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www9m123com:2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第2章第5讲函数的概念及表示方法_图文

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函数的概念
【例1】 已知映射f:A→B,A=B=R,对应 法则f:x→y=-x2+2x.若对于k∈B, 在集合A中不存在原象,求k的取值 范围.

【解析】该问题是研究,已知象k ? B(象集), 求原象x ? A(原象集). 依题意,x ? A, 则方程-x2+2x=k无实数根. 由判别式?=4-4k ? 0,得k ? 1. 即当k ? 1时,它在集合A中不存在原象.

关于映射,如果原象集(A)与象 集(B)是数集,则可用函数的观点研 究.本题实际上是函数y=x2-2x+k 与x轴没有交点的问题,体现了函数 与方程的思想.

【变式练习1】 已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4, a2+3a},其中a∈N ,k∈N ,f:x→y =3x+1,x∈A,y∈B是从定义域A到值 域B的一个函数,求a,k的值.
【 解 析 】( 定 义 法 ) 由 对 应 法 则 : 1→4,2→7,3→10 , k→3k + 1 , 又 a∈N , 所 以 a4≠10 , 所 以 a2 + 3a = 10 , 解 得 a = 2(舍去-5),所以a4=16,于是3k+1= 16,所以k=5.

判断两个函数是

【例2】

否相同

判断下列函数是否表示同一函数:

?1? f ? x?= x2,g ? x?=3 x3;

? ? ? ? ? ? 2 f x =2n?1 x2n?1,g x =(2n?1 x )2n-1(n ? N*);

?3? f ? x?= x2 ? 2x ?1,g ? x?=x-1;

?

4?

f

?

x

?=|

x x

|,g

?

x

?=???1?(1x(

? x

0) ? 0)

【解析】?1? f ? x?= x2= x ,g ? x?=3 x3=x,
它们的对应法则不同,故不是同一函数;
?2? n ? N*时,2n+1, 2n-1都是奇数,故

? ? ? ? f x =2n?1 x2n?1=x,g x =(2n?1 x )2n-1=x,
它们的三要素都相同,故是同一函数;

?3? f ? x?= x2 ? 2x ?1=| x-1|,g ? x?=x-1,
它们的对应法则不同,故不是同一函数;

?4?因为f ? x?=| x |的定义域是(-?,0) (0,+?),
x

g

?

x ?=???1?(1x( x?

0) 的定义域是R, ? 0)

它们的定义域不同,故不是同一函数.

判断两个函数是否是同一函数, 要分别比较它们的定义域、对应法则 和值域,当且仅当它们的三要素都相 同时,才表示同一函数,只要三要素 中有一个要素不同,则这两个函数就 不可能是同一函数.

【变式练习2】

判断下列各组函数是否为同一函数.

?1? f ? x?=x2+1,g ?t ?=t2+1;

?2? f ? x?= x?x ?1?,g ? x?= x ? x ?1;

?3? f ? x?= x2 ?1,g ? x?=x+1;
x ?1

?4?

f

?

x

?=???1x??x1((

x x

? ?

1),g 1)

? x?=|

x-1

|

.

【解析】(1)函数的定义域、值域、对应关 系都相同,是同一函数; (2)f(x)的定义域为(-∞,0]∪[1,+∞),g(x) 的定义域为[1,+∞),是不同函数; (3) 尽 管 化 简 后 f(x) = x + 1 , 但 其 定 义 域 为 {x|x∈R,且x≠1},而g(x)的定义域为R,故 它们是不同函数; (4)化简后f(x)=|x-1|=g(x),是同一函数.

求函数值

【例3】
?1?定义在N上的函数f ? x?满足f ?n?=

?n ? 2(n ? 2000)

? ?

f

[

f

(n

?

6)](n

?

,求f 2000)

? 2011?的值;

?2?已知函数f ? x?=?????seixn?1(?(xx?2)0(?) 1 ? x ? 0)

.若f ?1?+f ?a?=2,求a的所有可能的值.

【解析】?1?因为2011 ? 2000,所以f ?2011?

=f [ f (2011-6)]=f [ f (2005-6)]=f ?? f ?1999??? =f ?2001?=f ?1995?=1997.

