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高考数学二轮复习 第十二章 概率与统计 古典概型与几何概型 理(含试题)


【科学备考】(新课标)2015 高考数学二轮复习 第十二章 概率与 统计 古典概型与几何概型 理(含 2014 试题)
理数

1. (2014 湖北,7,5 分)由不等式组

确定的平面区域记为 Ω1,不等式组 )

确定的平面区域记为 Ω2,在 Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的概率为(

A.

B.

C.

D.

[答案] 1.D

[解析] 1.区域 Ω1 为直角△AOB 及其内部,其面积 S△AOB=

×2×2=2.区域 Ω2 是直线 x+y=1

和 x+y=-2 夹成的条形区域.由题意得所求的概率 P=

=

=

.故选 D.

2. (2014 陕西,6,5 分)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离 不小于该正方形边长的概率为( )

A.

B.

C.

D.

[答案] 2.C

[解析] 2.根据题意,2 个点的距离小于该正方形边长的有 4 对,故所求概率 P=1-

=

,故选

C. 3.(2014 浙江,9,5 分)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球 (m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξi(i=1,2); (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2). 则( ) A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2) B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)

1

C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2) [答案] 3.A [解析] 3.当 i=1 时,若从乙盒中抽取的 1 个球为红球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 A1,

则 P(A1)=

.

若 从 乙 盒 中 抽 取 的 1 个 球 为 蓝 球 , 记 从 甲 盒 中 取 1 个 球 是 红 球 的 事 件 为 A2, 则

P(A2)=

×

=

,



A1



A2





,



p1=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=

. 此 时 ,ξ1

的 取 值 为

1



2,P(ξ1=1)=

,P(ξ1=2)=

,则 E(ξ1)=1×

+2×

=

.当 i=2 时,若

从乙盒中抽取的 2 个球都为红球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 B1,则 P(B1)=

.

若从乙盒中抽取的 2 个球为 1 个红球和 1 个蓝球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 B2,

则 P(B2)=

×

.

若 从 乙 盒 中 抽 取 的 2 个 球 都 是 蓝 球 , 记 从 甲 盒 中 取 1 个 球 是 红 球 的 事 件 为 B3, 则

P(B3)=

×

.





B1,B2,B3





,



p2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=

=

=

=

. 则 p1-p2=

>0, 即

有 p1>p2. 此时 ,ξ2 的取值为 1,2,3.P(ξ2=1)=

,P(ξ2=2)=

,P(ξ2=3)=

,则

E(ξ2)=1×

+2×

+3×

=

=3p2=

,则有

E(ξ1)<E(ξ2),综上,p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2),故选 A. 4.(2014 课表全国Ⅰ,5,5 分)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则 周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

2

A.

B.

C.

D.

[答案] 4.D [解析] 4.由题意知 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有 24 种情况,而 4 位同学都选周六有 1 种情况,4 位同学都选周日有 1 种情况,故周六、周日都有同学参加公

益活动的概率为 P=

=

=

,故选 D.

5. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,9) 向边长 分别为 的概率为( ) 的三角形区域内随机投一点 , 则该点 与三角形三个顶点距离都大于 1

A. [答案] 5. A [ 解 析 ] 5.

B.

C.

D.

设 △ABC 的 三 边 AB=5 , BC=6 , AC=

. 根据余弦定理可得

,又因为 ∠B∈ ( 0 , π ),所以

. 所以 △ABC 的面积为

. 而在△ABC 的内部且离点 A 距离小于等于 1 的点构成的区域的面积为

,同理可得在△ABC 的内部且离点 B、C 距离小于等于 1 的点构成的区域的面积分

别为



,所以在△ABC 内部,且与三角形三个顶点距离都大于 1 的平面区

域的面积为

,根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为

. 6. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),3) 利用计算机产生 0~1 之间 的均匀随机数 , 则使关于 的一元二次方程 无实根的概率为( )

3

[答案] 6. C

[解析] 6. 由

,故

,选 C .

7. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试,8) 假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机 会均等地进入同一部手机,若这两条短信进入手机的时间之差小于 2 秒,手机就会收到干 扰,则手机收到干扰的概率为( )

A.

