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黑龙江省牡丹江一中2016届高三上学期10月月考数学试卷(理科)


2015-2016 学年黑龙江省牡丹江一中高三(上)10 月月考数学试 卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x>1},B={0,1,2,4},则(CRA)∩B=( ) A.{0,1} B.{0} C.{2,4} D.? 2.下列判断错误的是( ) A.若 p∧q 为假命题,则 p,q 至少之一为假命题 B.命题“?x∈R,x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“?x∈R,x3﹣x2﹣1>0” C.若 ∥ 且 ∥ ,则 ∥ 是真命题 D.若 am2<bm2,则 a<b 否命题是假命题

3.若函数 A. B. C. D.

是偶函数,则 φ=(

)

4. 设 a∈ A.1,3 B.﹣1,1

, 则使函数 y=xa 的定义域是 R, 且为奇函数的所有 a 的值是( C.﹣1,3 D.﹣1,1,3 )

)

5.已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为(

A. C.

B. D.

6.若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x2﹣4x+3,则使得函数 f(x﹣1)单调递减的一个充分不必 ) 要条件是 x∈( A.[0,1] B.[3,5] C.[2,3] D.[2,4]

7.若函数 y=cos2x 与函数 y=sin(2x+φ)在[0, A. B. C. D.

]上的单调性相同,则 φ 的一个值为(

)

8.已知 a>b>0 且 ab=1,若 0<c<1,p= ) 的大小关系是( A.p>q B.p<q C.p=q D.p≥q 9.在△ ABC 中,若 2= + A.等边三角形 B.锐角三角形

,q=

,则 p,q

) ,则△ ABC 是( C.钝角三角形 D.直角三角形 +

10. 设函数 A.α>β B.α<β C.α+β>0

, 且 αsinα﹣βsinβ>0, 则下列不等式必定成立的是( D.α2>β2

)

11.已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x) .当 x≠0 时,f′(x)+ a= f( ) ,b=﹣2f(﹣2) ,c=(ln )f(ln ) ,则 a、b、c 的大小关系是( A.a<b<C B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b )

>0.若

12.若存在实常数 k 和 b,使得函数 F(x)和 G(x)对其公共定义域上的任意实数 x 都满足: F (x)≥kx+b 和 G(x)≤kx+b 恒成立,则称此直线 y=kx+b 为 F (x)和 G(x)的“隔离直线”. 已 知函数 f(x)=x2(x∈R) ,g(x)= (x<0) ,h(x)=2elnx.有下列命题:

①F(x)=f(x)﹣g(x)在 x∈(﹣

,0)内单调递增;

②f(x)和 g(x)之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为﹣4; ③f(x)和 g(x)之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是(﹣4,0]; ④f(x)和 h(x)之间存在唯一的“隔离直线”y=2 x﹣e. ) 其中真命题的个数有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13.已知 P,Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且 P 点的纵坐标为 ,Q 点的横坐标为 ,则 cos∠POQ=__________.

14.



+x2)dx=__________.

15.给出下列四个命题: ①半径为 2,圆心角的弧度数为 的扇形面积为 . ②若 α,β 为锐角,tan(α+β)= ,tanβ= ,则 α+2β= ③函数 y=cos(2x﹣ )的一条对称轴是 x= ,则 tan(α+ )= 或 .

④已知 α∈(0,π) ,sinα+cosα=﹣ 其中正确的命题是__________.

16.若 f(x)=

,若方程 f(x)=k(x﹣1)有两个实根,则实数 k 的取

值范围是__________.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=2sin2x+2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围. sinx?sin(x+ ) (ω>0) .

18.在△ ABC 中, =(2a﹣c,cosC) , =(b,cosB) ,且 ∥ . (1)求角 B 的大小; (2)若 b=1,当△ ABC 面积取最大时,求△ ABC 内切圆的半径. 19.已知函数 h(x)是定义在(﹣4,4)上的奇函数,且 x∈(0,4)时,h(x)=﹣log2x. (1)求 h(x)的解析式; (2)当 x∈(﹣4,0)时,不等式[h(x)+2]2>h(x)m﹣1 恒成立,求实数 m 的取值范围. 20.已知 f(x)=ax+sinx(a∈R) . (1)当 a= 时,求 f(x)在[0,π]上的最值; (2)若函数 g(x)=f(x)+f′(x)在区间[﹣ , ]上不单调,求实数 a 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=k(x﹣1) . (Ⅰ)若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的值;

(Ⅱ)若方程 f(x)=g(x)有一根为 x1(x1>1) ,方程 f′(x)=g′(x)的根为 x0,是否存在 实数 k,使 =k?若存在,求出所有满足条件的 k 值;若不存在,说明理由.

