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正余弦定理


第四章

三角函数与三角形

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第四章

三角函数与三角形

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三角函数与三角形

重点难点 重点:正余弦定理及三角形面积公式. 难点:在已知三角形的两边和其中一边的对角情况下 解的讨论.
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三角函数与三角形

知识归纳 1.正弦定理 a b c = = =2R(其中 R 为△ABC 外接圆的 sinA sinB sinC 半径). 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB;
2 2 2 b + c - a c2=a2+b2-2abcosC 或 cosA= , 2bc
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a2+c2-b2 a2+b2-c2 cosB= ,cosC= . 2ac 2ab
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三角函数与三角形

由余弦定理可得,在△ABC中, a2<b2+c2?0°<A<90°. a2=b2+c2?A=90°. a2>b2+c2?90°<A<180°.
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三角函数与三角形

3.三角形中的常见结论 (1)A+B+C=π. (2)在三角形中大边对大角,大角对大边. (3)任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于 第三边. (4)有关三角形内角的常用三角函数关系式 sin(A+B)=sinC; cos(A+B)=-cosC;

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A +B C tan(A+B)=-tanC; sin =cos ; 2 2
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三角函数与三角形

A+B A+B C C cos =sin ; tan =cot ; 2 2 2 2 tanA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC. (5)△ABC 的面积公式有: 1 ①S= a· h(h 表示 a 边上的高); 2 1 1 1 abc ②S= absinC= acsinB= bcsinA= ; 2 2 2 4R

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三角函数与三角形

1 ③S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 2 1 ④S= P?P-a??P-b??P-c?,其中 P= (a+b+c). 2 (6)在△ABC 中,A>B?a>b?sinA>sinB.

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三角函数与三角形

4.解斜三角形的类型 解斜三角形有下表所示的四种情况:
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三角函数与三角形

已知条件 一边和两角(如a ,B,C)

应用定理 正弦定理

一般解法 由A+B+C=180°求出角A;由正弦 定理求出b与c;在有解时只有一解 由余弦定理求出第三边c;由正弦定 理求出小边所对的角;再由A+B+C =180°求出另一角,在有解时只有 一解 由余弦定理求出角A,B,再利用A+ B+C=180°求出角C,在有解时只 有一解 由正弦定理求出角B,由A+B+C= 180°求出角C,再利用正弦定理求出 c边.可有两解,一解或无解,详见 下表.
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两边和夹角(如a ,b,C)

余弦定理

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三边(a、b、c)
两边和其中一边 的对角 (如a,b,A)

余弦定理

正弦定理

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三角函数与三角形

在△ABC中,已知a、b和A时解的情况如下:
A为钝角 图形 a= bsinA bsinA<a <b A为锐角或直角
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关系式

a<bsinA

a≥b

a>b

a≤b

(

解的个数

无解

一解

两解

一解

一解

无解

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三角函数与三角形 误区警示

1.在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一 边的对角解三角形问题时,可能出现一解、两解或无解情 况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解

的情况,作出正确取舍.

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三角函数与三角形

2.在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边 角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边 的关系,再用三角变换或代数式的恒等变形 ( 如因式分解、 配方等 ) 求解.注意等式两边的公因式不要约掉,要移项
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提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.

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三角函数与三角形

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三角函数与三角形

一、判断三角形形状的方法 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径: (1) 化边为角; (2) 化角为边。具体有如下四种方法:①通 过正弦定理实施边角转换;②通过余弦定理实施边角转换;
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③通过三角变换找出角之间的关系;④通过三角函数值符
号 的 判 断 及 正 、 余 弦 函 数 有 界 性 的 讨 论 ; ⑤ b2 + c2 - a2>0?A 为 锐 角 , b2 + c2 - a2 = 0?A 为 直 角 , b2 + c2 - a2<0?A为钝角.

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三角函数与三角形

二、解题技巧 在△ABC中,给定A、B的正弦或余弦值,则C的正弦 或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA+cosB>0.简证如下: C 有 解 ? A + B 有 解 ? 0<A + B<π?0<A<π -
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B<π?cosA>cos(π-B)?cosA>-cosB?cosA+cosB>0.因此
判断C是否有解,只须考虑cosA+cosB的符号即可.了解 这一结论,对做选择题或填空题来说,将十分方便.

