? ? 4sin(? ? = 16cos ? ? (

?
6

)

? 3 1 sin ? ? cos ? ) ? 8sin(2? ? ) ? 4 6 2 2

.K]

? ? ? 7? ?? ? ( 0 , , ) ? 2? ? ? ( , ) , 2 6 6 6
当 2? ?

?

6

?

?

2

, 即? ?

?

6

时 | OP | ? | OQ | 取最大值,

此时点 P 的极坐标为 (2 3,

?
6

).

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图像恒在函数 g ( x) 图像的上方,求实数 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 得 || x | ?4 |? 2 ,??2 ?| x | ?4 ? 2 故不等式的解集为 ? ?6, ?2? ? ? 2,6? (Ⅱ)∵函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方 ∴ f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 m ?| x ? 4 | ? | x | 恒成立 ∵ | x ? 4 | ? | x | ? | ( x ? 4) ? x |? 4 ,∴ m 的取值范围为 m ? 4 .

? 2 ?| x |? 6


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