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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第十章 10.1


数学

北(理)

§10.1 分类加法计数原理 和分步乘法计数原理
第十章 计数原理

基础知识·自主学习
要点梳理
1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种方 法,在第二类办法中有 m2 种方法,??,在第 n 类办法中 有 mn 种方法,那么完成这件事共有 N= m1+m1?+mn 种方法(也称加法原理). 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可,做第一步有 m1 种方法,做第二步有 m2 种方法,??,做第 n 步有 mn 种方 法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×?×mn种方法(也称 乘法原理).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

知识回顾 理清教材

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成 一件事的方法的种数.它们的区别在于:分类加法计 数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任 一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分 步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) √ (4) √

解析

32
12 24
14

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 分类加法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 高三一班有学生 50 人,男 生 30 人,女生 20 人;高三二班有 学生 60 人,男生 30 人,女生 30 人;高三三班有学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1) 从高三一班或二班或三班中选 一名学生任学生会主席,有多少种 不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从 高三三班女生中选一名学生任学生会 体育部长,有多少种不同的选法?
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 分类加法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 高三一班有学生 50 人,男 生 30 人,女生 20 人;高三二班有 学生 60 人,男生 30 人,女生 30 人;高三三班有学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1) 从高三一班或二班或三班中选 一名学生任学生会主席,有多少种 不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从 高三三班女生中选一名学生任学生会 体育部长,有多少种不同的选法?
基础知识 题型分类

用分类加法计数原理.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 分类加法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 高三一班有学生 50 人,男

生 30 人,女生 20 人;高三二班有 解

(1)完成这件事有三类方法

学生 60 人,男生 30 人,女生 30 第一类,从高三一班任选一名 人;高三三班有学生 55 人,男生 学生共有 50 种选法; 第二类,从高三二班任选一名 35 人,女生 20 人. (1) 从高三一班或二班或三班中选 学生共有 60 种选法; 一名学生任学生会主席,有多少种 第三类,从高三三班任选一名

学生共有 55 种选法, (2)从高三一班、二班男生中,或从 根据分类加法计数原理,任选 高三三班女生中选一名学生任学生会 一名学生任校学生会主席共有
不同的选法? 体育部长,有多少种不同的选法?
基础知识 题型分类

50+60+55=165(种)选法.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 分类加法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 高三一班有学生 50 人,男

生 30 人,女生 20 人;高三二班有 (2)完成这件事有三类方法 学生 60 人,男生 30 人,女生 30 第一类,从高三一班男生中任 人;高三三班有学生 55 人,男生 选一名共有 30 种选法; 35 人,女生 20 人.

第二类,从高三二班男生中任

(1) 从高三一班或二班或三班中选 选一名共有 30 种选法; 一名学生任学生会主席,有多少种 第三类,从高三三班女生中任 不同的选法? 选一名共有 20 种选法. (2)从高三一班、二班男生中,或从 综上知,共有 30 + 30 + 20 = 高三三班女生中选一名学生任学生会 80(种)选法. 体育部长,有多少种不同的选法?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 分类加法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 高三一班有学生 50 人,男

生 30 人,女生 20 人;高三二班有 分类时,首先要根据问题的特 学生 60 人,男生 30 人,女生 30 点确定一个适合它的分类标 人;高三三班有学生 55 人,男生 准,然后在这个标准下进行分 35 人,女生 20 人.

类;其次分类时要注意满足一

(1) 从高三一班或二班或三班中选 个基本要求,就是完成这件事 一名学生任学生会主席,有多少种 情的任何一种方法必须属于 不同的选法?

某一类,并且分别属于不同种

(2)从高三一班、二班男生中,或从 类的两种方法是不同的方法, 高三三班女生中选一名学生任学生会 只有满足这些条件,才可以用 体育部长,有多少种不同的选法?
基础知识 题型分类

分类加法计数原理.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的 两位数有多少个? x2 y2 (2) 方 程 m + n = 1 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 其 中 m∈{1,2,3,4,5}, n∈{1,2,3,4,5,6,7}, 那么这样的椭圆有多少个?

