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2014届高考数学一轮必备考情分析学案:4.2《同角三角函数的基本关系与诱导公式》

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4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
考情分析
同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角函数化简、求值、恒等变换的基础。 高考中多以选择、填空的形式单独考察,也可以同角三角函数图象和性质。解三 角形、向量、参数方程等内容相结合,以解答题为主,重点考查的是公式的熟练 运用。难度不大。 基础知识 1、同角三角函数的基本关系 sin ? (1)平方关系:sin2α+cos2α=1;(2)商数关系: ? tan ? cos ? 2、三角函数的诱导公式 奇变偶不变,正负看象限

注意事项
1.诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 2.在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =…. 4 3.(1)利用诱导公式进行化简求值时, 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角 函数,其步骤:去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 题型一 利用诱导公式化简、求值
π sin? +θ?-cos?π-θ? 2 【例 1】已知 tanθ=2,则 π =( sin? -θ?-sin?π-θ? 2 A. 2 C. 0 答案:B B. -2 D. 2 3 )

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π sin? +θ?-cos?π-θ? 2 解析: π sin? -θ?-sin?π-θ? 2 = = cosθ+cosθ 2cosθ 2 = = cosθ-sinθ cosθ-sinθ 1-tanθ 2 =-2. 1-2

?π ? cos?2+α?sin?-π-α? ? ? 【变式 1 】 已知角 α 终边上一点 P( - 4,3) ,则 的值为 11π ? ? ?9π ? cos? 2 -α?sin? 2 +α? ? ? ? ? ________. 解析 原式= 3 答案 -4 题型二 同角三角函数关系的应用 ?-sin α?sin α y 3 =tan α,根据三角函数的定义,得 tan α=x=-4. ?-sin α?cos α

【例 2】)已知 tan α=2. 求:(1) 2sin α-3cos α ; 4sin α-9cos α

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. 解 (1) 2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9
2 2

4sin2α-3sin αcos α-5cos2α (2)4sin α-3sin αcos α-5cos α= sin2α+cos2α 4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. tan2α+1 4+1 【变式 2】已知
tanα =-1,求下列各式的值: tanα-6

2cosα-3sinα (1) ;(2)1-3sinαcosα+3cos2α. 3cosα+4sinα tanα 解:(1)由 =-1, tanα-6 得 tanα=3,

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2cosα-3sinα 2-3tanα 7 = =- . 15 3cosα+4sinα 3+4tanα (2)1-3sinαcosα+3cos2α 1-3sinαcosα+3cos2α = cos2α+sin2α = tan2α-3tanα+4 2 = . 5 tan2α+1

题型三

三角形中的诱导公式

[来源 :学科网]

【例 3】在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角. 解 由已知可得 π? ? 2sin?A+4?= 2, ? ?

π 因为 0<A<π,所以 A=4. π 3 由已知可得 3cos A= 2cos B,把 A=4代入 可得 cos B= 2 ,又 0<B<π,从而 π π π 7π B=6,所以 C=π-4-6=12.
[来源:Zxxk.Com]

【变式 3】 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π-A )=- 2 sin(π-B)”其余条件不变,求△ABC 的三个内角. 解 由条件得:-sin A=- 2si n B,即 sin A= 2sin B,

3cos A= 2cos B,平方相加得: 2 sin2 A+3cos2 A=2?2cos2 A=1,cos A=± 2 .
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

2 3 2 若 cos A=- 2 ,则 cos B=- 2 ,A,B 均为钝角不可能.故 cos A= 2 ,cos B 3 π π 7π = 2 ,故 A=4,B=6,C=12. 重难点突破 【例 4】?若 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 5x2-x+a=0(a 是常数)的两根,θ∈(0, π),求 cos 2θ 的值.

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1 解析 由题意知,sin θ+co s θ=5. 1 ∴(sin θ+cos θ)2=25. 24 ∴sin 2θ=- 25. 24 即 2sin θcos θ=-25<0, 则 sin θ 与 cos θ 异号, 1 又 sin θ+cos θ=5>0, π 3π 3π ∴2<θ< 4 ,∴π<2θ< 2 . 7 故 cos 2θ=- 1-sin22θ=-25. 7 【例 5】 已 知 sin θ+cos θ=13,θ∈(0,π),求 tan θ. 7 解析∵sin θ+cos θ=13,θ∈(0,π). ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= 60 ∴sin θcos θ=-169. 7 60 12 由根与系数的关系知 sin θ,cos θ 是方程 x 2-13x-169=0 的两根,∴x1=13,x2 5 =-13, 60 又 sin θcos θ=-169<0,∴sin θ>0,cos θ<0, 12 5 ∴sin θ=13,cos θ=-13. sin θ 12 ∴tan θ=cos θ=- 5 .
[来源:Zxxk.Com]

49 . 169

巩固提高
1.点 A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面上位于( A.第一象限 B.第二象限 ).

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C.第三象限 解析 2 011° =360° ×5+(180° +31° ),

D.第四象限

∴sin 2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin 31° <0, cos 2 0 11° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos 31° <0, ∴点 A 位于第三象限. 答案 C 1 2.已知 sin(π+α)=2,则 cos α 的值为( 1 A.± 2 3 C. 2 1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α=2, 1 3 ∴sin α=-2.∴cos α=± 1-sin2α=± 2 . 答案 D 1 π 3.若 cosα= ,α∈(- ,0),则 tanα 等于 ( 3 2 2 A. - 4 C. -2 2 答案:C 解析:由已知得 sinα= - 1-cos2α =- 1 2 2 1-9=- 3 ,
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

). 1 B.2 3 D.± 2

)

2 B. 4 D. 2 2

sinα ∴tanα=cosα=-2 2,选 C.

? 17π? ? 17π? 4.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( ? ? ? ? A. 2 B.- 2 2 C.0 D. 2

).

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解析

π? 17π π 2 17π ? 17π? ? ? 17π? cos?- 4 ?=cos 4 =cos?4π+4?=cos4= 2 ,sin?- 4 ?=-sin 4 =- ? ? ? ? ? ?

π? π 2 2 2 ? ? 17π? ? 17π? sin?4π+4?=-sin4=- 2 .∴cos?- 4 ?-sin?- 4 ?= 2 + 2 = 2. ? ? ? ? ? ? 答案 A 4 5.若 sinθ=-5,tanθ>0,则 cosθ=________. 3 答案:-5 解析:∵ sinθ<0,tanθ>0, ∴θ 为第三象限角,∴cosθ=- 4 3 1-?-5?2=-5.


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