22.已知函数 f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1| (1)解不等式 f(x)≥﹣2; (2)对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)≤x﹣a 成立,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年黑龙江省牡丹江一中高三(上)10 月月考 数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x>1},B={0,1,2,4},则(CRA)∩B=( ) A.{0,1} B.{0} C.{2,4} D.? 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】由集合 A={x|x>1},B={0,1,2,4},知 CRA={x≤1},由此能求出(CRA)∩B. 【解答】解:∵集合 A={x|x>1},B={0,1,2,4}, ∴CRA={x≤1}, ∴(CRA)∩B={0,1}. 故选 A. 【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答. 2.下列判断错误的是( ) A.若 p∧q 为假命题,则 p,q 至少之一为假命题 B.命题“?x∈R,x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“?x∈R,x3﹣x2﹣1>0” C.若 ∥ 且 ∥ ,则 ∥ 是真命题 D.若 am2<bm2,则 a<b 否命题是假命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;数学模型法;简易逻辑. 【分析】A.利用复合命题的真假判定方法即可得出; B.利用命题的否定定义即可判断出; C.不一定正确,例如当 时; 2 2 D.其否命题为:若 am ≥bm ,则 a≥b,是假命题,m=0 时,a,b 大小关系是任意的. 【解答】解:A.若 p∧q 为假命题,则 p,q 至少之一为假命题,正确; B.“?x∈R,x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“?x∈R,x3﹣x2﹣1>0”,正确; C. ∥ 且 ∥ ,则 ∥ 是真命题不一定正确,例如当 时; 2 2 2 2 D.若 am <bm ,则 a<b 否命题为:若 am ≥bm ,则 a≥b,是假命题,m=0 时,a,b 大小关 系是任意的. 故选:C. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、向量与不等式的性质,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

3.若函数

是偶函数,则 φ=(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的奇偶性. 【专题】计算题. 【分析】直接利用函数是偶函数求出 ? 的表达式,然后求出 ? 的值. 【解答】解:因为函数 所以 ,k∈z,所以 k=0 时,?= ∈[0,2π]. 是偶函数,

故选 C. 【点评】本题考查正弦函数的奇偶性,三角函数的解析式的应用,考查计算能力. , 则使函数 y=xa 的定义域是 R, 且为奇函数的所有 a 的值是( C.﹣1,3 D.﹣1,1,3

4. 设 a∈ A.1,3 B.﹣1,1

)

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题. 【分析】分别验证 a=﹣1,1, ,3 知当 a=1 或 a=3 时,函数 y=xa 的定义域是 R 且为奇函数. 【解答】解:当 a=﹣1 时,y=x﹣1 的定义域是 x|x≠0,且为奇函数; 当 a=1 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数; 当 a= 时,函数 y= 的定义域是 x|x≥0 且为非奇非偶函数.

当 a=3 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数. 故选 A. 【点评】本题考查幂函数的性质和应用,解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质. 5.已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为( )