B.

C.

D. [答案] 7. C [ 解 析 ] 7. 设 两 条 短 信 进 入 手 机 的 时 间 分 别 为 、 ,则 ,作平面区域

,如图,由几何概型知,手机受到干扰的概率为

.

8. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间[0,2]上随机取两个数 的概率是( )

, 则 0≤

≤2

A.

B.

4

C.

D. [答案] 8.C

[解析] 8.:如图,

.

9. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试, 10) 在二项式

的展开式

中只有第五项的二项式系数最大, 把展开式中所有的项重新排成一列, 则有理项都互不相邻 的概率为( )

A.

B.

C.

D.

[答案] 9. D [ 解析 ] 9. 因为展开式中只有第五项的二项式系数最大,所以 ,其通项公式为

,当 展开式的 9 项全排列为

时,项为有理项,

种,,所有的有理项互不相邻可把 6 个无理项全排,把 3 个有理 ,

项插入形成的 7 个空中,有

所以有理项互不相邻的概率为

.

10.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,6)在某地的奥运火炬传 递活动中,有编号 为 1,2,3,…,18 的 18 名火炬手. 若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3

5

为公差的等差数列的概率为(



A. [答案] 10. D

B.

C.

D.

[解析] 10. 从 18 个选手中任选 3 人的选法有

种选法,由数字 1,2,3,…,18 构成的

以 3 为公差的等差数列其等差中项只能是 4、5、…. 、15,每个等差中项对应 1 个等差数

列,所以以 3 为公差的等差数列共有:12 个,所以所求概率为

.

11.(2014 湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,9)将一颗骰子连续抛掷三次, 已知 它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为 12 的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

[答案] 11. A [解析] 11. 它落地时向上的点数恰好依次成等差数列的情况有公差为 0:有 6 种情况;公差 为 1 的有 4×2=8 个;公差为 2 的有:2×2=4 个,而满足这三次抛掷向上的点数之和为 12 的有:(3,4, 5)、(5,4, 3)、(4,4, 4)、(2,4, 6)、(6,4, 2)共 5 个,根据古典概型的

概率计算可得所求概率为

.

12. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测,7) 设点( 随机点,函数 在区间[

)是区域 ( )

内的

)上是增函数的概率为

A.

B.

C.

D.

[答案] 12. C

[ 解 析 ]

12. 在区间[

表 示 的 区 域 的 面 积 为 )

.

函 数

上是增函数,则

,所以概率

. 选 C.

6

13.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试,8) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,H 分 别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合),且 EH∥A1D1,过 EH 的平面与棱 BB1, CC1 相交,交点分别为 F,G.设 AB=2AA1=2a.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取 一点,记该点取自于几何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 P,当点 E,F 分别在棱 A1B1, BB1 上运动且满足 EF=a 时,则 P 的最小值为

[答案] 13. D [ 解 析

]

13.















=

=

=



其中“=” 当且仅当

时成立. 故选 D.

14.(2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 5) 小波通过做游戏的方式来确定周末活 动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离小 于 ,则周末去踢球,否则去图书馆. 则小波周末去图书馆的概率是( A. B. C. D. [答案] 14. B [解析] 14. 圆的面积为 , 点到圆心的距离小于 的面积为 , 所以点到圆心的距离大于 的 )

7

面积为

,由几何概型小波周末去图书馆的概率为

. 的边长为 4 ,

15. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试 , 8) 已知菱形

,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率() A. B. C. D.

[答案] 15.D [解析] 15.如右图,阴影部分 M 即为点到菱形 四个顶点的距离大于 1 的点的集合,空白部分 是半径为的圆,所以 .

16. (2014 兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是( ①对于命题 ,则 ,均有

)

② 是直线 与直线 互相垂直的充要条件 ③ 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程为 = 1.23x+0.08 ④若实数 ⑤ 曲线 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 [答案] 16. A [解析] 16. 对①,因为命题 误; 对②,由于直线 误; 对③,设线性回归方程为 得 , 回归直线方程为 对④,有几何概型知,所求概率为 对⑤,曲线 与 所围成图形的面积是 与直线 垂直的充要条件是 满足方程,则 或 0,故②错 ,解 ,则 ,均有 ,故①错 与 ,则满足 的概率为

所围成图形的面积是

,由于样本点的坐标 ,故③正确;

,故④错误; ,正确.

