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fc1678:「精品」黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三数学第二次模拟考试试题理

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黑龙江省哈尔滨市第六中学 2018 届高三数学第二次模拟考试试题 理

考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分,考试时间 120 分钟.
(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,
字迹清楚; (3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.

1.已知复数 z 满足 (i ?1)(z ? i3) ? 2i ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为( )

A. i ?1

B.1? 2i

C.1? i

D.1? 2i

2.已知集合 A={x| f (x) ? lg(x ? x2 ? 6) },B={x| g(x) = x ? m },若 A I B ? ? ,则实数 m 的取

值范围是( ) A.(?∞,3)

B.(?2,3)

C.(?∞,?2)

D.(3,+∞)

3.已知双曲线 x2 a2

? y2 b2

?1

(a>0,b>0)的右顶点与抛物线 y2 =8x 的焦点重合,且其离心率 e= 3 , 2

则该双曲线的方程为( )

A. y2 ? x2 ? 1 45

B. x2 ? y2 ? 1 54

C. x2 ? y2 ? 1 45

D. y2 ? x2 ? 1 54

4.已知在各项均为正数的等比数列{ an }中, a1a3 =16, a3 + a4 =24,则 a5 =( )

A.128

B.108

C.64

D.32

5.已知? 是第四象限角,且 sin? ? cos? ? 1 ,则 tan ? =( )

5

2

A. 1 3

B. ? 1 3

C. 1 2

D. ? 1 2

6.已知命题 p:存在 n ? R ,使得 f (x) = nxn2 ?2n 是幂函数,且在 (0, ??) 上单调递增; 命题 q:

-1-

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“ ?x ? R, x2 ? 2 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 2 ? 3x ”.则下列命题为真命题的是( )

A. p ? q

B. ?p ? q

C. p ? ?q

D. ?p ? ?q

7.函数

f

(x)

=

2

?

ln | x x2

|

的图象大致为(

)

A.

B.

C.

D.

8.如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列”,

执行该程序,若输入 n ? 6 ,则输出 C =( )

A. 5

B. 8

C.13

D. 21

9.从 A, B,C, D, E 五名歌手中任选三人出席某义演活动,当三名歌手中有 A 和 B 时,

A 需排在 B 的前面出场(不一定相邻),则不同的出场方法有( )

A.51 种

B.45 种

C.42 种

D.36 种

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的内切球的体积为( )

A. 1 ? 4

B. 3 ? 4

C. 1 ? 2

D. 3 ? 2

11.正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1上,若椭圆的焦点在

正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( )

A. (0, 5 ?1) 2

B. ( 5 ?1 ,1) 2

-2-

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C. ( 3 ?1 ,1) 2

D. (0, 3 ?1) 2

12.已知 f ?(x) 为函数 f (x) 的导函数,且 f (x) = 1 x2 ? f (0) x+ f ?(1) ex?1 , 2

g(x) = f (x) ?1 x2 ? x ,若方程 g( x2 ? x) ?x=0 在(0,+∞)上有且仅有一个根,则实数 a 的取

2

a

值范围是( )

A. (0,1]

B.(?∞,?1]

C. (?∞,0)∪{1}

D.[1,+∞)

第 II 卷(非选择题 共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题、

第 23 题为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分.)

13.一个煤气站有 5 个阀门控制对外输送煤气,使用这些阀门必须遵守以下操作规则:

(i)如果开启 1 号阀门,那么必须同时开启 2 号阀门并且关闭 5 号阀门;(ii)如果开启 2 号阀门

或者 5 号阀门,那么要关闭 4 号阀门;(iii)不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门.现在要开启 1

号阀门,则同时开启的 2 个阀门是



?y ? x

14.若实数

x,y

满足约束条件

? ?

y

?

?

x

?

4

,且

?

?

2x

?

y

?

2

的最小值为

?4

,则

k

=



?? y ? 2k

15.若 x9 ? a0 ? a1(x ?1) ? a2 (x ?1)2 ? L ? a9 (x ?1)9 ,则 a7 的值为



16.已知首项为

1 3

的数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

,定义在[1,+∞)上恒不为零的函数

f

(x)

,对任意

的 x,y∈R,都有 f (x) · f ( y) = f (x ? y) .若点(n,an )(n∈N*)在函数 f (x) 的图象上,且不

等式

m2

+

2m 3

<

Sn

对任意的

n∈N*恒成立,则实数

m

的取值范围为______________

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
-3-

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17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c , 且满足 (2c ? b) cos A ? a cos B . (1)求角 A 的大小; uuur uuur (2)若 D 为 BC 上一点,且满足 BD ? 2DC, AD ? 2 3 , b ? 3, 求 a .

