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寒假专题——常见递推数列通项公式的求法同步练习


高一数学人教版寒假专题——常见递推数列通项公式的求法同步练习 (答题时间:50 分钟)
1. 已知 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 2 n ,求 an 。 2. 已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 3an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 an 。 3. 已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2 n ( n ? 2 )求 an 。 4. 已知 {an } 中, a1 ? 4 , a n ? 4 ?

4 a n?1

( n ? 2 )求 an 。
2 2S n ( n ? 2) 2S n ? 1

5. 已知 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项和 S n 与 an 满足 an ? (1)求证: {

1 } 为等差数列 (2)求 {an } 的通项公式 Sn 1 2 6. 已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 S n 满足 S n ? ( a n ? 2) 8 1 (1)求证: {an } 是等差数列 (2)若 bn ? a n ? 30 ,求 {bn } 的前 n 项和的最小值 2

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【试题答案】
1. 解: 由 an?1 ? an ? 2 n ,得 an ? an?1 ? 2 n?1 ∴ an ? an?1 ? 2 n?1

an?1 ? an?2 ? 2 n?2 ……

? a2 ? a1 ? 2
2(1 ? 2 n ?1 ) ? 2n ? 2 ∴ a n ? a1 ? 1? 2
∴ an ? 2 n ? 2 ? a1 ? 2 n ? 1

2. 解: 由 an ? 3an?1 ? 2 得: an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) ∴

an ? 1 ?3 an?1 ? 1

即 {an ? 1} 是等比数列 ∴ an ? (a1 ? 1) ? 3n?1 ? 1 ? 2 ? 3n?1 ? 1

an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1
3. 解: 由 an ? 2an?1 ? 2 n 得

a n a n ?1 ? ?1 2 n 2 n ?1 a a 1 ? ? (n ? 1) } 成等差数列, n ∴ { n n n 2 2 2
4. 解:

∴ an ? n ? 2 n ? 2 n?1

an 4 2(an ? 2) 1 1 1 ? ? ? ? ∴ ( n ? 1) an an an?1 ? 2 2(an ? 2) 2 an ? 2 1 1 1 1 ∴ ? ? ( n ? 1 )设 bn ? a n ?1 ? 2 a n ? 2 2 an ? 2 1 即 bn ?1 ? bn ? (n ? 1) 2 2 1 1 1 n an ? ? 2 ∴ {bn } 是等差数列 ∴ ? ? (n ? 1) ? ? n a n ? 2 a1 ? 2 2 2 an?1 ? 2 ? 2 ?
5. 解: (1) S n ? S n ?1 ?
2 2S n ∴ S n?1 ? S n ? 2S n S n?1 2S n ? 1 1 ∴ { } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列 Sn

1 1 ? ?2 S n S n ?1 1 ∴ ? 2n ? 1 Sn
1 (2) S n ? 2n ? 1

1 2 ) ?2 2n ? 1 ? ∴ an ? (n ? 2) 2 1 4n ? 8n ? 3 2? ?1 2n ? 1 2(

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又 ∵ a1 ? 1 6. 解: (1) a1 ? S1 ?

?1 ? ∴ an ? ? ?2 ? 2 ? 4n ? 8n ? 3
1 (a1 ? 2) 2 8
∴ a1 ? 2

n ?1 (n ? 2)

1 1 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 2) 2 ? (a n ?1 ? 2) 2 8 8 整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0
∵ {an } 是正整数数列 (2) bn ? ∴ an ? an?1 ? 0 ∴ an ? an?1 ? 4 ∴ an ? 4n ? 2 ∴ {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

1 (4n ? 2) ? 30 ? 2n ? 31 2 ∴ {bn } 为等差数列 ∴ S n ? n 2 ? 30n
2 ∴ 当 n ? 15 时, S n 的最小值为 15 ? 30 ? 15 ? ?225

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