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2018高中数学人教a版选修4-1创新应用教学案:第二讲 三 圆的切线的性质及判定定理 含答案


三 圆的切线的性质及判定定理 [对应学生用书 P25] 1.切线的性质 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图,已知 AB 切⊙O 于 A 点,则 OA⊥AB. (2)推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. (3)推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2.圆的切线的判定方法 (1)定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. (2)数量关系:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线. (3)定理:过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线. 其中(2)和(3)是由(1)推出的,(2)是用数量关系来判定,而(3)是用位置关系 加以判定的. [说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论,“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则该直线就不是圆的切线. [对应学生用书 P25] 圆的切线的性 质 [例 1] 如图,已知∠C=90° ,点 O 在 AC 上,CD 为⊙ O 的直径,⊙O 切 AB 于 E,若 BC=5,AC=12.求⊙O 的 半径. [思路点拨] ⊙O 切 AB 于点 E, 由圆的切线的性质, 易联想到连接 OE 构造 Rt△OAE,再利用相似三角形的性质,求出⊙O 的半径. [ 解] 连接 OE, ∵AB 与⊙O 切于点 E, ∴OE⊥AB,即∠OEA=90° . ∵∠C=90° ,∠A=∠A, ∴Rt△ACB∽Rt△AEO, OE AO ∴ = . BC AB ∵BC=5,AC=12,∴AB=13, OE 12-OE ∴ = , 5 13 ∴OE= 10 . 3 10 . 3 即⊙O 的半径为 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线, 其中连接 圆心和切点的半径是常用辅助线,从而可以构造直角三角形,利用直角三角形边 角关系求解,或利用勾股定理求解,或利用三角形相似求解等. 1.如图,AB 切⊙O 于点 B,延长 AO 交⊙O 于点 C,连接 BC.若∠A=40° , 则∠C=( ) A.20° C.40° B.25° D.50° 解析:连接 OB,因为 AB 切⊙O 于点 B,所以 OB⊥AB,即 ∠ABO=90° ,所以∠AOB=50° . 又因为点 C 在 AO 的延长线上,且在⊙O 上, 1 所以∠C= ∠AOB=25° . 2 答案:B 2.如图, 已知 PAB 是⊙O 的割线, AB 为⊙O 的直径. PC 为⊙O 的切线,C 为切点,BD⊥PC 于点 D,交⊙O 于点 E, PA=AO=OB=1. (1)求∠P 的度数; (2)求 DE 的长. 解:(1)连接 OC. ∵C 为切点,∴OC⊥PC,△POC 为直角三角形. ∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2, ∴sin ∠P= OC 1 = .∴∠P=30° . PO 2 (2)∵BD⊥PD,∴在 Rt△PBD 中, 由∠P=30° ,PB=PA+AO+OB=3, 3 得 BD= . 2 连接 AE.则∠AEB=90° ,∴AE∥PD. ∴∠EAB=∠P=30° ,∴BE=ABsin 30° =1 , 1 ∴DE=BD-BE= . 2 圆的切线的判 定 [例 2] 已知 D 是△ABC 的边 AC 上的一点, AD∶DC=2∶1, ∠C=45° , ∠ADB =60° ,求证:AB 是△BCD 的外接圆的切线. [思路点拨] 连接OB,OC,OD → ∠BOD=90°→ ∠OBC=∠OCB=30°→ ∠ABO=90°→ 结论 . [证明] 如图,连接

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