18.(本小题满分 12 分)如图 1,已知在梯形 ABCD 中,AB / /CD ,E, F 分别为底 AB,CD 上的点,

且 EF ? AB ,EF ? EB ? 1 FC ? 2, EA ? 1 FD ,沿 EF 将平面 AEFD 折起至平面 AEFD ?平

2

2

面 EBCF ,如图 2 所示.
(1)求证:平面 ABD⊥平面 BDF;

(2)若二面角 B?AD?F 的大小为 60°,求 EA 的长度.



图1

图2

19.(本小题满分 12 分)小张经营一个抽奖游戏。顾客花费 3 元钱可购买游戏机会。每次游戏中,顾
客从装有1个黑球,3 个红球,6 个白球的不透明的袋子中依次不放回地摸出 3 个球(除颜色外
其他都相同),根据摸出的球的颜色情况进行兑奖。顾客获得一等奖,二等奖,三等奖,四等奖
时分别可领取的奖金为 a 元,10 元,5 元,1元。若经营者小张将顾客摸出的 3 个球的颜色情况 分成以下类别: A :1个黑球 2 个红球; B : 3 个红球; C :恰有1个白球; D :恰有 2 个 白球; E : 3个白球。且小张计划将五种类别按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖,
中二等奖,中三等奖,中四等奖,不中奖五个层次。 (1)通过计算写出一至四等奖分别对应的类别(写出字母即可); (2)已知顾客摸出的第一个球是红球的条件下,求他获得二等奖的概率;
(3)设顾客进行一次游戏时小张可获利 X 元,求变量 X 的分布列;若小张不打算在游戏中亏
-4-

本,求 a 的最大值.

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20.(本小题满分

12

分)已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) ,过椭圆 C 的右焦点 F

任作一条直线,

交椭圆 C 于 A, B 两点.过椭圆 C 的中心任作一条直线,交椭圆 C 于 M , N 两点.

(1)求证:直线 AM 与直线 AN 的斜率之积为定值. (2)若 a ? AB ? 2 ON 2 ,试探究直线 AB 与直线 MN 的倾斜角之间的关系.

21.(本小题满分 12 分)已知 f ?x? ? ?x ?1?ex (1)当 a ? 0 时,求函数 g(x) ? f ? x? ? 1 ax2 的极值点.
2
(2)若 ?x ?1,都有 f ? x? ? x ? m ? ln ? x ?1? 成立,求 m 取值范围.
-5-

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请从下面所给的 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按做的第一题计分.
22.(本小题满分 10 分)在极坐标系中,已知曲线 C : ? cos(? ? ? ) ? 1 ,过极点 O 作射线与曲线 C 交 4
于点 Q ,在射线 OQ 上取一点 P ,使 OP ? OQ ? 2 . (1)求点 P 轨迹 C1 的极坐标方程; (2)以极点 O 为直角坐标系原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy ,

若直线 l : y ? ? 3x 与(1)中的曲线 C1 相交于点 E (异于点 O ),与曲线

?

C2

:

??x ?

?

1

?

2t 2

(t为参数) 相交于点 F ,求 EF 的值.

? ??

y

?

?

1 2

?

2t 2

23.(本小题满分 10 分)设 f (x) ? x ?1 ? x ?1 ,(x ? R)
-6-

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(1)求证: f (x) ? 2; (2)若不等式 f (x) ? 2b ?1 ? 1? b 对任意非零实数 b 恒成立,求 x 的取值范围.
b
-7-

答案 一、 选择题:
BACDB CBBAD AC

二、 填空题: 三、简答题:

17.解:(1)在

中,由正弦定理得:

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4分

(2)在

中,由余弦定理得:

5分



中,由余弦定理得:

7分



中,由余弦定理得:

9分

解得:

12 分

18.解:(1)









;



,

∴中一至四等奖分别对应的类别是 B,A,E,C.