解 (1)分析个位数字,可分以下几类:

个位是 9,则十位可以是 1,2,3,?,8 中的一个,故有 8 个; 个位是 8,则十位可以是 1,2,3,?,7 中的一个,故有 7 个;
同理,个位是 7 的有 6 个; 个位是 6 的有 5 个;
? 个位是 2 的只有 1 个.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的 两位数有多少个? x2 y2 (2) 方 程 m + n = 1 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 其 中 m∈{1,2,3,4,5}, n∈{1,2,3,4,5,6,7}, 那么这样的椭圆有多少个?

由分类加法计数原理,满足条件的两位数有

1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
(2)以 m 的值为标准分类,分为五类. 第一类:m=1 时,使 n>m,n 有 6 种选择;
第二类:m=2 时,使 n>m,n 有 5 种选择;
第三类:m=3 时,使 n>m,n 有 4 种选择; 第四类:m=4 时,使 n>m,n 有 3 种选择;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的 两位数有多少个? x2 y2 (2) 方 程 m + n = 1 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 其 中 m∈{1,2,3,4,5}, n∈{1,2,3,4,5,6,7}, 那么这样的椭圆有多少个?

第五类:m=5 时,使 n>m,n 有 2 种选择.

∴共有 6+5+4+3+2=20(种)方法,
即有 20 个符合题意的椭圆.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 分步乘法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 有六名同学报名参加三个 智力竞赛项目,在下列情况下各 有多少种不同的报名方法? (不一 定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项,每项人数 不限; (2)每项限报一人,且每人至多参 加一项; (3)每项限报一人,但每人参加的 项目不限.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 分步乘法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 有六名同学报名参加三个 智力竞赛项目,在下列情况下各 有多少种不同的报名方法? (不一 定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项,每项人数 不限; (2)每项限报一人,且每人至多参 加一项; (3)每项限报一人,但每人参加的 项目不限.
基础知识 题型分类

可以根据报名过程,使用分 步乘法计数原理.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 分步乘法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 有六名同学报名参加三个 有多少种不同的报名方法? (不一

智力竞赛项目,在下列情况下各 解

(1)每人都可以从这三个比

赛项目中选报一项, 各有 3 种不

同选法,由分步乘法计数原理, 定六名同学都能参加) 知共有选法 36=729(种). (1)每人恰好参加一项,每项人数 (2) 每项限报一人,且每人至多

不限; (2)每项限报一人,且每人至多参 加一项; (3)每项限报一人,但每人参加的 项目不限.
基础知识 题型分类

参加一项,因此可由项目选人, 第一个项目有 6 种选法, 第二个

项目有 5 种选法, 第三个项目只 有 4 种选法, 由分步乘法计数原 理,得共有报名方法 6×5×4= 120(种).
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 分步乘法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 有六名同学报名参加三个 智力竞赛项目,在下列情况下各 有多少种不同的报名方法? (不一 定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项,每项人数 不限;

(3) 由于每人参加的项目不限, 因此每一个项目都可以从这六 人中选出一人参赛,

得共有不 (2)每项限报一人,且每人至多参 由分步乘法计数原理,

加一项; (3)每项限报一人,但每人参加的 项目不限.
基础知识 题型分类

同的报名方法 63=216(种).

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 分步乘法计数原理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 有六名同学报名参加三个

智力竞赛项目,在下列情况下各 利用分步乘法计数原理解决问 有多少种不同的报名方法? (不一 题: 定六名同学都能参加)
① 要按事件发生的过程合理分

(1)每人恰好参加一项,每项人数 步,即分步是有先后顺序的; 不限;
缺一 (2)每项限报一人,且每人至多参 ②各步中的方法互相依存,

加一项; (3)每项限报一人,但每人参加的 项目不限.
基础知识 题型分类

不可, 只有各个步骤都完成了才 算完成这件事.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知集合 M={-3, -2, -1,0,1,2}, 若 a, b, c∈M, 则: (1)y=ax2+bx+c 可以表示多少个不同的二次函数; (2)y=ax2+bx+c 可以表示多少个图像开口向上的二次函数.