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三角函数与三角形

5 4 [例1] 在△ABC中,sinA= ,cosB= ,求cosC. 13 5 5 12 解析:∵sinA= ,∴cosA=± 13 13
12 当cosA= 时,满足cosA+cosB>0 13 12 12 当cosA=- 时,cosA+cosB<0,∴cosA=- 13 13 舍去 ∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 5 3 12 4 33 = × - × =- . 13 5 13 5 65
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三角函数与三角形

4 点评:可利用大边对大角讨论:由cosB= 得 5 3 5 sinB= > =sinA, 5 13 12 ∴b>a,∴B>A,∴A为锐角,∴cosA= 以下 13 略.

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三角函数与三角形

[例1]

(09· 广东)已知△ABC中,∠A、∠B、∠C的

对边分别为a、b、c.若a=c= 6 + 2 ,且∠A=75° ,则 b等于( A.2 C.4-2 3 ) B.4+2 3 D. 6- 2

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分析:已知两边和一边的对角,可能有两解、一解或

无解,需讨论.∵A为锐角且a=c,∴只有一解.

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三角函数与三角形

解析:由条件知只有一解,如图所示, ∵a=c,A=75° ,∴B=30° , 在△ABC中,由正弦定理得, 6+ 2 6+ 2 b = = =4, sin30° sin75° sin?45° +30° ? ∴b=2.

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答案:A
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三角函数与三角形

点评: (1) 已知两角和一边可求第三角,解这样的三 角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2) 已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定 理求另一边的对角时要注意讨论.这是易错的地方,也是
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常考查的地方.

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三角函数与三角形

在△ABC中, (1)若a=4,B=30° ,C=105° ,则b=________. (2)若b=3,c= 2,C=45° ,则a=________. (3)(2010· 吉林省调研)若AB= 3 ,BC= 6 ,C =30° ,则角A=________.

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三角函数与三角形

解析:(1)已知两角和一边只有一解,由B=30° ,C =105° 得,A=45° , asinB 4sin30° 由正弦定理得,b= = =2 2. sinA sin45° (2)已知两边和一边的对角,先判断解的情况: 3 2 ∵c<bsinC= ,∴无解. 2

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三角函数与三角形
BC AB 5 3 (3)由正弦定理 = 知, = ,∴sinA= sinA sinC sinA 1 2

2 , 2 ∵BC>AB,∴A>C,∴A=45° 或135° .

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答案:(1)2 2

(2)无解 (3)45° 或135°

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三角函数与三角形

点评:(3)可先判断解的情况:由BC· sinC= 6 sin30° = < 3< 6知角A有两解,如图. 2

6

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三角函数与三角形

[例2]

在△ABC中,a、b、c分别是∠A,∠B,

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∠C的对边长.已知a、b、c成等比数列,且a2-c2= bsinB ac-bc,则∠A=________, =________. c

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三角函数与三角形

分析:因给出的是a、b、c之间的等量关系,要 求∠A,需找∠A与三边的关系,故可用余弦定 bsinB 理.由b =ac用正弦定理可求 的值. c
2

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三角函数与三角形

解析:解法1:∵a、b、c成等比数列,∴b =ac. 又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC中,由余弦定理得 b2+c2-a2 bc 1 cosA= = = , 2bc 2bc 2 ∴∠A=60° .

2

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三角函数与三角形

bsinA 在△ABC中,由正弦定理得sinB= , a ∵b2=ac,∠A=60° , bsinB b2sinA 3 ∴ = =sin60° = . c ac 2 解法2:在△ABC中,由面积公式得 1 1 bcsinA= acsinB. 2 2 ∵b2=ac,∴csinA=bsinB. bsinB 3 ∴ =sinA= . c 2
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三角函数与三角形

3 答案:60° ; 2
总结评述:解三角形时,找三边一角之间的关系,常 用余弦定理,两边两角之间的关系常用正弦定理.

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三角函数与三角形

在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对 的边,又c= 21,b=4,且BC边上的高h=2 3.则 (1)角C=________; (2)a=________.