A. C.

B. D.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题.

【分析】设函数的周期等于 T,根据图象可得



的距离等于 T,得到 T=

,利用

公式可求出 ω 的值,将此代入表达式,再墱函数当 x= 结论,可求出 φ 值,从而得到函数 f(x)的表达式. 【解答】解:∵函数的周期为 T=

时取得最大值,由正弦函数最值的

=



∴ω=

又∵函数的最大值是 2,相应的 x 值为 ∴ = ,其中 k∈Z

取 k=1,得 φ= 因此,f(x)的表达式为 ,

故选 B 【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例,考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析 式、三角函数的图象与性质,周期与相位等概念,属于基础题. 6.若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x2﹣4x+3,则使得函数 f(x﹣1)单调递减的一个充分不必 ) 要条件是 x∈( A.[0,1] B.[3,5] C.[2,3] D.[2,4] 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题. 【分析】由 f′(x)=x2﹣4x+3≤0 可解得 x∈[1,3]为 f(x)的减区间,从而有 f(x﹣1)的单调 递减区间为[2,4],再由集合法判断逻辑条件. 【解答】解:由 f′(x)=x2﹣4x+3≤0 得 1≤x≤3,∴[1,3]为 f(x)的减区间, ∴f(x﹣1)的单调递减区间为[2,4], ∵[2,3]?[2,4],∴C 选项是充分不必要条件 故选 C. 【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数是增函数时,导数大 于等于零恒成立,当函数是减函数时,导数小于等于零恒成立,还考查了充分、必要性的判 断.

7.若函数 y=cos2x 与函数 y=sin(2x+φ)在[0, A. B. C. D.

]上的单调性相同,则 φ 的一个值为(

)

【考点】余弦函数的图象;正弦函数的图象. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.

【分析】由题意可得函数 y=sin(2x+φ)在[0, φ≥2kπ+ ,k∈Z,由此求得 φ 的范围.

]上的单调递减,故 2×

+φ≤2kπ+

,且

【解答】解:由于函数 y=cos2x 与函数 y=sin(2x+φ)在[0, 函数 y=cos2x 在[0, ]上的单调递减, ]上的单调递减, ,k∈Z,由此求得

]上的单调性相同,

故函数 y=sin(2x+φ)在[0, 故 2× +φ≤2kπ+

,且 φ≥2kπ+

≤φ≤π,

故选:C. 【点评】本题主要考查正弦函数、余弦函数的单调性,属于基础题.

8.已知 a>b>0 且 ab=1,若 0<c<1,p=

,q=

,则 p,q

) 的大小关系是( A.p>q B.p<q C.p=q D.p≥q 【考点】基本不等式;对数值大小的比较. 【专题】探究型. 【分析】此题是比较两个对数式的大小,由于底数 0<c<1,对数函数是一个减函数,故可以 研究两对数式中真数的大小,从而比较出对数式的大小,选出正确选项 【解答】解:∵a>b>0 且 ab=1, ∴ >ab=1,





,又 y=logcx 是减函数





,即 p<q

故选 B 【点评】本题考查基本不等式,研究出相关的对数函数的单调性及比较出两个真数的大小是 解本题的关键,在使用基本不等式时,要注意“一正,二定,三相等”,基本不等式在近几年高 考中经常出现,比较大小时一个常用方法,应好好理解掌握. 9.在△ ABC 中,若 2= + A.等边三角形 B.锐角三角形 + ) ,则△ ABC 是( C.钝角三角形 D.直角三角形

【考点】三角形的形状判断. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】根据向量加减法的三角形法则,向量数量积的运算公式,对式子进行化简,进而得 =0,由此即可判断出△ ABC 的形状. 到

【解答】解:∵ ∴ ∴ ∴ + =0, =0,



=0 则 AC⊥BC 故选 D. 【点评】本题考查的知识点是三角形的形状判断,其中根据已知条件,判断出 AC⊥BC,是解答本题的关键.

=0,即

10. 设函数

, 且 αsinα﹣βsinβ>0, 则下列不等式必定成立的是(

)

A.α>β B.α<β C.α+β>0 D.α2>β2 【考点】正弦函数的单调性. 【专题】综合题. 【分析】构造函数 f(x)=xsinx,x∈ ,利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性, ]与 x∈[﹣ ,0]上的单调性,从而可

利用 f′(x)=sinx+xcosx 可判断 f(x)=xsinx,x∈[0, 选出正确答案. 【解答】解:令 f(x)=xsinx,x∈ ∵f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=x?sinx=f(x) , ∴f(x)=xsinx,x∈ 又 f′(x)=sinx+xcosx, ∴当 x∈[0, 为偶函数. ,

],f′(x)>0,即 f(x)=xsinx 在 x∈[0, ,0]单调递减;

]单调递增;

同理可证偶函数 f(x)=xsinx 在 x∈[﹣ ∴当 0≤|β|<|α|≤ 故选 D.