解 (1)a 的取值有 5 种情况,b 的取值有 6 种情况,c 的取值 有 6 种情况, 因此 y=ax2+bx+c 可以表示 5×6×6=180(个)不同的二次函数.
(2)y=ax2+bx+c 的图像开口向上时,a 的取值有 2 种情况, b、c 的取值均有 6 种情况,
因此 y=ax2+bx+c 可以表示 2×6×6=72(个)图像开口向上的 二次函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

染色问题是常见的计数应 用问题,可从选颜色、选顶 点进行分类、分步,从不同 角度解决问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.



方法一

可分为两大步进

行, 先将四棱锥一侧面三顶点染 色, 然后再分类考虑另外两顶点 的染色数, 用分步乘法计数原理 即可得出结论.

由题设,四棱锥 S—ABCD 的顶 点 S、A、B 所染的颜色互不相 同,它们共有 5×4×3=60(种) 染色方法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

当 S、A、B 染好时,不妨设其 颜色分别为 1、2、3,若 C 染 2, 则 D 可染 3 或 4 或 5, 有 3 种染 法; 若 C 染 4,则 D 可染 3 或 5,有

2 种染法; 若 C 染 5,则 D 可染 3 或 4,有
2 种染法. 可见,当 S、A、B 已染好时,C、
D 还有 7 种染法,故不同的染色 方法有 60×7=420(种).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

方法二 以 S、A、B、C、D 顺 序分步染色.
第一步, S 点染色, 有 5 种方法;
第二步,A 点染色,与 S 在同一 条棱上,有 4 种方法;
第三步,B 点染色,与 S、A 分 别在同一条棱上,有 3 种方法;
第四步,C 点染色,也有 3 种方 法,

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
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【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

但考虑到 D 点与 S、 A、 C 相邻, 需要针对 A 与 C 是否同色进行 分类,当 A 与 C 同色时,D 点 有 3 种染色方法;
当 A 与 C 不同色时, 因为 C 与 S、 B 也不同色,

所以 C 点有 2 种染色方法, D点 也有 2 种染色方法.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
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【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

由分步乘法、分类加法计数原理 得 不 同 的 染 色 方 法 共 有 5×4×3×(1×3 + 2×2) = 420(种).

方法三 按所用颜色种数分类.
5 第一类,5 种颜色全用,共有 A5

种不同的方法;
第二类,只用 4 种颜色,则必有 某两个顶点同色(A 与 C, 或B与 D),共有 2×A4 5种不同的方法;
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题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

第三类,只用 3 种颜色,则 A 与 C、B 与 D 必定同色,共有 A3 5种 不同的方法.

由分类加法计数原理,得不同的 染色方法总数为
5 3 A5 +2×A4 + A 5 5=420(种).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

用两个计数原理解决计数问题 时, 关键是明确需要分类还是分 步.
(1)分类要做到“不重不漏”, 分 类后再分别对每一类进行计数, 最后用分类加法计数原理求和, 得到总数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 两个原理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 如图所示,将一个四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色, 并使 同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

(2)分步要做到“步骤完整”, 只 有完成了所有步骤,才完成任 务,根据分步乘法计数原理,把 完成每一步的方法数相乘,得到 总数.

(3)对于复杂问题, 可同时运用两 个计数原理或借助列表、 画图的 方法来帮助分析.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形 的 4 个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色, 如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
解 如图所示,将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4,第 1 个

小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上,有 5 种不同 的涂法.

2 ①当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时,有 A4 =12(种)

不同的涂法,第 4 个小方格有 3 种不同的涂法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形 的 4 个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色, 如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?

