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【高中数学】不等式恒成立问题


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不等式恒成立问题
不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型, 涉及数学中各部分知识, 但主要是函数中 的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题, 最常考的一种题型是: 已知不等式恒成 立,求参数的取值范围,解决这类问题的基本方法是相同的,首选方法是利用分离参数转化 为求新函数、新数列的最值问题,如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时,一般选择函 数的方法,通常利用函数的最值解决。 在正式求解之前先解决两个问题: 1、怎么判断是恒成立问题? 恒成立问题一般都有很明显的关键词,比如任意、所有、全、都、总、恒、均等。 2、如何区分主元和参数? 恒成立问题一般会出现这样一句话: “对某个未知数在某个区间范围内恒成立” , 那么这个未 知数就是主元,剩下的未知数就是参数。 ? 函数性质法

1、一次函数型 给定一次函数 y ? f ( x) ? kx ? b ( k ? 0 ),若 y ? f ( x) 在 [m, n] 内恒有 f ( x) ? 0 , 则根据函 数的图像(线段) y y

o m

n

x

o m

n

x

可得上述结论等价于

? f ( m) ? 0 ? ? f ( n) ? 0
同理,若在 [m, n] 内恒有 f ( x) ? 0 ,则有 ?

? f ( m) ? 0 。 ? f ( n) ? 0
2

例 对于满足 0 ? p ? 4 的一切实数,不等式 x ? px ? 4 x ? p ? 3 恒成立,试求 范围. 分析:习惯上把

x 的取值

x 当作自变量,记函数 y ? x 2 ? ( p ? 4) x ? 3 ? p ,于是问题转化为: 当 p ? ?0,4? 时, y ? 0 恒成立,求 x 的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以
2 解: 设函数 f ( p) ? ( x ? 1) p ? ( x ? 4x ? 3) , 显然 x ? 1 , 则 f ( p ) 是 p 的一次函数,

及二次方程的区间根原理,可想而知,这是相当复杂的.

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要 使 f ( p) ? 0 恒 成 立 , 当 且 仅 当 f (0) ? 0 , 且 f (4) ? 0 时 , 解 得 x 的 取 值 范 围 是 (??,?1) ? (3,??) . 点评:本题看上去是一个不等式问题,但是经过等价转化,把它化归为关于 p 的一次 函数,利用一次函数的单调性求解,解题的关键是转换变量角色. 例 设函数 f ( x) ? x 3 ,若 0 ? ? ? 范围 答案: (??,1]

?
2

时, f (m sin? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值

变式练习 1、对于满足 p ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2 ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取值范围。

2、对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。 解:令 f (a) ? ( x ? 2)a ? x 2 ? 4 x ? 4 ,则原问题转化为 f (a ) ? 0 恒成立( a ? [?1,1] ) 。 当 x ? 2 时,可得 f (a ) ? 0 ,不合题意。 当 x ? 2 时,应有 ?

? f (1) ? 0 解之得 x ? 1或x ? 3 。 ? f (?1) ? 0

故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??) 。 3、若函数 f(x)=x3+3x 对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x∈________. 解析:由题意可知 f(x)为奇函数,且在定义域内为增函数, ∴f(mx-2)+f(x)<0 可变形为 f(mx-2)<f(-x), ∴mx-2<-x,将其看作关于 m 的一次函数 g(m)=x· m-2+x,m∈[-2,2], 可得当 m∈[-2,2]时,g(m)<0 恒成立, 2 由 g(2)<0,g(-2)<0,解得-2<x< . 3 2 ? 答案:? ?-2,3? 提高练习 (2011,卢湾,一模)已知函数 f ( x) ? 2x ? 2? x a (常数 a ? R ) . (1)若 a ? ?1 ,且 f ( x) ? 4 ,求 x 的值; (2)若 a ? 4 ,求证函数 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数; (3)若存在 x ?[0,1] ,使得 f (2x) ? [ f ( x)]2 成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1)由 a ? ?1, f ( x) ? 4 ,可得 2 x ? 2? x ? 4 ,设 2 x ? t ,

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则有 t ? t ?1 ? 4 ,即 t 2 ? 4t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 2 ? 5 当 t ? 2 ? 5 时,有 2 x ? 2 ? 5 ,可得 x ? log2 (2 ? 5) . 当 t ? 2 ? 5 时,有 2 x ? 2 ? 5 ,此方程无解. 故所求 x 的值为 log2 (2 ? 5) .