故正确的是③ ⑤ ,共 2 个. 17. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 福彩 3D 是由 3 个 0~9 的自然数组成投注号码的彩票,

8

耀摇奖时使用 3 台摇奖器,各自独立、等可能的随机摇出一个彩球,组成一个 3 位数,构 成中奖号码,下图是近期的中奖号码(如 197,244, 460 等),那么在下期摇奖时个位上出 现 3 的可能性为( )

[答案] 17. A [解析] 17. 古典概型. 依题意, 个位上的数字由 10 种情况, 个位上的数去 3 只有一种情况, 故所求的概率 ,即个位上出现 3 的可能性是 10%.

18. (2014 广东,11,5 分)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为________.

[答案] 18. [解析] 18.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数有 种选法.要使抽取的七个数的中位

数是 6,则 6,7,8,9 必须取,再从 0,1,2,3,4,5 中任取 3 个,有

种选法,故概率为

=

.

19. (2014 福建,14,4 分)如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆, 则它落到阴影部分的概率为________.

[答案] 19. [解析] 19 .∵y=ex 与 y=ln x 互为反函数,故直线 y=x 两侧的阴影部分面积相等,只需计算其中 一部分即可.

如图,S1= exdx =ex

=e1-e0=e-1.

9

∴S 总阴影=2S 阴影=2(e×1-S1)=2[e-(e-1)]=2,

故所求概率为 P=

.

20. (2014 江西,12,5 分)10 件产品中有 7 件正品、3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件 次品的概率是________.

[答案] 20. [解析] 20.从 10 件产品中任取 4 件有 种取法,取出的 4 件产品中恰有 1 件次品有 种

取法,则所求的概率 P=

=

.

21.(2014 江苏,4,5 分)从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是________.

[答案] 21. [解析] 21.从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共 6 种情况. 满足条件的有(2,3),(1,6),共 2 种情况.

故 P=

=

.

22.(2014 辽宁,14,5 分)正方形的四个顶点 A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线 y=-x2 和 y=x2 上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概 率是________.

[答案] 22.

10

[解析] 22.由对称性可知 S 阴影=S 正方形 ABCD-4

x2dx=22-4×

=

,所以所求概

率为

=

.

23.(2014 重庆一中高三下学期第一次月考,13) (原创)小钟和小薛相约周末去爬尖刀山, 他们约定周日早上 8 点至 9 点之间(假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达)在 华 岩 寺 正 大 门 前 集 中 前 往 , 则 他 们 中 先 到 者 等 待 的 时 间 不 超 过 15 分 钟 的 概 率 是 (用数字作答)。

[答案] 23.13 答案

[解析] 23. 设小钟和小薛分别在 8 点后 x、y 分钟后到达华岩寺正大门,则



等 待 时 间 |x - y|≤15 , 根 据 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 可 得 所 求 概 率 为

. 24. (2014 福州高中毕业班质量检测, 12) 如图所示, 在边长为 1 的正方形 点 , 则点 恰好取自阴影部分的概率为 . 中任取一

[答案] 24.

[解析] 24. 依题意,阴影部分面积





故所求的概率为

.

11

25. (2014 广东广州高三调研测试, 11) 如图, 设 内函数 _______. 图象下方的点构成的区域 . 在

是图中边长为 4 的正方形区域, 是 中的概率为

内随机取一点,则该点落在

[答案] 25.

[解析] 25. 由已知及图像可得;阴影部分面积为

,所以概率为

.

26.(2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学(理)试题,14)如图,茎叶图表示甲、乙两名 篮球运动员在五场比赛中的得分, 其中一个数字被污损, 则甲的平均得分不超过乙的平均得 分的概率为 .

[答案] 26. [ 解 析 ] 26. 设 被 污 损 的 数 字 为 x( ). 甲 的 平 均 分 为

,乙的平均分为

,解得



所以 x 可以取 3、4、5、6、7、8、9 共 7 个数值,所以所求概率为 27.(2014 湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,11)记集合 和集合 内任取一点 ,则点 落在区域 表示的平面区域分别为 的概率为 .