由分步乘法计数原理可知, 有 5×12×3=180(种)不同的涂 法;
②当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时,有 4 种涂法,由 于相邻方格不同色, 因此, 第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法, 由分步乘法计数
原理可知.有 5×4×4=80(种)不同的涂法.
由分类加法计数原理可得,共有 180+80=260(种)不同的涂 法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列13
A.24 种 B. 4 种

对两个基本原理认识不清致误
( ) C.43 种 D.34 种

典例:(10 分)(1)把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法共有

(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时 间里,火车有 4 趟,轮船有 3 次,问此人的走法可有________种.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列13
A.24 种 B. 4 种

对两个基本原理认识不清致误
( ) C.43 种 D.34 种

典例:(10 分)(1)把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法共有

(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时 间里,火车有 4 趟,轮船有 3 次,问此人的走法可有________种.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

解决计数问题的基本策略是合理分类和分步,然后应用加法原理和乘法 原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致 计算出现错误, 对于(1), 选择的标准不同, 误认为每个信箱有三种选择, 所以可能的投法有 34 种,没有注意到一封信只能投在一个信箱中;对于 (2),易混淆“类”与“步”,误认为到达乙地先坐火车后坐轮船,使用 乘法原理计算.
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题型分类·深度剖析
易错警示系列13
A.24 种 B. 4 种

对两个基本原理认识不清致误
( ) C.43 种 D.34 种

典例:(10 分)(1)把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法共有

(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时 间里,火车有 4 趟,轮船有 3 次,问此人的走法可有________种.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

(1)第 1 封信投到信箱中有 4 种投法;

第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法;
第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法.
只要把这 3 封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有 43 种方法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列13
A.24 种 B. 4 种

对两个基本原理认识不清致误
(

典例:(10 分)(1)把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法共有 C.43 种 D.34 种

C )

(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时 间里,火车有 4 趟,轮船有 3 次,问此人的走法可有________ 7 种.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

(2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有 4 种,坐轮船的走法有 3 种, 每一种方法都能从甲地到乙地,

根据分类加法计数原理,可得此人的走法可有 4+3=7(种).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列13
A.24 种 B. 4 种

对两个基本原理认识不清致误
(

典例:(10 分)(1)把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法共有 C.43 种 D.34 种

C )

(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时 间里,火车有 4 趟,轮船有 3 次,问此人的走法可有________ 7 种.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

(1)每封信只能投到一个信箱里,而每个信箱可以装 1 封信,也可以装 2 封信,其选择不是唯一的,所以应注意由信来选择信箱,每封信有 4 种 选择.

(2)在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具 体标准是什么.选择合理的标准处理事情,可以避免计数的重复或遗漏.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.分类加法和分步乘法计数原理,都是关于做一件事 的不同方法的种数的问题,区别在于:分类加法计 数原理针对 “ 分类 ” 问题,其中各种方法相互独 立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步 乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依 存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

方 法 与 技 巧

2.混合问题一般是先分类再分步. 3.分类时标准要明确,做到不重复不遗漏.

4.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、 清楚,便于探索规律.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类

失 误 与 防 范

还是需要分步进行.
2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在 于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步.

3.确定题目中是否有特殊条件限制.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.从集合{1,2,3,?,10}中任意选出三个不同的数,使这三个 数成等比数列,这样的等比数列的个数为 A.3 B. 4 C.6 D.8 ( D )

解析

按从小到大顺序有 124,139,248,469 共 4 个,

同理按从大到小顺序也有 4 个, 故这样的等比数列的个数为 8 个.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进 行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种 颜色,则不同的着色方法共有 A.24 种 C.36 种 B.30 种 D.48 种 ( D )

解析 共有 4×3×2×2=48(种),故选 D.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3,?,9}, 且 P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x, y)作为一个 点的坐标,则这样的点的个数是 A.9 B.14 C.15 ( B ) D.21

解析

当 x=2 时,x≠y,点的个数为 1×7=7(个);

当 x≠2 时, x=y, 点的个数为 7×1=7(个), 则共有 14 个点, 故选 B.