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三角函数与三角形

解析:△ABC为锐角三角形,过A作AD⊥BC于D点, 2 3 3 sinC= = ,则C=60° . 4 2 1 又由余弦定理可知( 21) =4 +a -2· 4· a·, 2
2 2 2

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即a2-4a-5=0, ∴a=5或a=-1(舍). 因此所求角C=60° ,a边长为5. 答案:(1)60° (2)5

(

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三角函数与三角形

[例3]

在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、

C 的对边,如果 (a2 + b2)sin(A - B) = (a2 - b2)sin(A + B) ,判 断三角形的形状.

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分析: 所给条件式中的 sin(A - B) 与 sin(A + B) 的展开
式一加一减,a2与b2一加一减,故可展开合并后运用正余 弦定理变形讨论.

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三角函数与三角形

解析:已知等式可化为

a2[sin(A-B)-sin(A+B)]
=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)] ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA※ 由正弦定理得,sin2A cosAsinB=sin2BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0

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∴sin2A=sin2B,由0<2A<2π,0<2B<2π
得2A=2B或2A=π-2B, 即△ABC为等腰或直角三角形. 点评:得到※式后也可用正余弦定理化角为边推证 a =b或a2+b2=c2.
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三角函数与三角形

根据所给条件,判断△ABC的形状. (1)若acosA=bcosB,则△ABC形状为________. a b c (2)若 = = ,则△ABC形状为 cosA cosB cosC ________.

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三角函数与三角形

解析:(1)由余弦定理得 b2+c2-a2 a2+c2-b2 acosA=bcosB?a· ( )=b· ( )? 2bc 2ac a2c2-a4-b2c2+b4=0, ∴(a -b )(c -a -b )=0 ∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0 ∴a=b或c2=a2+b2 ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
2 2 2 2 2

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三角函数与三角形

sinA sinB sinC (2)由正弦定理得 = = cosA cosB cosC 即tanA=tanB=tanC, ∵A、B、C∈(0,π),∴A=B=C, ∴△ABC为等边三角形.

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答案:(1)等腰或直角三角形 (2)等边三角形 总结评述:根据已知条件,适当选取使用的定理,化 边为角或化角为边,边角互化是解决这类问题的基本途径.

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三角函数与三角形

[例4]

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为

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20 a、b、c,且atanB= ,bsinA=4. 3 (1)求cosB和a; (2)若△ABC的面积S=10,求cos4C的值.

(

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三角函数与三角形

20 分析:条件式atanB= 是边a和角B的关系式, 3 bsinA=4可通过正弦定理转化为a与B的关系式,故通过 解方程组可解出(1);由(1)的结论及S=10解方程可得c 及角C,用二倍角公式即可求得cos4C.

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三角函数与三角形

解析:(1)由bsinA=4,得asinB=4, 20 3 又atanB= ,∴cosB= . 3 5 4 ∵0<B<π,∴sinB= , 5 4 ∴tanB= ,故a=5. 3

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三角函数与三角形

1 (2)由S= acsinB=2c=10,得c=5,∴A=C. 2 ∴cos4C=2cos22C-1=2cos2(A+C)-1 32 7 =2cos B-1=2×( ) -1=- . 5 25
2

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三角函数与三角形

已知△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边, 且a=4,b+c=5,tanB+tanC+ 3 = 3tanB· tanC,则△ ABC的面积为( 3 A. 4 3 3 C. 4 ) B.3 3 3 D. 4

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三角函数与三角形

解析:∵tanB+tanC+ 3= 3tanB· tanC, ∴tanB+tanC=- 3(1-tanB· tanC)? tanB+tanC =- 3?tan(B+C)=- 3, 1-tanB· tanC ∴B+C=120,∴A=60° , 将A=60° ,a=4,b+c=5代入a2=b2+c2- 2bccosA, 1 得16=25-2bc-2bc·,∴bc=3, 2 1 3 3 ∴S△ABC= bcsinA= ,故选C. 2 4
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答案:C

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三角函数与三角形

[例5]

已知△ABC中,a、b、c分别是角A、

B、C的对边,且3sin2B+3sin2C-2sinBsinC= →· → 的最大值. 3sin A,a= 3,求AB AC
2

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分析:所给条件式为角的关系,又均为“二次”式, 故化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解.