.



,若在区域

12

[答案] 27. [解析] 27. 平面区域 的面积为 ,平面区域 是由点 O(0,0) 、A(2,0) 、

B(0,2) 构成的三角形内部及其边界,其面积为

,根据几何概型的概率计算公

式可得所求概率为

.

28.(2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,13 ) 欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫 芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.己知铜钱是直径为 4cm 的圆面,中间有边长为。lcm 的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱 内), 则油滴整体(油滴是直径为 0.2cm 的球)正好落入孔中的概率是 (不作 近似计算).

[答案] 28. [解析] 28. 随机向铜钱上滴一滴油,且油滴整体落在铜钱内,则油滴在以圆面圆心为圆心, 半径为 的圆内,即 ,若油滴整体正好落入孔中,则油滴在与正方形孔距离



正方形内,即

,所求概率是 的边 . ▲

. 上随机取一点 , 记 和 的

29.(2014 江苏苏北四市高三期末统考, 4) 在 面积分别为 和 ,则 [答案] 29. [解析] 29. 由题意,设 , 边上的高为 ,则 . 的概率是







的概率

30. (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测, 15) 设⊙O 为不等边 的外接圆, 内 角 , , 所对边的长分别为 , , , 是 所在平面内的一点,且满足 ( 与 不重合), 下列命题: ①若 ②若 ③若 , ,则 , ,则 ,则点 在平面 ; ; 上的射影恰在直线 上; 为 所在平面外一点, . 有

13

④若 ,则 在 其中不正确的命题有 [答案] 30. ①③④ [解析] 30. , ,即 , , 是

内部的概率为 ( 、 分别表示 (写出所有不正确命题的序号).

与圆 的面积).

, , 的平分线, 的外心 ,

,

在平面 上的射影是 是不等边三角形,

点 在平面 上的射影恰在直线 , 为 弧的中点, 是 在平面 上的射影, ,故 ②正确; 由于 分线,且 ,则点 在圆内, 经过点 ,与

上不正确,故①错误; , ,

,则 在

为直径,若

,则



的角平

是不等边三角形矛盾,故③不正确; 内部的概率应该为长度的测度,故④不正

若 , 是 的平分线, 确. 故不正确的为 ①③④.

31. (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测,14) 已知 为 .

,则

的概率

[答案] 31. [解析] 31. 由 ,则 , ,由几何概型公式,所求的概率

. 32.(2014 广州高三调研测试, 11) 如图 3,设 是图中边长为 4 的正方形区域, 是 内函 数 图象下方的点构成的区域.在 内随机取一点,则该点落在 中的概率为 .

14

[答案] 32. [解析] 32. 依题意,正方形的面积 ,阴影部分的面积 ,

故所求的概率为

.

33. (2014 重庆,18,13 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片. (Ⅰ)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (Ⅱ)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数.) [答案] 33.查看解析 [解析] 33.(Ⅰ)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为

P=

=

.

(Ⅱ)X 的所有可能值为 1,2,3,且

P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

,

P(X=3)= X1 P 2 3

=

,

故 X 的分布列为

从而 E(X)=1×

+2×

+3×

=

.

34. (2014 福建,18,13 分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励, 规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值 之和为该顾客所获的奖励额. (Ⅰ)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: (i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (Ⅱ)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能 符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适 的设计,并说明理由. [答案] 34.查看解析 [解析] 34.(Ⅰ)设顾客所获的奖励额为 X.

15

(i)依题意,得 P(X=60)=

=

,

即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 (ii)依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60.

.

P(X=60)= X 20 60 P 0.5 0.5

,P(X=20)=

=

,

即 X 的分布列为

所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元). (Ⅱ)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元. 所以,先寻找期望为 60 元的可能方案. 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和 的最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最 小值,所以期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1. 对于面值由 20 元 和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以 可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则 X1 的分布列为 X1 20 P 60 100

X1 的期望为 E(X1)=20×

+60×

+100×

=60,

X1 的方差为 D(X1)=(20-60)2× X2 40 P 60 80

+(60-60)2×

+(100-60)2×

=

.

