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高考数学冲刺过关检测试题36.doc

江苏省高三数学冲刺过关(36)

一,填空题

1. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 M ? {x ? Z | x2 ? 6x ? 5 ≤ 0} ,则集合 ?uU M

=

.

2. 已知复数 z 满足 z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=

.

3. 经过圆 x2 ? 2x ? y2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是

.

4.曲线 y ? a 和y ? x2 在它们的交点处的两条切线互相垂直,则 a 的值是 x

5.函数 f (x) ? (1? cos 2 x)sin 2 x, x ? R 的最小正周期是

.

? ? ? ? 6.已知等差数列 an 中,a2 ? 6 ,a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 bn 的前 5 项和等于

.

7 某单位为了了解用电量 y 度与气温 x 0C 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,

并制作了对照表:

气温(0C)

18

13

10

-1

用电量(度)

24

34

38

64

由表中数据得线性回归方程 y? ? bx ? a 中 b ? ?2 ,预测当气温为 ?40 C

时,用电量的度数约为_______.

8 设 a ?R ,若函数 y ? eax ? 3x , x ?R 有大于零的极值点,则 a 的范围是

.

9. 在平面直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为 (0,1),(4,2),(2,6) .

如果 P(x,y) 是 △ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 w ? xy 取到最大值时,

点 P 的坐标是



10. 电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一

时刻的四个数字之和为 23 的概率为

.

11. 过椭圆 x2 ? y2 ? 1的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 54
则△OAB 的面积为______________
12. 设方程 2ln x ? 7 ? 2x 的解为 x0 ,则关于 x 的不等式 x ? 2 ? x0 的最大整数解为

13. 设 O 是△ABC 内部一点,且 OA ? OC ? ?2OB,则 ?AOB与 ?AOC 的面积之比为
.
14. 下列说法:①当 x ? 0且x ? 1时,有ln x ? 1 ? 2 ;② ? ABC 中,A ? B 是 sin A ? sin B ln x
成立的充要条件;③函数 y ? ax 的图象可以由函数 y ? 2ax (其中 a ? 0且a ? 1)平移得到;
? ? ④已知 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 .;⑤函数 y ? f (1? x) 与函数

y ? f (1? x) 的图象关于直线 x ?1 对称。其中正确的命题的序号为



二:解答题:

15, 已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x)

图象的两相邻对称轴间的距离为 π . 2
(Ⅰ)求 f( π )的值; 8
(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到 6
原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

16, 如图,在多面体 ABCDE 中,AE⊥ABC,BD∥AE, 且 AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F 在 CD 上(不含 C, D 两点) (1)求多面体 ABCDE 的体积; (2)若 F 为 CD 中点,求证:EF⊥面 BCD;

(3)当 DF 的值= FC

时,能使 AC ∥平面 EFB,并给出证明。

E
A C

D
F B

17. 有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定。大桥
上的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足: d ? kv2l ? 1 l (k 为正的常数),假定 2

车身长为 4m,当车速为 60(km/h)时,车距为 2.66 个车身长。 (1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

18, 抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F,A(x1, y1), B(x2 , y2 ) (x1 ? x2 , y1 ? 0, y2 ? 0) 在抛物线上,且存在实

| AB |? 25

数 λ,使 AF ? ?BF ? 0,

4.

(1)求直线 AB 的方程;

(2)求△AOB 的外接圆的方程.

19,

设函数

f (x) ?

2x ?1 。 x2 ? 2

(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对一切 x ? R , ?3 ? af (x) ? b ? 3 ,求 a ?b 的最大值。

设 p,q 为 实 数 , ?,? 是 方 程 x2 ? p x? q ?0 的 两 个 实 根 , 数 列 {xn} 满 足 x1 ? p , x2 ? p2 ? q , xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3,4,…).
(1)证明:? ? ? ? p ,?? ? q ;

(2)求数列{xn} 的通项公式;

(3)若

p

?1,

q

?

1 4

,求{xn} 的前 n

项和

Sn



一,填空题:

参考答案

1, {6,7} 2,

?
5,
2

9,

? ??

5 2

,

5

? ??

二,解答题

2

3, x ? y ?1 ? 0 4, a ? ? 2

4

6, 90

7, 68

8, a ? ?3

10, 1 360

11, 5 3

12, 4 13, 1

15, 解:(Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )

14, ② ③ ④

? = 2?
?

3 sin(?x ? ?) ? 2

1 2

cos(?x

?

?

? )? ?

=2sin( ?x

??

π
-

)

6

因为 f(x)为偶函数,

所以 对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

因此 sin(-?x ? ? - π )=sin(?x ? ? - π ).

