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初中数学竞赛分专题训练试题及解析(10套,76页)


初中数学竞赛专项训练(1)
(实
一、选择题 1、如果自然数 a 是一个完全平方数,那么与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平方数是( A. a+1 B. a2+1 C. a2+2a+1 D. a+2 a +1 )

数)

2、在全体实数中引进一种新运算*,其规定如下:①对任意实数 a、b 有 a*b=(a+b)(b-1)②对任意实数 a 有 a =a*a。当 x=2 时, [3*(x ) ]-2*x+1 的值为 A. 34 B. 16 C. 12
*2 *2

( D. 6



3、已知 n 是奇数,m 是偶数,方程 ? A. x0、y0 均为偶数 C. x0 是偶数 y0 是奇数

?2004? y ? n 有整数解 x0、y0。则 ?11x ? 28y ? m
B. x0、y0 均为奇数 D. x0 是奇数 y0 是偶数 )





4、设 a、b、c、d 都是非零实数,则四个数-ab、ac、bd、cd( A. 都是正数 B. 都是负数 C. 两正两负

D. 一正三负或一负三正 )

5、满足等式 x y ? y x ? 2003y ? 2003x ? 2003xy ? 2003 的正整数对的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6、已知 p、q 均为质数,且满足 5p2+3q=59,由以 p+3、1-p+q、2p+q-4 为边长的三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 )

7、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( 整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 )个

8、在 1、2、3??100 个自然数中,能被 2、3、4 整除的数的个数共( A. 4 二、填空题 1、若 S ? B. 6 C. 8 D. 16

1 1 1 1 ? ? ?? 1980 1981 2001

,则 S 的整数部分是____________________

2、M 是个位数字不为零的两位数,将 M 的个位数字与十位数字互换后,得另一个两位数 N,若 M-N 恰

是某正整数的立方,则这样的数共___个。

3、已知正整数 a、b 之差为 120,它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍,那么,a、b 中较大的数是

_____。

4、设 m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数,则 m=_________ 5、满足 19982+m2=19972+n2(0<m<n<1998)的整数对(m、n)共有____个

6、已知 x 为正整数,y 和 z 均为素数,且满足 x ? yz  ? 三、解答题

1 x

1 1 ? ,则 x 的值是___ y z

1、试求出这样四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位 数。

2、从 1、2、3、4??205 共 205 个正整数中,最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数 a、 b、c(a<b<c) ,都有 ab≠c。

3、已知方程 x ? 6 x ? 4n ? 32n ? 0 的根都是整数。求整数 n 的值。
2 2

4、设有编号为 1、2、3??100 的 100 盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有 100 个学生,第 1 个学生进来时,凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是 2 的倍数的开关拉一下,第 n 个(n≤100)学生进来,凡号码是 n 的倍数的开关拉一下,如此下去,最 后一个学生进来,把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。

5、若勾股数组中,弦与股的差为 1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式:

2a ? 1,  2a 2 ? 2a,  2a 2 ? 2a ? 1,其中 a 为正整数。

初中数学竞赛专项训练(2)
(代数式、恒等式、恒等变形)
一、选择题:下面各题的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣,进价为每件 m 元,零售价比进价高 a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为 原来零售价的 b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( ) A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m· a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元
2、如果 a、b、c 是非零实数,且 a+b+c=0,那么 a ? b ? c ? abc 的所有可能的值为 | a | | b | | c | | abc | A. 0 B. 1 或-1 ( ) C. 2 或-2 D. 0 或-2

3、在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若∠B=60°,则 ( A. 1 2 C. 1 B. D.
2 2

c a 的值为 ? a?b c?b

) c B

A b a C ( D. 3 )

2
a?b 的值为 a?b
C. 2

4、设 a<b<0,a2+b2=4ab,则 A.

3

B.

6

5、已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设 a、b、c 为实数, x ? a ? 2b ?
2

?
3

,y ? b 2 ? 2c ?
C. 不大于 0
2 2 2

?
6

,z ? c 2 ? 2a ?