时,f(α)>f(β) ,即 αsinα﹣βsinβ>0,反之也成立;

【点评】本题考查正弦函数的单调性,难点在于构造函数 f(x)=xsinx,x∈ 通过研究函数 f(x)=xsinx,的奇偶性与单调性解决问题,属于难题.



11.已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x) .当 x≠0 时,f′(x)+ a= f( ) ,b=﹣2f(﹣2) ,c=(ln )f(ln ) ,则 a、b、c 的大小关系是( A.a<b<C B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 【考点】利用导数研究函数的单调性. )

>0.若

【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】根据式子得出 F(x)=xf(x)为 R 上的偶函数,利用 f′(x)+ 当 x>0 时,x?f′(x)+f(x)>0, 当 x<0 时,x?f′(x)+f(x)<0,判断单调性即可证明 a,b,c 的大小. 【解答】解:∵定义域为 R 的奇函数 y=f(x) , ∴F(x)=xf(x)为 R 上的偶函数, F′(x)=f(x)+xf′(x) ∵当 x≠0 时,f′(x)+ >0. >0.

∴当 x>0 时,x?f′(x)+f(x)>0, 当 x<0 时,x?f′(x)+f(x)<0, 即 F(x)在(0,+∞)单调递增,在(﹣∞,0)单调递减. F( )=a= f( )=F(ln ) ,F(﹣2)=b=﹣2f(﹣2)=F(2) ,F(ln )=c=(ln )f(ln )

=F(ln2) , ∵ln <ln2<2, ∴F(ln )<F(ln2)<F(2) . 即 a<c<b 故选:D 【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用,根据给出的式子,得出需要的函数,运用导 数判断即可,属于中档题. 12.若存在实常数 k 和 b,使得函数 F(x)和 G(x)对其公共定义域上的任意实数 x 都满足: F (x)≥kx+b 和 G(x)≤kx+b 恒成立,则称此直线 y=kx+b 为 F (x)和 G(x)的“隔离直线”. 已 知函数 f(x)=x2(x∈R) ,g(x)= (x<0) ,h(x)=2elnx.有下列命题:

①F(x)=f(x)﹣g(x)在 x∈(﹣

,0)内单调递增;

②f(x)和 g(x)之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为﹣4; ③f(x)和 g(x)之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是(﹣4,0]; ④f(x)和 h(x)之间存在唯一的“隔离直线”y=2 x﹣e. ) 其中真命题的个数有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】新定义;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】①求出 F(x)=f(x)﹣g(x)的导数,检验在 x∈(﹣ 可判断; ,0)内的导数符号,即

②、③设 f(x) 、g(x)的隔离直线为 y=kx+b,x2≥kx+b 对一切实数 x 成立,即有△ 1≤0,又 ≤kx+b 对一切 x<0 成立,△ 2≤0,k≤0,b≤0,根据不等式的性质,求出 k,b 的范围,即可判 断②③; ④存在 f(x)和 g(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为 k.则 隔离直线,构造函数,求出函数函数的导数,根据导数求出函数的最值. 【解答】解:①∵F(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣ ,∴x∈(﹣ ,0) ,F′(x)=2x+ >0,

∴F(x)=f(x)﹣g(x)在 x∈(﹣

,0)内单调递增,故①对;

②、③设 f(x) 、g(x)的隔离直线为 y=kx+b,则 x2≥kx+b 对一切实数 x 成立,即有△ 1≤0, k2+4b≤0, 又 ≤kx+b 对一切 x<0 成立,则 kx2+bx﹣1≤0,即△ 2≤0,b2+4k≤0,k≤0,b≤0, 即有 k2≤﹣4b 且 b2≤﹣4k,k4≤16b2≤﹣64k?﹣4≤k≤0,同理?﹣4≤b≤0,故②对,③错; ④函数 f(x)和 h(x)的图象在 x= 处有公共点,因此存在 f(x)和 g(x)的隔离直线, 那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为 k.则隔离直线方程为 y﹣e=k(x﹣ ) ,即 y=kx﹣k +e, 由 f(x)≥kx﹣k +e(x∈R) ,可得 x2﹣kx+k ﹣e≥0 当 x∈R 恒成立, 则△ ≤0,只有 k=2 ,此时直线方程为:y=2 x﹣e, 下面证明 h(x)≤2 x﹣e,令 G(x)=2 x﹣e﹣h(x)=2 x﹣e﹣2elnx, G′(x)= ,