6

6

即-sin?x cos(? - π )+cos?x sin(? - π )=sin?x cos(? - π )+cos?x sin(? - π ),

6

6

6

6

整理得 sin?x cos(? - π )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos(? - π )=0.

6

6

又因为 0<? <π ,故 ? - π = π .所以 f(x)=2sin(?x + π )=2cos?x .

62

2

由题意得

2? ? 2? ? ,   所以  ? =2. ?2



f(x)=2cos2x.

因为

f (? ) ? 2cos? ? 2.

8

4

(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个 ? 个单位后,得到 f (x ? ? ) 的图象,再将所得图象横坐标伸

6

6

长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f (? ? ? ) 的图象. 46

所以 g ( x)

?

f

? ( 4

??) 6

?

2 cos ???2(?4

?

? 6

)???

?

2 cos

f

? ( 2

? ? ). 3



2kπ ≤ ? ? ? ≤2 kπ + π (k∈Z),

23



4kπ +≤ 2? ≤x≤4kπ + 8? (k∈Z)时,g(x)单调递减.

3

3

因此 g(x)的单调递减区间为

???4k?

?

2? 3

,4k?

?

8? 3

? ??

(k∈Z)

16, 解:(1)设 AB 中点为 H,则由 AC=AB=BC=2,可得 CH⊥AB 且 CH= 3. 又 BD∥AE,所以 BD 与 AE 共面. 又 AE⊥面 ABC,所以平面 ABDE⊥平面 ABC. 所以 CH⊥平面 ABDE,即 CH 为四棱锥 C-ABDE 的高.
故四棱锥 C-ABDE 的体积为 VC-ABDE=13SABDE·CH=13[12(1+2)×2× 3]= 3.

(2)取 BC 中点 G,连 FG,AG. 因为 AE⊥面 ABC,BD∥AE,所以 BD⊥面 ABC. 又 AG? 面 ABC,所以 BD⊥AG. 又 AC=AB,G 是 BC 的中点,所以 AG⊥BC,所以 AG ? 平面 BCD. 又因为 F 是 CD 的中点且 BD=2,所以 FG∥BD 且 FG=12BD=1,所以 FG∥AE.

又 AE=1,所以 AE=FG,所以四边形 AEFG 是平行四边形, 所以 EF∥AG,所以 EF⊥BCD.

(3) DF =2(证明过程略)。 FC

17,解:

⑴因为当 v ? 60 时, d

? 2.66l

,所以 k

?

2.66l

?

1l 2

?

2.16

? 0.0006 ,

602 l

602

∴ d = 0.0024v2 + 2

⑵设每小时通过的车辆为 Q

,则 Q ? 1000v d ?4

.即 Q

?

1000v 0.0024v2 ? 6

?

1000 0.0024v ? 6

v

∵ 0.0024v ? 6 ≥2 0.0024v ? 6 ? 0.24 ,

v

v

∴ Q ≤1000 ? 12500 ,当且仅当 0.0024v ? 6 ,即 v ? 50 时, Q 取最大值 12500 .

0.24 3

v

3

答:当 v ? 50?km / h? 时,大桥每小时通过的车辆最多.

18, 解:(1)抛物线 y2 ? 4x 的准线方程为 x ? ?1.

∵ AF ? ?BF ? 0 ,∴A,B,F 三点共线.由抛物线的定义,得| AB |= x1 ? x2 ? 2 .

k ? y1 ? y2 , 设直线 AB: y ? k(x ?1) ,而 x1 ? x2

x1 ? x2 , y1 ? 0, y2 ? 0,

?k ? 0.

? y ? k(x ?1),



? ?

y

2

?

4x,

得 k2 x2 ? 2(k 2 ? 2)x ? k 2 ? 0 .

?

2(k 2 ? 2)

? ?

x1

?

x2

?

k2

∴ ??x1 ? x2 ? 1,

,

| AB |= x1 ? x2 ? 2 =

2(k2 ? k2

2)

?

2

?

25 4

.∴

k2

?

16 9



从而

k

?

4 3

,故直线

AB

的方程为

y

?

4 3

(x

?1)

,即

4x

?

3y

?

4

?

0



?4x ? 3y ? 4 ? 0,

(2)由

? ?

y

2

?

4x,

1 求得 A(4,4),B( 4 ,-1).

设△AOB 的外接圆方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则

?

?F ? 0,

? ?16 ? 16 ? 4D ? 4E ? F ? 0,

? ?

1

?1?

1 D ? (?E) ? F

? 0.

?16 4

解得

? ? ? ? ? ? ? ??

D E F

? ? ?

? 29 4
?3, 4
0.

,

x2 ? y2 ? 29 x ? 3 y ? 0

故△AOB 的外接圆的方程为

44

19.解:

(Ⅰ)

f

' ( x)

?

