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浙江省杭州高级中学09-10学年高二下学期期中试题数学

杭州高级中学 2009 学年第二学期 期中考试高二数学试卷 说明: 1.本试卷满分为 100 分,附加题 5 分计入总分,但最高总分不超过 100 分; 2.考试时间为 90 分钟,考试过程中不得使用计算器; 3.所有题目均做在答题卷上. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) : 1.在复平面内,复数 z ? i(1 ? 2i) 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.函数 y ? x cos x 的导数为 2 ( D.第四象限 2 . ) ) ( B. 2 x cos x ? x sin x D. x cos x ? x sin x 2 A. 2 x cos x ? x sin x 2 C. x cos x ? 2 x sin x 2 1 ? (a 2 ? 2a ? 15)i 为实数时,则实数 a 的值是 a?5 A. 3 B. ?5 C. 3 ,或 ?5 D. ?3 ,或 5 4.已知两点 A(1, ?2,3), B(2,1, ?1) ,那么 A,B 连线与 xoy 面的交点 M 的坐标为 3.设复数 z ? A.(-5,7,0) B.( ( ) ( ) 5 1 , ,0) 3 3 C.( 7 1 , ,0) 4 4 D.(3,4,0) ( ( ) ) 5.已知 a ? 1? 7, b ? 3 ? 5, c ? 4 则 a,b,c 的大小关系为 A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a 6.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 A. y ? sin 2 x B. y ? xe x C. y ? x 3 ? x D. y ? ln(1 ? x) ? x 7.设 A, B 两点的坐标分别为 A(3 cos? ,3 sin ? ,1), B(2 cos? ,2 sin ? ,1) ,则 | AB | 的取值范 围是 ( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 8. 右图是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象, 给出下列命题: ① ?3 是函数 y ? f ( x) 的极值点; ② ? 1 是函数 y ? f ( x) 的最小值点; ③ y ? f ( x) 在 x ? 0 处切线的斜率小于零; ④ y ? f ( x) 在区间 (?3, 1) 上单调递增. 则正确命题的序号是 A.①② B.①④ ( C.②③ D.③④ ) ) -3 -2 -1 O 1 x y 2 9.点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是( 2 (A) 1 (B) (C) 2 (D) 2 2 10.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦 等于 ( ) A. 6 4 B. 10 4 C. 2 2 D. 3 2 1 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) : 11.计算 1? i 1? i ? ? 2 (1 ? i) (1 ? i) 2 *k*s*5u 12.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值 13.观察下列等式: ,最小值 3 1 1 3 1 4 1 1 , ? ?1? 2 , ? ? ? 2 ? 1? 1? 2 2 2 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 22 3 1 4 1 5 1 1 ,……由以上等式推测到一个一般的结论: ? ? ? 2? ? 3 ? 1? 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 4 2 4 ? 23 3 1 4 1 n?2 1 ? ? ? 2? ? ? n ? 对于 n∈ N * , . 1? 2 2 2 ? 3 2 n( n ? 1) 2 14.依次写出数列 a1 ? 1, a2 , a3 , , an (n ? N*) 的法则如下:如果 an ? 2 为自然数且未写过, 则写 an?1 ? an ? 2 ,否则就写 an?1 ? an ? 3 ,则 a6 = (注意:0 是自然数) 15.已知函数 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? ax ? 1在区间 (?1,1) 上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范 围是 . 三、解答题(本大题共 50 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) : 16.(本题满分 10 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 在 x ? 1 处取得极值,且在 (0, ?3) 点处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 g ( x) ? xf ( x) ? 4 x 的单调递增区间.*k*s*5u AB ? 2 . 17.(本题满分 10 分) 如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AD ? AA 1 ? 1, (1)证明:当点 E 在棱 AB 上移动时, D1E ? A 1D ; (2)在棱 AB 上是否存在点 E ,使二面角 D1 ? EC ? D 的平面角为 AE 的长;若不存在,请说明理由. D1 ? ?若存在,求出 6 C1 B1 A C A1 A A D A E B 2 18.(本题满分 10 分) 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千 1 3 米/小时)的函数解析式可以表示为: y ? x 3 ? x ? 8(0 ? x ? 120) .已知甲、乙 128000 80 两地相距 100 千米*k*s*5u (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 19.(本题满分 1

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