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7.4基本不等式及其应用(理


限时作业 35 基本不等式及其应用
一、选择题
1.下列命题中正确的是( A.函数 y=x+的最小值为 2 B.函数 y=的最小值为 2 C.函数 y=2-3x-(x>0)的最小值为 2-4 D.函数 y=2-3x-(x>0)的最大值为 2-4 2.已知不等式(x+y)≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( ). ).

A.2 C.6

B.4 D.8 ).

3.设 a,b 满足 2a+3b=6,a>0,b>0,则+的最小值为( A. C. B. D.4

4.设 a>0,b>0,且不等式++≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( A.0 C.-4 B.4 D.-2 ).

).

5.若 0<x<,则 y=x(3-2x)的最大值是( A. C.2 B. D.

6.(2012 安徽江南十校联考)设 M 是△ABC 内一点,且 S△ABC 的面积为 1,定义 f(M)=(m,n,p),其中 m,n,p 分别是△MBC,△MCA,△MAB 的面积,若 f(M)=,则+的最小值是( A.8 C.16 B.9 D.18 ).

二、填空题
7.已知关于 x 的不等式 2x+≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为 .

8.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万 元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=
x y

. .

9.当点(x,y)在直线 x+3y-4=0 上移动时,表达式 3 +27 +2 的最小值为

三、解答题
10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,BC 边上的高 AD=BC,求+的取值范围.

1

11.已知 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1). (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值.

12.某工厂最近用 50 万元购买了一台德国仿型铣床,在买回来以后的第二天投入使用,使用后的第 t 天应付的保养费是(t+500)元,(买来当天的保养维修费以 t=0 计算),机器从买来当天到报废共付的 保养维修费与购买机器费用的和平均摊到每一天的费用叫做每天的平均损耗.当平均损耗达到最小 值时,机器报废最划算. (1)将每天平均损耗 y(元)表示为天数 x 的函数; (2)求该机器买回来后多少天报废最划算.

2

参考答案
一、选择题 1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 解析:由题意+x+y=1,即 x+y=, 则+=2(x+y) =2=2 ≥2(5+2)=18.故选 D. 二、填空题 7. 8.20 9.20 解析:由 x+3y-4=0,得 x+3y=4, ∴3 +27 +2=3 +3 +2 ≥2+2= 2+2=2+2=20, 当且仅当 3 =3 且 x+3y-4=0, 即 x=2,y=时取“=”. 三、解答题 10.解:因为+===+2cos A,S△ABC=·AD·BC=a , 又 a =S△ABC=bcsin A, 所以=sin A,故+=sin A+2cos A=sin(A+φ )≤(当且仅当 A+φ =时等号成立). 又+≥2=2, 所以 2≤+≤, 即+的取值范围是[2,]. 11.解:由 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1), 得 (1)∵x>0,y>0, ∴3xy=x+y+1≥2+1. ∴3xy-2-1≥0,
2 2 x 3y x y x 3y

3

即 3() -2-1≥0, ∴(3+1)(-1)≥0. ∴≥1. ∴xy≥1. 当且仅当 x=y=1 时,等号成立. ∴xy 的最小值为 1. (2)∵x>0,y>0, ∴x+y+1=3xy≤3·. ∴3(x+y) -4(x+y)-4≥0. ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0. ∴x+y≥2. 当且仅当 x=y=1 时取等号, ∴x+y 的最小值为 2. 12.解:(1)买回后第一天应付维修保养费 a1=500 元; 第二天应付维修保养费 a2=(500+1)元; 第三天应付维修保养费 a3=(500+2)元; ? 第 x 天应付维修保养费 ax=[500+(x-1)]元. 由此可知{an}是首项 a1=500,公差 d=1 的等差数列, ∴前 x 天共付维修保养费 Sx=a1x+d=500x+, 因而,每天平均损耗 y(元)与时间 x(天)的函数关系式为 y=(x∈N ), 即 y=++(x∈N ). (2)y=++ ≥2+ =1 000+=, 当且仅当=,即 x=1 000 时取等号, ∴该机器买回来 1 000 天时,报废最合算.
* * 2

2

4


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