2x ?1 x2 ? 2

?

?2(x ? 2)(x ?1) (x2 ? 2)2



当 x ?(?2,1) 时, f ' (x) ? 0 ;当 x ?(??, ?2) (1, ??) 时, f ' (x) ? 0 ;

故 f (x) 在 (?2,1) 单调增加,在 (??, ?2) (1, ??) 单调减少。

f (x) 的极小值 f (?2) ? ? 1 ,极大值 f (1) ? 1 2

(Ⅱ)由 ( f (x) ? 1)( f (1) ?1) ? ?(x ? 2)2 (x ?1)2 知

2

2(x2 ? 2)2

( f (x) ? 1)( f (1) ?1) ? 0 即 ? 1 ? f (x) ? 1

2

2

由此及(Ⅰ)知 f (x) 的最小值为 ? 1 ,最大值为1 2

因此对一切 x ? R , ?3 ? af (x) ? b ? 3 的充要条件是,

???3 ? ? 1 a ? b ? 3

?

2

???3 ? a ? b ? 3

即 a , b 满足约束条件

?a ? b ? ?3

??a ? b ? 3

? ??

1

a

?

b

?

, ?3

?2

? ???

1 2

a

?

b

?

3

由线性规划得, a ? b 的最大值为 5.

解:(1)由求根公式,不妨设? ? ? ,得? ? p ?

p2 ? 4q

p?

,? ?

p2 ? 4q

2

2

?? ? ? ? p ?

p2 ? 4q p ? ?

p2 ? 4q ?p



2

2

?? ? p ?

p2 ? 4q p ? ?

p2 ? 4q ?q

2

2

(2)设 xn ? sxn?1 ? t(xn?1 ? sxn?2 ) ,则 xn ? (s ? t)xn?1 ? stxn?2 ,



xn

?

pxn?1

?

qxn?2



?s ? ?

? st

t?p ?q



消去 t ,得 s2 ? ps ? q ? 0 ,? s 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的根,

由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ?

①当 ?

?

?

时,此时方程组

?s ? t ? p

? ?

st ? q

的解记为

???st11

?? ??

或 ???st22

?? ??

? xn ? ? xn?1 ? ? (xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? (xn?1 ? ? xn?2 ),

? ? ? ? 即 xn ? t1xn?1 、 xn ? t2xn?1 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列,

由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? (x2 ? ? x1)? n?2 , xn ? ? xn?1 ? (x2 ? ? x1)? n?2 ,

两式相减,得 (? ? ? )xn?1 ? (x2 ? ? x1)? n?2 ? (x2 ? ? x1)? n?2

x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ?

?(x2 ? ? x1)? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n , (x2 ? ? x1)? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n

?(? ? ? )xn?1 ? ? n ? ? n ,

即? xn?1

?

?n ?

??n ??

,? xn

?

? n?1 ?

? ? n?1 ??

②当? ? ? 时,即方程 x2 ? px ? q ? 0 有重根,? p2 ? 4q ? 0 ,

即 (s ? t)2 ? 4st ? 0 ,得 (s ? t)2 ? 0,?s ? t ,不妨设 s ? t ?? ,

由①可知

xn ? ? xn?1 ? (x2 ? ? x1)? n?2 , ? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? (x2 ? ? x1)? n?2 ? ? n

即? xn

?

?

xn?1

?

?

n

,等式两边同时除以?

n

,得

xn ?n

?

xn?1 ? n?1

?

1,即

xn ?n

?

xn?1 ? n?1

?1

?数列{?xnn } 是以 1 为公差的等差数列,

? xn ?n

?

x1 ?

? (n ?1)?1 ?

2? ?

? n ?1 ? n ?1,? xn

?

n? n

?? n

综上所述,

xn

?

?? ? ?

n?1
?

?? ??

n?1

, (?

?

?)

?? n? n ? ? n , (? ? ? )

(3)把 p ? 1, q ? 1 代入 x2 ? px ? q ? 0 ,得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,解得? ? ? ? 1

4

4

2

? xn

?

n

(1)n 2

?

(1)n 2

Sn

?

? ??

(

1 2

)

?

(1)2 2

?

( 1 )3 2

? ... ?

(1)n 2

? ??

?

? ??

(

1) 2

?

2

(1)2 2

?3

( 1 )3 2

? ... ?

n

(1)n 2

? ??

?1?

(1)n 2

?

? ??

(

1 2

)

?

2

(1)2 2

?

3

( 1 )3 2

?

... ?

n

(1)n 2

? ??

? 1? (1)n ? 2 ? (1)n?1 ? n(1)n

2

2

2

? 3 ? (n ? 3)(1)n 2


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