??????2 分

??????4 分

(2)设 x1 , x2 ?[1, ??), 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2x1 ? 2? x1 a) ? (2x2 ? 2? x2 a)

? (2 x1 ? 2 x2 ) ?

2 x2 ? 2 x1 2 x1 ? 2 x2 x1 ? x2 a ? (2 ? a) 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2

???7 分

由 x1 ? x2 ,可得 2 x1 ? 2 x2 ,即 2 x1 ? 2 x2 ? 0 由 x1 , x2 ?[1, ??), x1 ? x2 ,可得 x1 ? x2 ? 2 ,故 2 x1 ? x2 ? 4 ? 0 , 又 a ? 4 ,故 2 x1 ? x2 ? a ,即 2 x1 ? x2 ? a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 故函数 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数. (3)由 f (2x) ? [ f ( x)]2 ? 22 x ? 2?2 x ? 22 x ? 2a ? 2?2 x a 2 ??????10 分

? 2?2 x (a2 ? a) ? 2a ? 0

??????12 分

设 t ? 2?2 x ,由 x ?[0,1] ,可得 t ?[ ,1] ,由存在 x ?[0,1] 使得 f (2x) ? [ f ( x)]2 , 可得存在 t ?[ ,1] ,使得 (a 2 ? a)t ? 2a ? 0 ,

1 4

1 4

??????14 分

令 g (t ) ? (a2 ? a)t ? 2a ? 0 ,故有 g ( ) ? (a2 ? a) ? 2a ? 0 或 g (1) ? (a 2 ? a) ? 2a ? 0 , 可得 ?7 ? a ? 0 .即所求 a 的取值范围是 (?7,0) . ??????16 分

1 4

1 4

?

函数性质法

二次函数型 设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,
2

① f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立

? a ? 0且? ? 0 。
② 若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ? 0(或 ? 0 )在指定区间上恒成立,可以利用韦 达定理以及根的分布等知识求解。

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2 2

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例 已知关于 x 的不等式 (m ? 4m ? 5) x ? 4(m ? 1) x ? 3 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实 数 m 的取值范围. 分析:利用二次项系数的正负和判别式求解,若二次项系数含参数时,应对参数分类讨论. 2 解: (1)当 m ? 4m ? 5 ? 0 时, 即 m ? 1 或 m ? ?5 , 显然 m ? 1 时, 符合条件, m ? ?5 不符合条件; 2 (2) 当 m ? 4m ? 5 ? 0 时,由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件,得
2 ? ?m ? 4m ? 5 ? 0, ,解得 1 ? m ? 19 . ? 2 2 ? ? 16( m ? 1) ? 12( m ? 4 m ? 5) ? 0 ? ?

综合(1)(2)得,实数 m 的取值范围为 ?1,19? .

例 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ,若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求
2

a 的取值范

围.

a ? a2 ? 解: f ( x) ? ? x ? ? ? ? a ? 3 ,令 f ( x) 在 ? ?2,2? 上的最小值为 g (a) . 2? 4 ?
(1)当 ?

2

a 7 ? ?2 ,即 a ? 4 时, g (a) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又? a ? 4 2 3

? a 不存在.

(2)当 ?2 ? ?

a a2 a ? 2 ,即 ?4 ? a ? 4 时, g (a) ? f ( ) ? ? ? a ? 3 ? 0 2 2 4
??6 ? a ? 2 又? ?4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 2

(3)当 ?

a ? 2 ,即 a ? ?4 时, g (a) ? f (2) ? 7 ? a ? 0 2 ? a ? ?7 又? a ? ?4 ??7 ? a ? ?4 综上所述, ?7 ? a ? 2 .

【此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定的情形,还有与其相反的,轴动区间 定】 提高练习 (2012. 长宁理. 22) 设函数 f ( x) ? a ? (k ? 1)a (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.
x ?x

(1)求 k 值; (2)若 f ( 1 ) ? 0 ,试判断函数单调性并求使不等式 f ( x ? tx) ? f (4 ? x) ? 0 恒成立的 t 的 取值范围;
2

解:(1)∵ f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数, ∴ f (0)=0 , ∴ 1 ? (k ? 1) ? 0 , ∴ k ? 2.

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(2) f ( x) ? a ? a (a ? 0且a ? 1),
x

?x

Q f (1) ? 0,? a ?

