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园的一般方程


圆的一般方程
三维目标:
知识与技能 :
(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征, 由圆的一般方程确定圆的圆心半径. 掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆 的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系

数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问 题的实际能力。 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇 于探索。

教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定
方程中的系数,D、E、F.

教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教 具:多媒体、实物投影仪
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王新敞

王新敞
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教学过程:
课题引入:
问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有 没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究:
请同学们写出圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
取 D ? ? 2 a , E ? ? 2b , F ? a ? b ? r 得
2 2 2

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2



这个方程是圆的方程. 反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得
D ? E ? 4F
2 2

(x ?

D 2

) ? (y ?
2

E 2

) ?
2

4

② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆?
D 2 E 2

(1)当 D2+E2-4F>0 时,方程② 表示(1)当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,表示以(心,
1 2 D ?E
2 2

,-

)为圆

? 4F

为半径的圆;
2

(2)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ?
2 2 2

D 2

,y ? ?

E 2

,即只表示一个点(新疆

D 2

,-

E 2

);

(3)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 综上所述,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆
2 2
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只有当 D ? E ? 4 F ? 0 时,它表示的曲线才是圆,我们把形如 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的表示圆的
2 2
2 2

方程称为圆的一般方程 ? x ? 1 ? ? y ? 4
2 2
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我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x 和 y 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.
2 2

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方 程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标 准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 知识应用与解题研究: 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判
2 2 断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4 x ? 4 y ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 来说,这里的

D ? ? 1, E ? 3, F ?

9 4

而 不 是 D=-4,E=12,F=9 .

例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三 点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
2
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解:设所求的圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

1) ∵ A (0, 0), B (1, ,C(4,2)在圆上, 所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程, 可以

得到关于 D , E , F 的三元一次方程组,
?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ? 4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?

解此方程组,可得: D ? ? 8, E ? 6 , F ? 0
2 2

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∴所求圆的方程为: x ? y ? 8 x ? 6 y ? 0
r ? 1 D ? E ? 4F ? 5 ; ?
2 2

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D 2

? 4,?

F 2

? ?3

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2 得圆心坐标为(4,-3).
2 2

或将 x ? y ? 8 x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程, ( x ? 4 ) ? ( y ? 3) ? 25 ,从而求出圆的半
2 2

径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3)

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学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: ①、根据提议,选择标准方程或一般方程; ②、根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; ③、解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1 ? ? y ? 4 运动,求线段 AB 的中
2 2

点 M 的轨迹方程。 分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满足方程 ? x ? 1 ? ? y ? 4 。
2 2

建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的条件,求出点 M 的轨迹方程。 解 : 设 点 M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点 A 的 坐 标 是

3 ? x0 , y 0 ? .由 于 点 B 的 坐 标 是 ? 4,? 且 M 是 线 段 AB 的 重 点 , 所 以
x? x0 ? 4 2 ,y? y0 ? 3 2

,



于 是 有 x 0 ? 2 x ? 4, y 0 ? 2 y ? 3
因 为 点 A在 圆

? x ? 1?

2

? y ? 4 上 运 动 , 所 以 点 A 的 坐 标 满 足 方 程 ? x ? 1? ? y ? 4 , 即
2 2 2

? x0 ? 1?

2

? y0 ? 4
2

? x0 ? 1?

2

? y0 ? 4
2



把①代入②,得
p130

? 2 x ? 4 ? 1?

2

3? 3? 2 ? ? ? ? 2 y ? 3 ? ? 4, 整 理 , 得 ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? 2? ? ?

2

2

?3 3? 所 以 , 点 M 的 轨 迹 是 以 ? , ? 为 圆 心 , 半 径 长 为 1的 圆 ?2 2?
6

y
4

A
2 -5

M

B
5

O
-2

x

-4

课堂练习:课堂练习 p130 第 1、2、3 题 小结 : 1.对方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆)
2 2
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2.与标准方程的互化

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3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。

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课后作业: p130 习题 4.1 第 2、3、6 题


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