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人教版高中数学必修五 11 正弦定理和余弦定理 课件2


1.1.2余弦定理(一)

复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形?

A

C

B

复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形? ①已知三角形的任意两角及其一边; ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B

情境设置

问题1:
如果已知三角形的两边及其夹角, 根据三角形全等的判定方法,这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看,如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角?
A C B

情境设置

问题2:
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边?

情境设置

问题2:
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边?
即:如图,在△ABC中, 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C,求边c? b C A

c a
B

探索探究
联系已经学过的知识和方法,可用 什么途径来解决这个问题?

即:如图,在△ABC中, 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C,求边c? b C

A

c a
B

探索探究
联系已经学过的知识和方法,可用 什么途径来解决这个问题?
用向量来研究这问题.
A

即:如图,在△ABC中, 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C,求边c? b
C B

A

c a
B

C

余弦定理:
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.

余弦定理:
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

思考1:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

你还有其它方法证明余弦定理吗?

思考1:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

你还有其它方法证明余弦定理吗?
两点间距离公式,三角形方法.

思考2:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

这个式子中有几个量?从方程的角 度看已知其中三个量,可以求出第四个 量,能否由三边求出一角?

推论:

b ?c ?a cos A ? 2bc
2 2

2

a ?c ?b cos B ? 2ac
2 2 2 2

2

a ?b ?c cos C ? 2ab

2

思考3:
余弦定理及其推论的基本作用是什么?

思考3:
余弦定理及其推论的基本作用是什么?

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就
可以求出第三边;

②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

思考4:
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系,余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系,如何 看这两个定理之间的关系?

思考4:
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系,余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系,如何 看这两个定理之间的关系?

余弦定理是勾股定理的推广, 勾股定理是余弦定理的特例.

讲解范例: 例1. 在△ABC中,已知 a ? 2 3 ,

c ? 6 ? 2 , B ? 60 , 求b及A.
o

思考5:
在解三角形的过程中,求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理,两 种方法有什么利弊呢?

讲解范例:
例2. 在△ABC中,已知a=134.6cm, b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形 (角度精确到1').

练习:
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中,已知下列条件,解三角

形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a=2.7cm,b=3.6cm,C=82.2 ; (2) b=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3 .
o o

o

课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律,勾股定理是余弦定理的特 例; 2. 余弦定理的应用范围: ①已知三边求三角; ②已知两边及它们的夹角,求第三边.

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课后作业
1. 阅读必修5教材P.5到P.7; 2. 教材P.11习题1.1A组第3题.

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