当 x= 时,G′(x)=0,当 0<x< 时 G′(x)<0,当 x> 时 G′(x)>0, 则当 x= 时,G(x)取到极小值,极小值是 0,也是最小值. 所以 G(x)=2 x﹣e﹣g(x)≥0,则 g(x)≤2 x﹣e 当 x>0 时恒成立. ∴函数 f(x)和 g(x)存在唯一的隔离直线 y=2 x﹣e,故④正确. 故选:C. 【点评】本题以函数为载体,考查新定义,关键是对新定义的理解,考查函数的求导,利用 导数求最值,属于难题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13.已知 P,Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且 P 点的纵坐标为 ,Q 点的横坐标为 ,则 cos∠POQ=﹣ .

【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得 sin∠xOP 和 cos∠xOQ 的值,利用同角三 角函数的基本关系求得 cos∠xOP 和 sin∠xOQ, 再利用两角和的余弦公式求得 cos∠POQ=cos (∠xOP+∠xOQ )的值. 【解答】解:由题意可得,sin∠xOP= ,∴cos∠xOP= ;

再根据 cos∠xOQ=

,可得 sin∠xOQ=



∴cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)=cos∠xOP?cos∠xOQ﹣ sin∠xOP?sin∠xOQ= 故答案为:﹣ . =﹣ ,

【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系,同角三角函数的基本关系,两角和的余弦 公式的应用,属于基础题. +x2)dx=

14.



+ .

【考点】定积分;圆的标准方程. 【专题】计算题;数形结合;导数的概念及应用. 【分析】先将 y= 【解答】解:记 f(x)= ∵y=f(x)= = 化为圆的标准方程,再结合几何意义求定积分. ,g(x)=x2,x∈[﹣2,﹣1], ,平方得, (x+1)2+y2=1(y≥0) ,

∴f(x)的图象为以(﹣1,0)为圆心,以 1 为半径的圆的上半部分, 所以, 又因为 因此,原式= 故填: + . f(x)dx 表示 圆的面积,其值为 g(x)dx= x3 f(x)dx+ = , g(x)dx= + , ,即 f(x)dx= ,

【点评】本题主要考查了运用数形结合的方法解决定积分问题,涉及圆的标准方程,属于中 档题. 15.给出下列四个命题: ①半径为 2,圆心角的弧度数为 的扇形面积为 . ②若 α,β 为锐角,tan(α+β)= ,tanβ= ,则 α+2β= ③函数 y=cos(2x﹣ )的一条对称轴是 x= ,则 tan(α+ )= 或 .

④已知 α∈(0,π) ,sinα+cosα=﹣

其中正确的命题是③④. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;数学模型法;简易逻辑.

【分析】①利用扇形面积即可得出. ②由 α,β 为锐角,tan(α+β)= ,tanβ= ,可得(α+β)∈ 可得(α+2β)∈ ③把 x= 代入可得:y= ,可得 ,可得 .计算出 tan(α+2β) ,进而判断出正误. =cosπ=﹣1,即可判断出正误; =﹣ ,又 α∈ ,即可得出 tan(α+ ) . ,可得 , ,

④α∈(0,π) ,sinα+cosα=﹣ ∈

【解答】解:①半径为 2,圆心角的弧度数为 的扇形面积 S= ②若 α,β 为锐角,tan(α+β)= ,tanβ= ,∴(α+β)∈ 可得(α+2β)∈ . ,

=1,因此不正确. ,

∴tan(α+2β)=

=

=1,则 α+2β=

,因此不正确.

③把 x=

代入可得:y= ,正确; ,∴ ∈

=cosπ=﹣1,因此函数 y=cos(2x﹣

)的

一条对称轴是 x=

④已知 α∈(0,π) ,sinα+cosα=﹣ ﹣ ,又 α∈ ,∴

=﹣ ,

,化为

=



=﹣

=﹣

,则 tan(α+

)=

=

,正确.