基础知识

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A组
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专项基础训练
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4.(2013· 山东)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的 三位数的个数为 A.243 B.252 C.261 ( B ) D.279

解析

0,1,2,?,9 共能组成 9×10×10=900(个)三位数,

其中无重复数字的三位数有 9×9×8=648(个).

∴有重复数字的三位数有 900-648=252(个).

基础知识

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专项基础训练
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5.(2013· 四川)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分 别记为 a,b,共可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是 A.9 B.10 C.18 D.20 ( C )

a 解析 由于 lg a-lg b=lgb(a>0,b>0), a 2 从 1,3,5,7,9 中任取两个作为b有 A5 =20 种, 1 3 3 9 又3与9相同,1与3相同,
∴lg a-lg b 的不同值的个数有 A2 5-2=20-2=18,选 C.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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专项基础训练
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6.一个乒乓球队里有男队员 5 名,女队员 4 名,从中选取男、

20 种不同的选法. 女队员各一名组成混合双打,共有________

解析 先选男队员,有 5 种选法,再选女队员有 4 种选法,
由分步乘法计数原理知共有 5×4=20(种)不同的选法.

基础知识

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A组
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专项基础训练
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7.某次活动中,有 30 人排成 6 行 5 列,现要从中选出 3 人进 行礼仪表演,要求这 3 人中的任意 2 人不同行也不同列,

7 200 用数字作答). 则不同的选法种数为________(
解析 其中最先选出的一个人有 30 种方法,此时不能再

从这个人所在的行和列上选人, 还剩一个 5 行 4 列的队形, 故选第二个人有 20 种方法,
此时不能再从该人所在的行和列上选人,还剩一个 4 行 3 列的队形,此时第三个人的选法有 12 种, 根据分步乘法计数原理,总的选法种数是 30×20×12=7 200.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从 M,N 这 两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标, 则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不 同的点的个数是________ . 6

解析

分两类:第一类,第一象限内的点,有 2×2=4(个);

第二类, 第二象限内的点, 有 1×2=2(个). 共 4+2=6(个).

基础知识

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专项基础训练
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9.某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日语,从中选出会英语和日语的各一人, 有多少种不同的选法?
解 由题意得有 1 人既会英语又会日语,6 人只会英语,2 人只会日语.

第一类: 从只会英语的 6 人中选 1 人说英语, 共有 6 种方法, 则说日语的有 2+1=3(种),此时共有 6×3=18(种);
第二类:不从只会英语的 6 人中选 1 人说英语,则只有 1 种 方法,则选会日语的有 2 种,此时共有 1×2=2(种);
所以根据分类加法计数原理知共有 18+2=20(种)选法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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专项基础训练
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10.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允 许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用 数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上 的数字相同的信息个数为多少?
解 方法一 分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论.

(1)若 0 个相同,则信息为 1001.共 1 个. (2)若 1 个相同,则信息为 0001,1101,1011,1000.共 4 个. (3)若 2 个相同,又分为以下情况:

①若位置一与二相同,则信息为 0101;
②若位置一与三相同,则信息为 0011;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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专项基础训练
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10.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允 许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用 数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上 的数字相同的信息个数为多少?
③若位置一与四相同,则信息为 0000; ④若位置二与三相同,则信息为 1111; ⑤若位置二与四相同,则信息为 1100;
⑥若位置三与四相同,则信息为 1010. 共 6 个.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允 许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用 数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上 的数字相同的信息个数为多少?
故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信 息个数为 1+4+6=11.

方法二

若 0 个相同,共有 1 个;

若 1 个相同,共有 C1 4=4(个);
若 2 个相同,共有 C2 4=6(个).
故共有 1+4+6=11(个).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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4

5

6

7

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专项能力提升
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5

6

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1.三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为( C ) A.24 B.26 C.36 D.37

解析

设另两边长分别为 x、y,且不妨设 1≤x≤y≤11,要构

成三角形,必须 x+y≥12.