1 ? 0, 又a ? 0, 且a ? 1,? 0 ? a ? 1 a

Q a x 单 调 递 减 , a ? x 单 调 递 增 , 故 f ( x) 在 R 上 单 调 递 减 . 不 等 式 化 为

f ( x2 ? tx) ? f ( x ? 4)
? x2 ? tx ? x ? 4, 即 x2 ? (t ?1) x ? 4 ? 0 恒成立, ?? ? (t ?1)2 ?16 ? 0 ,解得 ?3 ? t ? 5 .

?

函数性质法

函数最值法 若所给函数能直接求出最值,则有:

f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x)min ? 0 (注:若 f ( x) 的最小值不存在,则 f ( x) ? 0 恒成立 ?
; f (x f ( x) 的下界大于 0) ) 0 ? 恒成立 ? f ( x)max ? 0 (注:若 f ( x) 的最大值不存在,则 。 f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x) 的上界小于 0) 【注】当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时,可直接求出这个最值(最值可 能含有参数) ,然后建立关于参数的不等式求解。由此看出,本类问题实质上是一类求函数 的最值问题。 ( 2013 理 12 ) 设

a 为 实 常 数 , y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,
8? ? ? ??, ? ? 7? ?

f ( x) ? 9 x ?

a2 ?7 .若 f (x) ?a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为 x

?

分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端, 从而问题转化为求主元函 数的最值,进而求出参数范围,则有(下面的 ? 为参数为例) 利用分离参数法来确定不等式 f ? x, ? ? ? 0 ,( x ? D , ? 为实参数)恒成立中参数 ? 的取 值范围的基本步骤: (1) 将参数与变量分离,即化为 g ? ? ? ? f ? x ? (或 g ? ? ? ? f ? x ? )恒成立的形式; (2) 求 f ? x ? 在 x ? D 上的最大(或最小)值; (3) 解不等式 g ? ? ? ? f ( x)max (或 g ? ? ? ? f ? x ?min ) ,得 ? 的取值范围。 适用题型: (1) 参数与变量能分离; (2) 函数的最值易求出。

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例(2006 理,12)三个同学对问题“关于

x 的不等式 x 2 ? 25 ? x 3 ? 5 x 2 ? ax 在 ?1,12? 上

恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说:“把不等式变形为左边含变量 丙说:“把不等式两边看成关于

x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” a 的取值范围为

x 的函数,作出函数图像”

参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,则 ______________

解析:关键在于对甲,乙,丙的解题思路进行思辨,这一思辨实际上是函数思想的反映
2 3 2 设 f ? x ? ? x ? 25 ? x ? 5 x , g ? x ? ? ax .

甲的解题思路,实际上是针对两个函数的,即把已知不等式的两边看作两个函数,
2 3 2 设 f ? x ? ? x ? 25 ? x ? 5 x , g ? x ? ? ax

其解法相当于解下面的问题:对于 x1 ??1,12? , x2 ??1,12? ,若 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,求 的取值范围.

a

所以, 甲的解题思路与题目 x ??1,12? , f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围的要求不一致。 因而, 甲的解题思路不能解决本题.
2 3 2 按照丙的解题思路需作出函数 f ? x ? ? x ? 25 ? x ? 5 x 的图象和 g ? x ? ? ax 的图象。然

而,函数 f ? x ? 的图象并不容易作出。

由乙的解题思路,本题化为

f ? x? ? a 在 x ??1,12? 上 恒 成 立 , 等 价 于 x ??1,12? 时 , x

? f ? x? ? ? ? ? a 成立 ? x ? min


f ? x? 25 ? x ? ? x x ? 5 在 x ? 5 ??1,12? 时,有最小值 10 ,于是 a ? 10 . x x

变式练习
2 1、 (虹口区 2010 学年度第二学期高三年级数学) 不等式 x ? 3 ? ax ? a 对一切 3 ? x ? 4 恒

成立,则实数 a 的取值范围是

.a ? 3

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2

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2、不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 【答案】 a ? ?1 或 a ? 4 . 3、函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 3 ,若不等式若不等式 t ?1 ? t ? 2 ? f ( x) 对一切的 x ? R 恒成 立,则实数 t 的取值范围为______ 4 、 ( 2015 学 年 , 复 旦 附 中 高 三 第 一 学 期 期 中 ) 已 知 向 量

(1)求 f ( x) 的表达式,并求函数 f ( x) 在 [ (2)若对任意 x ?[0 ,

a ? ( 3 sin 3x ,? y) , b ? (m , cos3x ? m) ( m ? R) ,且 a ? b ? 0 . 设 y ? f ( x) . ? 2?
?
18 , 9 ] 上图像最低点 M 的坐标.