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三角函数与三角形

解析:∵3sin2B+3sin2C-2sinBsinC=3sin2A,由正 弦定理得3b2+3c2-2bc=3a2,即3b2+3c2-3a2=2bc, b2+c2-a2 1 再由余弦定理得cosA= = . 2bc 3 ∵a= 3,∴3b2+3c2-2bc=9≥6bc-2bc=4bc, 9 ∴bc≤ ,当且仅当b=c时等号成立. 4 bc 3 → → ∴AB· AC=c· b· cosA= ≤ , 3 4 3 → → 故AB· AC的最大值为 . 4
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三角函数与三角形

(2010·福建理,19)某港口O要将一件重要物品用小艇

送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港
口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里 / 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船 沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时 与轮船相遇.

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三角函数与三角形

(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行 速度的大小应为多少? (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30海里/ 小时, 试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小 ),使
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得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

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三角函数与三角形

解析:解法一: (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则 S= 900t2+400-2×30t×20· cos?90° -30° ? = 900t -600t+400=
2

12 900?t- ? +300. 3

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1 10 3 故当t= 时,Smin=10 3,此时v= =30 3. 3 1 3 即,小艇以30 3 海里/小时的速度航行,相遇时小艇 的航行距离最小.
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(

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三角函数与三角形

(2)设小艇与轮船在B处相遇,则 v2t2=400+900t2-2×20×30t· cos(90° -30° ), 600 400 故v =900- + 2 . t t
2

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∵0<v≤30, 600 400 ∴900- + 2 ≤900, t t 2 3 2 即 2- ≤0,解得t≥ . t t 3

(

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三角函数与三角形

2 又t= 时,v=30. 3 2 故v=30时,t取得最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△ABC中,有OA=OB=AB=20,故 可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30° ,航行速度为30海里/小 时,小艇能以最短时间与轮船相遇.

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三角函数与三角形

解法二: (1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东 方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向. 设小艇与轮船在C处相遇. 在Rt△OAC中,OC=20cos30° =10 20sin30° =10. 又AC=30t,OC=vt. 3 ,AC=

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三角函数与三角形

10 1 10 3 此时,轮船航行时间t= = ,v= =30 3. 30 3 1 3 即,小艇以30 艇的航行距离最小. (2)猜想v=30时,小艇能以最短时间与轮船在D处相 遇,此时AD=DO=30t. 又∠OAD=60° ,所以AD=DO=OA=20,解得t= 2 . 3 据此可设计航行方案如下:
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3 海里/小时的速度航行,相遇时小

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三角函数与三角形

航行方向为北偏东30° ,航行速度的大小为30海里/小 时.这样,小艇能以最短时间与轮船相遇. 证明如下: 如图:由(1)得OC=10 3,AC=10, 故OC>AC,且对于线段AC上任意点P, 有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海 里/小时, 故小艇与轮船不可能在A,C之间(包含C)的任意位置 相遇.
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第四章

三角函数与三角形

设∠COD=θ(0° <θ<90° ),则在Rt△COD中,CD= 10 3 10 3tanθ,OD= . cosθ 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 10+10 3tanθ 10 3 t= 和t= , 30 vcosθ 10+10 3tanθ 10 3 所以, = . 30 vcosθ 15 3 由此可得,v= . sin?θ+30° ? 3 又v≤30,故sin(θ+30° )≥ . 2
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三角函数与三角形

从而,30° ≤θ<90° . 3 由于θ=30° 时,tanθ取得最小值,且最小值为 . 3 10+10 3tanθ 于是,当θ=30° 时,t= 取得最小 30 2 值,且最小值为 . 3

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第四章

三角函数与三角形

解法三: (1)同解法一或解法二. (2)设小艇与轮船在B处相遇.依据题意得: v2t2=400+900t2-2×20×30t·cos(90°-30°),
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∴(v2-900)t2+600t-400=0.

