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2018高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第5讲导数与函数零点不等式的综合问题课件


专题一 函数与导数、不等式 第 5 讲 导数与函数零点、 不等式的综合问题 1.(2017· 全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 x≥0 时,f(x)≤ax+1,求 a 的取值范围. 解:(1)f′(x)=-2xex+(1-x2)ex=(1-2x-x2)ex. 令 f′(x)=0,得 x2+2x-1=0, 解得 x1=- 2-1,x2= 2-1. 令 f′(x)>0,则 x∈(- 2-1, 2-1),令 f′(x)<0, 则 x∈(-∞,- 2-1)∪( 2-1,+∞). 所以 f(x)在区间(-∞,- 2-1),( 2-1,+∞)上 单调递减,在区间(- 2-1, 2-1)上单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1-x)ex. 当 a≥1 时,设函数 h(x)=(1-x)ex,h′(x)=-xex< 0(x>0),因此 h(x)在[0,+∞)上单调递减. 又 h(0)=1,故 h(x)≤1,所以 f(x)=(x+1)h(x)≤x+ 1≤ax+1, 当 0<a<1 时,设函数 g(x)=ex-x-1,g′(x)=ex-1 >0(x>0),所以 g(x)在[0,+∞)上单调递增,而 g(0)=0, 故 ex≥x+1. 当 0<x<1 时,f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2 -ax-1=x(1-a-x-x2), 5-4a-1 取 x0= ,则 x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2- 2 ax0-1=0,故 f(x0)>ax0+1. 5-1 当 a≤0 时,取 x0= ,则 x0∈(0,1),f(x0)>(1 2 -x0)(1+x0)2=1≥ax0+1, 综上可知,a 的取值范围是[1,+∞). 2.(2016· 全国卷Ⅲ)设函数 f(x)=ln x-x+1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; x-1 (2)当 x∈(1,+∞)时,证明 1< <x; ln x (3)设 c>1,证明当 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx. 解:(1)由 f(x)=ln x-x+1(x>0), 1 得 f′(x)=x-1. 令 f′(x)=0,解得 x=1. 当 0<x<1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增. 当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减. 因此 f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上为减函 数. (2)证明: 由(1)知, 函数 f(x)在 x=1 处取得最大值 f(1) =0. 所以当 x≠1 时,ln x<x-1. 1 1 故当 x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln x<x-1, x-1 所以 1< <x. ln x (3)证明:由题设 c>1,设 g(x)=1+(c-1)· x-cx, 则 g′(x)=c-1-cxln c. c- 1 ln ln c 令 g′(x)=0,解得 x0= . ln c 当 x<x0 时,g′(x)>0,g(x)单调递增; 当 x>x0 时,g′(x)<0,g(x)单调递减. c- 1 由(2)知 1< <c,故 0<x0<1. ln c 又 g(0)=g(1)=0,故当 0<x<1 时, g(x)>0. 所以当 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx. 【命题透视】 函数与方程、不等式的交汇是考查的 热点,常以含指数函数、对数函数的情形为载体考查函数 的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明以及根据不等 式恒成立与能成立求参数

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