其中正确的命题是 ③④. 故答案为:③④. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质、和差公式、同角三角函 数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

16.若 f(x)=

,若方程 f(x)=k(x﹣1)有两个实根,则实数 k 的取

值范围是( ,

].

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;数形结合;分类讨论;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】作函数图象,结合图象讨论,由分段函数分别求在各段上解的个数,从而综合讨论 即可. 【解答】解:∵方程 f(x)=k(x﹣1)有两个实根,

∴函数 f(x)=

与 y=k(x﹣1)的图象有两个不同的交点,

作其图象如右图, 当 x>1 时,方程 f(x)=k(x﹣1)可化为 k= ,

令 F(x)=

,则 F′(x)=

= ?

<0,

∴F(x)在(1,+∞)上单调递减; 又∵ = ,

∴当 k> 时,方程 f(x)=k(x﹣1)在(1,+∞)上有一个解, 当k 时,方程 f(x)=k(x﹣1)在(1,+∞)上无解; ;

当点(1,0)是 y=log2x 的切点时,y′= 故当 k> 当 k≤

时,直线 y=k(x﹣1)与 y=log2x 在(0,1]上有两个交点, 时,直线 y=k(x﹣1)与 y=log2x 在(0,1]上有一个交点(1,0) ,

结合讨论可知, 当 k∈( , ]时,方程 f(x)=k(x﹣1)有两个实根, ].

故答案为: ( ,

【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用,同时考查了分类讨论的思想. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=2sin2x+2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围. sinx?sin(x+ ) (ω>0) .

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 (1)由三角函数公式化简可得 f(x)=1+2sin(2x﹣ (2)由 x∈[0, ]结合三角函数的性质可得取值范围. ) ,由周期公式可得;

【解答】解: (1)由三角函数公式化简可得 f(x)=2sin2x+2 sinx?sin(x+ )

=2sin2x+2 sinx?cosx =1﹣cos2x+ sin2x =1+2sin(2x﹣ ) =π;

∴f(x)的最小正周期 T=

(2)∵x∈[0, ∴sin(2x﹣ ∴2sin(2x﹣ ∴1+2sin(2x﹣

],∴2x﹣

∈[﹣



],

)∈[﹣ ,1], )∈[﹣1,2], )∈[0,3], ]上的取值范围为:[0,3]

∴函数 f(x)在区间[0,

【点评】本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的周期性和值域,属基础题. 18.在△ ABC 中, =(2a﹣c,cosC) , =(b,cosB) ,且 ∥ . (1)求角 B 的大小; (2)若 b=1,当△ ABC 面积取最大时,求△ ABC 内切圆的半径. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理;余弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (Ⅰ)由 ∥ 可得(2a﹣c)cosB=bcosC,由正弦定理化简可得 2sinAcosB=sinA,利 用 A,B 为三角形内角,即可解得 B 的值. (Ⅱ)由余弦定理,基本不等式及已知 B= 且仅当 a=c=1 时 S△ ABC 最大值为 ,b=1 可解得 ac≤1,利用三角形面积公式可得当

,此时三角形为等边三角形,即可求得其内切圆的半径.

【解答】解: (Ⅰ)∵由已知可得(2a﹣c)cosB=bcosC, ∴由正弦定理可得: (2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,即 2sinAcosB=sin(B+C) , ∴cosB= ,B 为三角形内角, ∴B= .… △ ABC 中 b2=a2+c2﹣2accosB 得 b2=a2+c2﹣ac 即 1+3ac= , 又 b=1, (a+c)

(Ⅱ) 由 (1) 得 B=
2

, 又因为(a+c)2≥4ac.得 1+3ac≥4ac 即 ac≤1. 所以 S△ ABC= acsinB= ac≤ ,当且仅当 a=c=1 时 S△ ABC 最大值为 . .