当 y 取 11 时,x=1,2,3,?,11,可有 11 个三角形; 当 y 取 10 时,x=2,3,?,10,可有 9 个三角形;
??; 当 y 取 6 时,x 只能取 6,只有 1 个三角形.

∴所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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7

2.将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求 每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大,当 3,4 固定 在图中的位置时,填写空格的方法种数为 ( )

3

4

A. 4

B.6

C.9

D.12

基础知识

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1
解析

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5

6

7

如图所示,根据题意,1,2,9 三个数字的位置是确定的,余

下的数中,

5 只能在 a,c 位置,8 只能在 b,d 位置,
依(a, b, c, d)顺序, 具体有(5,8,6,7), (5,6,7,8), (5,7,6,8), (6,7,5,8), (6,8,5,7),(7,8,5,6),合计 6 种.
1 3 c
答案

2 4 d

a b 9

B
题型分类 思想方法 练出高分

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5

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7

3.如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种 不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为 A.96
解析

B.84

C.60

( B ) D.48

可依次种 A、B、C、D 四块,当 C 与 A 种同一种花时,有

4×3×1×3=36(种)种法;
当 C 与 A 所种花不同时,有 4×3×2×2=48(种)种法,
由分类加法计数原理,不同的种法总数为 36+48=84.

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6

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4.直线方程 Ax+By=0,若从 0,1,2,3,5,7 这 6 个数字中任取两个 不同的数作为 A、B 的值,则可表示________ 22 条不同的直线.

解析 分成三类:A=0,B≠0;A≠0,B=0 和 A≠0,B≠0,前 两类各表示 1 条直线;
第三类先取 A 有 5 种取法, 再取 B 有 4 种取法, 故有 5×4=20(种).

所以可以表示 22 条不同的直线.

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7

5.某电子元件,是由 3 个电阻组成的回路,其中有 4 个焊点 A、B、C、D,若某个焊点脱落,整个电路 就不通,现在发现电路不通了,那么焊点脱落的可

15 种. 能情况共有________
解析 方法一 当线路不通时焊点脱落的可能情况共有 2×2×2×2

-1=15(种).
方法二 恰有 i 个焊点脱落的可能情况为 Ci4(i=1,2,3,4)种,
由分类加法计数原理,当电路不通时焊点脱落的可能情况共 C1 4+
3 4 C2 4+C4+C4=15(种).

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6.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则报名方法的种 5 4 数为 ________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列 ),获得
4 5 冠军的可能性有________种.

解析

报名的方法种数为 4×4×4×4×4=45.

获得冠军的可能情况有 5×5×5×5=54(种).

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7.已知集合 A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f 是从 A 到 B 的映射. (1)若 B 中每一元素都有原象,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 必无原象,这样的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的 f 又有多少个?
解 (1)显然对应是一一对应的,即为 a1 找象有 4 种方法,a2 找象有 3 种方法,a3 找象有 2 种方法,a4 找象有 1 种方法,

所以不同的 f 共有 4×3×2×1=24(个).
(2)0 必无原象,1,2,3 有无原象不限,所以为 A 中每一元素找象时都 有 3 种方法.所以不同的 f 共有 34=81(个).
(3)分为如下四类:

第一类:A 中每一元素都与 1 对应,有 1 种方法;
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5

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7.已知集合 A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f 是从 A 到 B 的映射. (1)若 B 中每一元素都有原象,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 必无原象,这样的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的 f 又有多少个?
第二类:A 中有两个元素对应 1,一个元素对应 2,另一个元素与 0
1 对应,有 C2 C2 =12(种)方法; 4·

第三类,A 中有两个元素对应 2,另两个元素对应 0,有 C2 C2 4· 2=6(种) 方法;
第四类,A 中有一个元素对应 1,一个元素对应 3,另两个元素与 0 对应,有 C1 C1 4· 3=12(种)方法.

所以不同的 f 共有 1+12+6+12=31(个).
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