?2?因为f ?1?=1,所以,当a ? 0时,f ?a?=ea-1.

故由1+ea-1=2,得a=1;

当-1 ? a ? 0时,f ?a?=sin ?? a2 ?.

? ? 故由1+sin ? a2 =2,得? a2=? +2k? (k ? Z). 2

又a2 ? 1,所以,当k=0时,a2=1,得a=- 2 .

2

2

故a的所有可能的值是1,- 2 . 2

在求函数值的训练中,分段函数 是极好的工具.求分段函数的值要明 白给定的自变量的值在哪一段定义范 围内,然后代入这一段函数表达式, 并计算出结果.如果给定的自变量是 常参数,要注意分段讨论求解.

【变式练习3】

?1?设f ? x?=??2?x (x ? 4) ,
? f (x ? 1)(x ? 4)

则f ?log23?=_____________

? 2 ? 设g

?

x ?=1-2x,f

?? g

?

x

?

??=1

?x x2

2

(x

?

0),

则f (( 1 )=_______________ 2

【解析】?1?因为1 ? log23 ? 2,所以

f ?log23?=f (log23+1)=?=f (log23+3)

=2-log

2

24=

1 24

.

?2?令g ? x?=1,即1-2x=1,得x=1 .

2

2

4

所以f

(

1 2

1 )=

?1 16 1

=15.

16

1.已知 a、b 为实数,集合 M={ba,1},N={a,0}, f:x→x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中 仍为 x,则 a+b= 1 .

【解析】由题意可知ab=0,a=1,解得 a=1,b=0, 所以 a+b=1.

?3x ?x≤1? 2.已知函数 f(x)=??-x?x>1? ,若 f(x)=2,则 x= log32 .

【解析】由???3x≤x=12 ?x=log32,?????x->x1=2?x=-2 无解.

?1(x ? 0)
3.若函数f ? x?=??0(x ? 0) ,则f (x2+1)=___1__
???1(x ? 0)
【解析】因为x2+1>0,所以f(x2+1)=1.

4.函数f ? x?对于任意实数x满足条件f (x+2)=

f

1 ,若f ?x?

?1?=-5,则f

??

f

?5???=__?__15____

【解析】因为f (x+4)=f [(x+2)+2]

=1= f ?x ? 2?

1 1

=f ? x?,

f ?x?

所以f ?5?=f ?1?=-5,

所以f (-5)=f (-1)=f ?3?=f (1+2)= 1 =-1,
f ?1? 5

所以f

??

f

?5???=f

(-5)=-1 . 5

5.判断下列函数是否表示同一函数:
?1? y=(x-1) 1 ? x,y= 1 ? x2;
1? x
?2? y=lgx3,y=3lgx.
【解析】?1?函数y=(x-1) 1 ? x的定义域是
1? x [-1,1),函数y= 1 ? x2的定义域是[-1,1], 它们的定义域不同,故不是同一函数;
?2? y=lgx3=3lgx,y=3lgx,它们的三要素
都相同,故是同一函数.

1.理解函数(映射)的概念 映射是特殊的对应,判断一个对应 是否是映射:①集合A中的每一个元素是 否在B中都有对应的元素;②这个对应元 素是否是唯一的.象与原象是映射中两 个重要的概念,象是集合B中的元素,原 象是集合A中的元素.

函数是特殊的映射,判断一个映射是否 是函数:①给定的集合A、B是不是非空数集; ②B中的每一个元素是不是都有原象,如y=
x ? 3+ 2 ? x就不是函数.设两个非空数集 A、B,由f :A ? B所确定的函数,当x ? A时, y ? B,A称函数的定义域,B称函数的值域. 两个相同的函数必须定义域、值域、对应关 系(函数三要素)完全相同.对于用解析法表示 的函数,只要化简表达式后,对应关系相同 且定义域相同,就表示相同的函数.

2.分段函数是一个函数,而不是 多个函数,它的定义域是各段自变量的 取值范围的并集;值域是各段函数值的 取值范围的并集.解答分段函数问题时 要灵活运用分类讨论的思想方法.


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