(

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三角函数与三角形

①若0<v<30,则由Δ=360 000+1 600(v -900) =1 600(v2-675)≥0, 得v≥15 3. -300± 20 v2-675 从而,t= ,v∈[15 3,30). v2-900 -300-20 v2-675 1° 当t= 时, 2 v -900

2

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三角函数与三角形

令x= v2-675,则x∈[0,15), -300-20x -20 4 t= 2 = ≥ , x -225 x-15 3 当且仅当x=0即v=15 3时等号成立. -300+20 v2-675 2° 当t= 时, 2 v -900 2 4 同理可得 <t≤ . 3 3 2 由1° 、2° 得,当v∈[15 3,30)时,t> . 3
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三角函数与三角形

2 、②若v=30,则t= ; 3 综合①、②可知,当v=30时,t取最小值,且最小 2 值等于 . 3 此时,在△OAB中,OA=OB=AB=20,故可设计 航行方案如下: 航行方向为北偏东30° ,航行速度为30海里/小时, 小艇能以最短时间与轮船相遇.

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三角函数与三角形

一、选择题 1.(2010· 湖北理,3)在△ABC中,a=15,b=10, A=60° ,则cosB=( 2 2 A.- 3 6 C.- 3 ) 2 2 B. 3 6 D. 3

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三角函数与三角形

[答案] D
a b [解析] 在△ABC中,由 = 得 sinA sinB bsinA 10sin60° 3 sinB= = = , a 15 3 6 ∴cosB= 1-sin B= ,故选D. 3
2
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三角函数与三角形

π 2.在△ABC中,BC=2,角B= ,当△ABC的面 3 3 积等于 时,sinC=( 2 3 A. 2 3 C. 3 1 B. 2 3 D. 4 )

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[答案] B

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三角函数与三角形

1 [解析] ∵S△ABC= AB· BC· sinB 2 1 3 3 = · AB· 2· = ,∴AB=1. 2 2 2 AB2+BC2-AC2 1 ∴cosB= = ,∴AC= 3. 2· AB· BC 2 AB 1 ∴△ABC为直角三角形,sinC= = .故选B. BC 2

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三角函数与三角形

3.(2010· 枣庄八中)在△ABC中,内角A、B、C π 对边的长度分别是a、b、c,已知c=2,C= ,△ 3 ABC的面积等于 3,则a,b的值分别为( A.a=1,b=4 C.a=4,b=4
[答案] D

)

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B.a=4,b=1 D.a=2,b=2

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三角函数与三角形

[解析] 由余弦定理得,a +b -ab=4,又因为 1 △ABC的面积等于 3,所以 absinC= 3,∴ab=4. 2
2 2 ? ?a +b -ab=4 联立? ? ?ab=4

2

2

,解得a=2,b=2.

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三角函数与三角形

二、填空题 4.(文)(2010· 广东理)已知a、b、c分别是△ABC的 三个内角A、B、C所对的边.若a=1,b= 3 ,A+C =2B,则sinA=________.
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1 [答案] 2 [解析] ∵A+C=2B,A+B+C=180° ,∴B
=60° , asinB 1×sin60° 1 由正弦定理得,sinA= = = . b 2 3
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三角函数与三角形

(理)(2010· 海淀区模拟)在△ABC中,角A、B、C所 a+b 对应的边分别为a、b、c,若a=csinA,则 的最大 c 值为______.

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[答案]

2

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三角函数与三角形

[解析] 由a=csinA及正弦定理得sinA= sinC· sinA,从而有sinC=1,∠C=90° ,所以有a2+b2 =c2, ≤ a+b c =
?a+b? ? ?2 ? c ? ? ?



a2+b2+2ab c2

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a2+b2+a2+b2 = 2. c2 当且仅当a=b时取“=”.

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三角函数与三角形

三、解答题 5.(2010· 全国Ⅱ文)△ABC中,D为边BC上的一点, 5 3 BD=33,sinB= ,cos∠ADC= ,求AD. 13 5
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3 π [解析] 由cos∠ADC= >0知B< . 5 2 12 4 由已知得cosB= ,sin∠ADC= . 13 5 从而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)

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三角函数与三角形

=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB 4 12 3 5 33 = × - × = . 5 13 5 13 65 AD BD 由正弦定理得 = , sinB sin∠BAD 5 33× 13 BD· sinB 所以AD= = =25. 33 sin∠BAD 65

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