?
2

,则 x、y、z 中,至少有 ( )

一个值 A. 大于 0

B. 等于 0

D. 小于 0 ( )

7、已知 abc≠0,且 a+b+c=0,则代数式 A. 3
2

B. 2
2

a b c 的值是 ? ? bc ca ab C. 1 D. 0

8、若 M ? 3x ? 8xy ? 9 y ? 4x ? 6 y ? 13 (x、y 是实数) ,则 M 的值一定是 ( A. 正数 二、填空题 B. 负数 C. 零 D. 整数



1、某商品的标价比成本高 p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数) 不得超过 d%,则 d 可用 p 表示为_____

2、已知-1<a<0,化简 (a ? ) 2 ? 4 ? (a ? ) 2 ? 4 得_______ 3、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9,则 x+2y+3z=_______________ 4、已知 x1、x2、??、x40 都是正整数,且 x1+x2+??+x40=58,若 x12+x22+??+x402 的最大值为 A,最 小值为 B,则 A+B 的值等于________

1 a

1 a

5、计算

(34 ? 4)(7 4 ? 4)(114 ? 4)(154 ? 4)??(394 ? 4) ? ________________ (5 4 ? 4)(9 4 ? 4)(134 ? 4)(174 ? 4)??(414 ? 4)

3 2 6、已知多项式 ax ? bx ? 47x ? 15 可被 3x ? 1 和 2 x ? 3 整除,则 a ? b ? _____

三、解答题: 1、已知实数 a、b、c、d 互不相等,且 a ?

1 1 1 1 ? b ? ? c ? ? d ? ? x ,试求 x 的值。 b c d a

2、如果对一切 x 的整数值,x 的二次三项式 ax ? bx ? c 的值都是平方数(即整数的平方) 。
2

证明:①2a、ab、c 都是整数。 ②a、b、c 都是整数,并且 c 是平方数。 反过来,如果②成立,是否对于一切 x 的整数值,x 的二次三项式 ax ? bx ? c 的值都是平方数?
2

3、若 a ? 1995 ? 1995 ? 1996 ? 1996 ,求证:a 是一完全平方数,并写出 a 的值。
2 2 2 2

4、 设 a、b、c、d 是四个整数, 且使得 m ? (ab ? cd ) ?
2

1 2 (a ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 2 是一个非零整数,求证:| 4

m|一定是个合数。

5、若 a 的十位数可取 1、3、5、7、9。求 a 的个位数。

2

初中数学竞赛专项训练(3)
(方
一、选择题: 1、方程 x 2 ? (a ? 8) x ? 8a ? 1 ? 0 有两个整数根,试求整数 a 的值 A. -8 B. 8 C. 7 D. 9 ( D. 5
2

程)
( )

2、方程 ( x 2 ? x ? 1) x?3 ? 1的所有整数解的个数是 A. 2 B. 3 C. 4



2 3、 若 x0 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根, 则判别式 ? ? b ? 4ac 与平方式 M ? (2ax0 ? b) 2

的大小关系是 A. △>M
2

B. △=M

C. △<M

( ) D. 不能确定

4、已知 b ? 4ac 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的一个实数根,则 ab 的取值范围为 ( A. ab≥ )

1 8

B. ab≤

1 8

C. ab≥

1 4

D. ab≤

1 4
2 2

5、已知 x1 、 x2 是方程 x 2 ? (k ? 2) x ? (k 2 ? 3k ? 5) ? 0 的两个实根,则 x1 ? x2 ( A. 19 B. 18 C. 5 )

的最大值是

5 9

D. 以上答案都不对

2 x ? y ? 3z ? 1 , 若u ? 3x ? y ? 7 z ,则 u 6、已知 x、 y、 z 为三个非负实数,且满足 3x ? 2 y ? z ? 5, 
的最大值与最小值之和为 A. ? ( C. ?
2



62 77

B. ?

64 77

68 77
2

D. ?

74 77

7、若 m、n 都是正实数,方程 x ? mx ? 2n ? 0 和方程 x ? 2nx ? m ? 0 都有实数根,则 m+n 的最小值 是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8、气象爱好者孔宗明同学在 x(x 为正整数)天中观察到:①有 7 个是雨天;②有 5 个下午是晴天;③有 6 个上午是晴天;④当下午下雨时上午是晴天。则 x 等于( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题 1、已知两个方程 x ? ax ? b ? 0与x ? bx ? a ? 0 有且只有一个公共根,则这两个方程的根应是___
2 2

_________ 2、若 a ? 11a ? 16 ? 0, b ? 11 b ? 16 ? 0(a ? b) ,则
2 2

b a ? ? _______ a b

3、已知关于 x 的方程 x 2 ? (n ? 1) x ? 2n ? 1 ? 0 的两根为整数,则整数 n 是_____ 4、设 x1 、 x2 是方程 x 2 ? 2(k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0 的两个实数根,且 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 8 ,则 k 的值是__ ________ 5、已知 a、b 是方程 x ? 4 x ? m ? 0 的两个根,b、c 是方程 x ? 8x ? 5m ? 0 的两个根,则 m=___
2 2