此时由 S△ ABC= (a+b+c)r,r=

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理,基本不等式 的应用,考查了平面向量及其应用,三角形面积公式的应用,考查了计算能力,属于中档题. 19.已知函数 h(x)是定义在(﹣4,4)上的奇函数,且 x∈(0,4)时,h(x)=﹣log2x. (1)求 h(x)的解析式; (2)当 x∈(﹣4,0)时,不等式[h(x)+2]2>h(x)m﹣1 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.

【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据函数奇偶性的性质,利用对称性进行求解即可. (2)利用参数分离法进行分解,结合函数的性质求出最值即可. 【解答】解: (1)若 x∈(﹣4,0) ,则﹣x∈(0,4) , ∵x∈(0,4)时,h(x)=﹣log2x ∴当﹣x∈(0,4)时,h(﹣x)=﹣log2(﹣x) , ∵h(x)是定义在(﹣4,4)上的奇函数, ∴h(﹣x)=﹣log2(﹣x)=﹣h(x) , 即 h(x)=log2(﹣x) ,x∈(﹣4,0) , 则 h(x)= .

(2)当 x∈(﹣4,0)时,h(x)=log2(﹣x) , 2 若不等式[h(x)+2] >h(x)m﹣1 即不等式 h2(x)+4h(x)+4>h(x)m﹣1, 即 h2(x)+4h(x)+5>h(x)m, 若 x∈(﹣4,﹣1)时,h(x)=log2(﹣x)∈(0,2) , 则不等式等价为 m< =h(x)+ +4,

∵当若 x∈(﹣4,﹣1)时,h(x)=log2(﹣x)>0, ∴则 y=h(x)+ 则 y>2+ +4= 则 m≤ , , +2 则(0,2)上为减函数,

当 x∈(﹣1,0)时,h(x)=log2(﹣x)<0, 则不等式等价为 m> =h(x)+ +2,

∵h(x)+

+2≤﹣2

+2=2﹣2

∴此时 m≥2﹣2 , 综上实数 m 的取值范围是 (2﹣2 , ].

【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式恒成立问题,利用参数分离法是解决本 题的关键. 20.已知 f(x)=ax+sinx(a∈R) . (1)当 a= 时,求 f(x)在[0,π]上的最值;

(2)若函数 g(x)=f(x)+f′(x)在区间[﹣



]上不单调,求实数 a 的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】 (1)求导,利用导函数判断函数单调性,利用单调性求函数最值; (2)求出函数 g(x) ,得出 g'(x)=a+cosx﹣sinx,在区间[﹣ 不恒大于零也不恒小于零,得出 a 的取值范围. 【解答】解: (1)f(x)= x+sinx ∴f'(x)= +cosx 当 x∈(0, 当 x∈( )时,f'(x)>0,f(x)递增 ,π)时,f'(x)<0,f(x)递减 )= + , ]上不单调可知 g'(x)

∴f(x)的最大值为 f( f(0)=0,f(π)=

∴f(x)的最小值为 f(0)=0; (2)g(x)=ax+sinx+cosx+a g'(x)=a+cosx﹣sinx =a+ sin( , sin( ﹣x) ] ﹣x)≤ , ]上单调

∵x∈[﹣ ∴﹣1≤

∵假设在区间[﹣

∴g'(x)恒大于零或恒小于零 ∴a≥﹣1 或 a≤﹣ ∴在区间[﹣ , ]上不单调的范围为﹣ <a<﹣1

【点评】考察了导函数的利用和三角函数的基本运算. 21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=k(x﹣1) . (Ⅰ)若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的值; (Ⅱ)若方程 f(x)=g(x)有一根为 x1(x1>1) ,方程 f′(x)=g′(x)的根为 x0,是否存在 实数 k,使 =k?若存在,求出所有满足条件的 k 值;若不存在,说明理由.

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.