5分

(2)事件 为顾客摸出的第一个球是红球,事件 为顾客获得二等奖

8分

(3)设顾客进行一次游戏经营者可盈利 元,则

X

3-a

-7

-2

2

3

P

-8-

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1 0分

, 12 分

19.(1)由题意知 EA

FD,EB

所以 AB∥CD,即 A,B,C,D 四点共面.由 EF=EB

FC,

FC=2,EF⊥AB,得 FB=BC=2

,则 BC⊥FB,又翻折后平面 AEFD⊥平面 EBCF,

平面

AEFD∩平面 EBCF=EF,DF⊥EF,所以 DF⊥平面 EBCF,因而 BC⊥DF,又 DF∩FB=F,

所以 BC⊥平面 BDF,由于 BC 平面 BCD,则平面 BCD⊥平面 BDF,又平面 ABD 即平面 BCD

所以平面 ABD⊥平面 BDF.(6 分)

(2)以 F 为坐标原点,FE,FC,FD 所在的直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 F(0,0,0),B (2,2,0),设 EA=t(t>0),则 A (2,0,t),

D(0,0,2t),

=(0,2,?t), =(?2,0,t).(8 分)

设平面 ABD 的法向量为 m=(x,y,z),则





取 x=t,则 y=t,z=2,所以 m=(t,t,2)为平面 ABD 的一个法向量.

又平面 FAD 的一个法向量为 n=(0,1,0),

则|cos<m,n>|=

所以 t=

,即 EA 的长度为

=, .(12 分)

20.解:(1)证明:设 A(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),
-9-

22

22

22 22

22222 b2

由00+00=1,11 +11=1,两式相减,得011+011=0,即01011=-a2.

y0-y1

y0+y1

∵kAM=x0-x1,kAN=x0+x1,

b2

∴kAM·kAN=-a2为定值.

4分

2b2 (2)当弦 AB 所在直线的斜率不存在时,|AB|= a ,

∴|MN|=2b,∴弦 MN 为椭圆的短轴,此时,MN∥AB.

5分

当弦 AB,弦 MN 所在直线的斜率均存在时,

不妨设弦 AB 与弦 MN 所在直线的斜率分别为 k1,k2,A(x1,y1),B(x2,y2),

M(x3,y3),N(x4,y4),

则直线 AB,MN 的方程分别为 y=k1(x-c),y=k2x,

y=k1(x-c), 由b2x2+a2y2-a2b2=0,

2

2

2

得(b2+a2k1)x2-2a2k1cx+a2c2k1-a2b2=0,

222

222

∴x1+x2=111,x1x2=111,

22

22

∴|AB|=11·|x1-x2|=11·

22 22222 =11·11111

22 22 2 222

=11·11)2=111.

8分

y=k2x, 同理,联立b2x2+a2y2-a2b2=0,

2 得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,

22 ∴x3+x4=0,x3x4=22,

22

22 22 22

∴|MN|=22·|x3-x4|=22·=22·22=

222 2ab·222.

10 分

∵a|AB|=2|ON|2

222

222

∴ 2a|AB|=|MN|2, ∴2a·111=4a2b2·222,

222 222 即111=222,

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- 10 -

2

2

即(a2-b2)k1=(a2-b2)k2.

22 ∵a>b,∴k1=k2,∴k1=±k2, ∴直线 AB 与直线 MN 的倾斜角相等或互补. 综上所述,直线 AB 与直线 MN 的倾斜角相等或互补.

21.(1)

令 ①当

时,





当 在 上变化时,可得下表:

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12 分

0

0



极小值



极大值



所以由表可知,此时极大值点为

②同理当

时,极大值点为

,极小值点为 ,极小值点为

③当

时,

点也无极小值点

(2)设

,此时

在 上单调递增,既无极大值


- 11 -



为增函数







∴存在唯一 ,
函数 ,

使 ,即

,即 ,∴

为减

,即

,∴ 为增函数



∴对



等价

即 所以

23.

成立 于恒成立

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- 12 -

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(1)f(x)=|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2.

(2)令 g(b)=

,则 g(b)=



∴f(x)≥3,即|x-1|+|x+1|≥3.

化简得





解得 x≤- 或 x≥ ,即为所求.

5分 =3,
10 分

- 13 -


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