] , f ( x) ? t ? 9 x ? 1 恒成立,求实数 t 的范围. 9 ? 3 sin 3 x ? m ? 0 解: (1) a ? b ? 0 ,即 ? , ?? y ? cos3 x ? m ? 0
消去 m ,得 y ? 3 sin 3x ? cos3x , 即 f ( x) ?

3 sin 3 x ? cos 3 x ? 2 sin( 3 x ?

?
6

),

? ? 5? ? 2? ? 1 x ?[ , ] 时, 3 x ? ?[ , ] , sin(3x ? ) ?[ ,1] , 6 18 9 3 6 6 2 2? 即 f ( x) 的最小值为 1 ,此时 x ? 9
所以函数 f ( x) 的图像上最低点 M 的坐标是 ( (2) f ( x) ? t ? 9 x ? 1 , 即 2 sin( 3 x ? 当 x ?[0 ,

?
6

2? , 1) 9

) ? 9 x ? t ? 1,

?
9

] 时, 函数 f ( x) ? 2 sin( 3 x ?

?
6

) 单调递增, y ? 9 x 单调递增,

所以 y ? 2 sin( 3 x ? 所以 y ? 2 sin( 3 x ? 要 2 sin( 3 x ?

?
?
6
6

) ? 9 x 在 [0 ,

?
9

] 上单调递增,

) ? 9 x 的最小值为 1,

?
6

) ? 9 x ? t ? 1 恒成立,只要 t ? 1 ? 1 ,所以 t ? 0 为所求.

提高练习
x (2008 理,19)已知函数 f ( x) ? 2 ?

1 。 2| x|

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值。 (2)若 2t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[1, 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围。 【出题背景:本题考查函数的概念、简单指数方程的解法及含字母系数的不等式的解法。 】

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x 解: (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x 由条件可知 2 ?

1 。 2x

1 ? 2 ,即 22 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 0 x 2

解得 2 ? 1 ? 2 ,
x

Q 2x ? 0,

Q x ? log 2 (1? 2)
1 1 ) ? m(2t ? t ) ? 0 ,即 m(22t ?1) ? ?(24t ?1) 。 2t 2 2

t 2t (2)当 t ?[1, 2] 时, 2 (2 ?

Q 22t ?1 ? 0 ,? m ? ?(22t ? 1) 。
Q t ? [1, 2] ,? ? (22t ? 1) ?[?17, ?5] ,
故 m 的取值范围是 [?5, ??) 。

2、 (2011,长宁一模)设 f ?x ? ? log 1 (1)求 a 的值;

1 ? ax ? x 为奇函数, a 为常数。 x ?1 2

(2)判断函数 f ( x) 在 x ? (1,??) 时的单调性,并说明理由;

?1? (3)若对于区间 ?3,4? 上的每一个 x 值,不等式 f ?x ? ? ? ? ? m 恒成立,求实数 m 取值 ?2?
范围。 解: ( 1 ) 由 条 件 得 : f (? x) ? f ( x) ? 0 , ? log 1
2

x

1 ? ax 1 ? ax ? log 1 ? 0 ,化简得 ? x ?1 x ?1 2

(a 2 ? 1) x 2 ? 0 ,因此 a 2 ? 1 ? 0, a ? ?1 ,但 a ? 1 不符合题意,因此 a ? ?1 。
(也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称,得出结果,同样给分)……. 4 分 (2) f ( x) ? log 1
2

x ?1 2 ? x ? log 1 (1 ? ) ? x ,……………. x ?1 x ?1 2

6分

当 x ? (1,??) 时,

2 2 ) 单调递增,? f ( x) 单调递增。 单调递减,因此 log 1 (1 ? x ?1 x ? 1 2
1 2 1 2

(也可以利用单调性的定义判断,对照给分)……………. 10 分
x x (3)不等式为 m ? f ( x ) ? ( ) 恒成立,? m ? [ f ( x) ? ( ) ] min 。…….12 分

1 ? f ( x) 在 x ? [3,4] 上单调递增, ( ) x 在 x ? [3,4] 上单调递减, 2

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1 ? f ( x) ? ( ) x 在 x ? [3,4] 上单调递增,……………………… 2
当 x ? 3 时取得最小值为

16 分

15 15 ,? m ? (?? , ) 。……………. 18 分 8 8


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