对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为

X2 的期望为 E(X2)=40×

+60×

+80×

=60,

X2 的方差为 D(X2)=(40-60)2×

+(60-60)2×

+(80-60)2×

=

.

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小,所以应该选 择方案 2.

16

注:第(Ⅱ)问,给出方案 1 或方案 2 的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给 3 分; 进一步比较方差,说明应选择方案 2,再给 2 分. 35.(2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,18)一个口袋中装有大小 形状完全相同的 个乒乓球,其中 1 个乒乓球上标有数字 1, ), 若从这个口袋中

2 个乒乓球上标有数字 2,其余 个乒乓球上均标有数字 3(

随机地摸出 2 个乒乓球,恰有一个乒乓球上标有数字 2 的概率是 (1)求 的值;

.

(2)从口袋中随机地摸出 2 个乒乓球,设 表示所摸到的 2 个乒乓球上所标数字之积,求 的分布列和数学期望 [答案] 35.查看解析 .

[解析] 35. (1) 由题设 分 (2) 取值为 2,3,4, 6,9.

,即

,解得

………………………4

的分布列 为: 2 3 4 6 9

=

………………………12 分 、 、

36. (2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题, 17) 某企业招聘工作人员, 设置 三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊

17

五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 试.已

组测试,丙、丁两人各自独立参加

组测

知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 加 组测试,

,丙、丁两人各自通过测试的概率均为

.戊参

组共有 6 道试题,戊会其中 4 题. 戊只能且必须选择 4 题作答,至少答对 3

题 则竞聘成功. (Ⅰ)求戊竞聘成功的概率; (Ⅱ)求参加 (Ⅲ)记 、 组测试通过的人数多于参加 组测试通过的人数的概率;

组测试通过的总人数为 ,求 的分布列和期望.

[答案] 36.查看解析 [解析] 36. (I) 设戊竞聘成功为 A 事件,则

…………3 分 (Ⅱ)设“参加 组测试通过的人数多于参加 组测试通过的人数” 为 B 事件

…………6 分 (Ⅲ) 可取 0,1,2,3,4 0 P 1 2 3 4

…………12 分 37.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,18)前不久,省社科院发布了 2013 年度“城 市居民幸福排行榜” ,某市成为本年度城市最“幸福城”. 随后,某校学生会组织部分同学, 用“10 分制” 随机调查“阳光” 社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所 示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为 叶) : (1)指出这组数据的众数和中位数; (2) 若幸福度不低于 9.5 分, 则称该人的幸福度为“极幸福”. 求从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极幸福” 的概率;

18

(3) 以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据, 若从该社区(人数很多) 任选 3 人, 记 表示抽到“极幸福” 的人数 ,求 的分布列及数学期望.

[答案] 37.查看解析 [解析] 37.(1)众数:8.6; (2)设

中位数:8.75 ;……………………………2 分 ,则

表示所取 3 人中有 个人是“极幸福” ,至多有 1 人是“极幸福” 记为事件

; (3) 的可能取值为 0,1,2,3. ; ; 所以 的分布列为:

…………………6 分

; …….. …………….. 10 分

.

……….. ………. …12 分

另解: 的可能取值为 0,1,2,3. 则



.

所以

=



38. (本题满分 12 分)某英语学习小组共 12 名同学进行英语听力测试,随机抽取 6 名同 学的测试成绩(单位:分),用茎叶图记录如下,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2) 成绩高于样本均值的同学为优秀,根据茎叶图估计该小组 12 名同学中有几名优秀同 学; (3)从该小组 12 名同学中任取 2 人,求仅有 1 人是来自随机抽取 6 人中优秀同学的概率.

19

[答案] 38.查看解析 [解析] 38.(1)由题意可知, 样本均值 (2) 样本中成绩高于样本均值的同学共有 2 名, 可以估计该小组 12 名同学中优秀同学的人数为: (3) 从该小组 12 名同学中, 任取 2 人有 而恰有 1 名优秀同学有 所求的概率为: . (12 分) 种方法, . (7 分) . (3 分)

20


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