【专题】综合题;导数的综合应用. f x) ≥g 【分析】 (Ⅰ) ( (x) 恒成立, 等价于 =lnx﹣ 恒成立, 设h (x)

(x>0) ,求导数,确定函数的最小值 h(x)min=h(k)=lnk﹣k+1≥0,再构造 u(x)=lnx﹣x+1 (x>0) ,求导数,确定函数的单调性,即可得出结论; (Ⅱ)分类讨论,由(Ⅰ)知当 k≤0 或 k=1 时,f(x)=g(x) ,即 h(x)=0 仅有唯一解 x=1, 不合题意;当 0<k<1 时,h(x)是(k,+∞)上的增函数,对 x>1,有 h(x)>h(1)=0, 所以 f(x)=g(x)没有大于 1 的根,不合题意;当 k>1 时,由 f′(x)=g′(x)解得 x0=ek﹣1, 若存在 x1=kx0=kek﹣1,则 lnk﹣1+e1﹣k=0,证明 lnk﹣1+e1﹣k=0 在(1,+∞)无解,即可得出结 论. 【解答】解: (Ⅰ)注意到函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 所以 f(x)≥g(x)恒成立,等价于 设 h(x)=lnx﹣ (x>0) , 恒成立,

则 h′(x)=

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当 k≤0 时,h′(x)>0 对 x>0 恒成立,所以 h(x)是(0,+∞)上的增函数, 注意到 h(1)=0,所以 0<x<1 时,h(x)<0 不合题意.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当 k>0 时,若 0<x<k,h′(x)<0;若 x>k,h′(x)>0. 所以 h(x)是(0,k)上的减函数,是(k,+∞)上的增函数, 故只需 h(x)min=h(k)=lnk﹣k+1≥0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 令 u(x)=lnx﹣x+1(x>0) ,u′(x)= ,

当 0<x<1 时,u′(x)>0; 当 x>1 时,u′(x)<0. 所以 u(x)是(0,1)上的增函数,是(1,+∞)上的减函数. 故 u(x)≤u(1)=0 当且仅当 x=1 时等号成立. 所以当且仅当 k=1 时,h(x)≥0 成立,即 k=1 为所求.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 k≤0 或 k=1 时,f(x)=g(x) ,即 h(x)=0 仅有唯一解 x=1,不合题意; 当 0<k<1 时,h(x)是(k,+∞)上的增函数,对 x>1,有 h(x)>h(1)=0, 所以 f(x)=g(x)没有大于 1 的根,不合题意.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当 k>1 时,由 f′(x)=g′(x)解得 x0=ek﹣1,若存在 x1=kx0=kek﹣1, 则 lnk﹣1+e1﹣k=0, 令 v(x)=lnx﹣1+e1﹣x, ,

令 s(x)=ex﹣ex,s′(x)=ex﹣e,当 x>1 时,总有 s′(x)>0, 所以 s(x)是(1,+∞)上的增函数,即 s(x)=ex﹣ex>s(1)=0, 故 v′(x)>0,v(x)在(1,+∞)上是增函数, 所以 v(x)>v(1)=0,即 lnk﹣1+e1﹣k=0 在(1,+∞)无解. 综上可知,不存在满足条件的实数 k.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的构造,考查函数的最值,考查等价转化问题 的能力,属于难题.

22.已知函数 f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1| (1)解不等式 f(x)≥﹣2; (2)对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)≤x﹣a 成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用;直线与圆. 【分析】 (1)通过对 x≤﹣2,﹣2<x<1 与 x≥1 三类讨论,去掉绝对值符号,解相应的一次不 等式,最后取其并集即可;

(2)在坐标系中,作出

的图象,对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)

≤x﹣a 成立,分﹣a≥2 与﹣a<2 讨论,即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2, 当 x≤﹣2 时,x﹣4≥﹣2,即 x≥2,∴x∈?; 当﹣2<x<1 时,3x≥﹣2,即 x≥﹣ ,∴ ﹣≤x≤1; 当 x≥1 时,﹣x+4≥﹣2,即 x≤6,∴1≤x≤6; 综上,不等式 f(x)≥﹣2 的解集为:{x|﹣ ≤x≤6} …

(2)



函数 f(x)的图象如图所示:

令 y=x﹣a,﹣a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,﹣a=2; ∴当﹣a≥2,即 a≤﹣2 时成立;… 当﹣a<2,即 a>﹣2 时,令﹣x+4=x﹣a,得 x=2+ , ∴a≥2+ ,即 a≥4 时成立, 综上 a≤﹣2 或 a≥4.… 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查分段函数的性质及应用,考查等价转化思想与 作图分析能力,突出恒成立问题的考查,属于难题.


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