_______ 6、设 x1 、 x2 是关于 x 的一元二次方程 x ? ax ? a ? 2 的两个实数根,则 ( x1 ? 2 x2 )(x2 ? 2 x1 ) 的最大值
2

为__________ 三、解答题 1、关于 x 的方程 kx 2 ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 有有理根,求整数 k 的值。

x ? 1 ? 0 的较大根是 r ,方程 2001 x ? 2002x ? 1 ? 0 的较小根是 s , 2、设方程 2002 x ? 2003? 2001
2 2 2

求 r - s 的值。

3、确定自然数 n 的值,使关于 x 的一元二次方程 2 x ? 8nx ? 10x ? n ? 35n ? 76 ? 0 的两根均为质数,
2 2

并求出此两根。

4、已知关于 x 的一元二次方程 (6 ? k )(9 ? k ) x 2 ? (117 ? 15k ) x ? 54 ? 0 的两个根均为整数,求所有满足 条件的实数 k 的值。

5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇,其速度依次为每小时 v1 、v2 、v3 、v4 千米,且满足 v1 > v2 > v3 > v4 >0,其中, v水 为河流的水流速度(千米/小时) ,它们在河流中进行追逐赛规则如下: (1)四条 艇在同一起跑线上,同时出发,①、②、③是逆流而上,④号艇顺流而下。 (2)经过 1 小时,①、②、 ③同时掉头,追赶④号艇,谁先追上④号艇谁为冠军,问冠军为几号艇?

初中数学竞赛专项训练(4)
(不等式)
一、选择题: 1、若不等式|x+1|+|x-3|≤a 有解,则 a 的取值范围是 A. 0<a≤4 B. a≥4 C. 0<a≤2 D. a≥2 2、 已知 a、 b、 c、 d 都是正实数, 且 ③ ( )

b c ? a?b c?d

a c a c ? , ? 给出下列四个不等式: ① b d a?b c?d b d ? ④ 其中正确的是 ( ) a?b c?d




a c ? a?b c?d

A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知 a、b、c 满足 a<b<c,ab+bc+ac=0,abc=1,则 A. |a+b|>|c| B. |a+b|<|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定



? 2x ? 5 ? 3 ? x?5 4、关于 x 的不等式组 ? 只有 5 个整数解,则 a 的取值范围是 ? x ? 3 ? ? x?a ? ? 2
A. -6<a<-





11 2

B. -6≤a<-

11 2

C. -6<a≤-

11 2

D. -6≤a≤-

11 2

5、设关于 x 的方程 ax2 ? (a ? 2) x ? 9a ? 0 有两个不等的实数根 x1 、 x2 ,且 x1 <1< x2 ,那么 a 的取值 范围是 A. ? ( B. a ? )

2 2 ?a? 7 5

2 5

C. a ? ?

2 7

D. ?

2 ?a?0 11
b ,其中 a
( )

6、下列命题:①若 a=0,b≠0,则方程 ax ? b 无解 ②若 a=0,b≠0,则不等式 ax ? b 无解 ③若 a≠0, 则方程 ax ? b 有惟一解 ④若 a≠0,则不等式 ax ? b 的解为 x ? A. ①②③④都正确 C. ①③不正确,②④正确 7、 已知不等式①|x-2|≤1 ② ( x ? 2) 2 ? 1 式为 A. ① B. ①③正确,②④不正确 D. ①②③④都不正确 ③ ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 ④ x ? 1 ? 0 其中解集是 1 ? x ? 3 的不等
x?3

B. ①②

C. ①②③

( ) D. ①②③④ ( )

8、设 a、b 是正整数,且满足 56≤a+b≤59,0.9< A. 171 二、填空题: 1、若方程 B. 177 C. 180

a <0.91,则 b2-a2 等于 b
D. 182

2x ? a ? ?1 的解是正数,则 a 的取值范围是_________ x?2

2、乒乓球队开会,每名队员坐一个凳子,凳子有两种:方凳(四脚)或圆凳(三脚) ,一个小孩走进会场, 他数得人脚和凳脚共有 33 条(不包括小孩本身) ,那么开会的队员共有____名。

3、已知不等式① | x ? 2 |? 3

② ( x ? 2) 2 ? 9 ? 0



x ?1 ?0 x?5



6 ? ?1 ,其中解集是 ? 5 ? x ? 1 x ?1

的不等式有_____个。 4、若关于 x 的一元二次方程 2x 2 ? (a ? 5) x ? 2 ? 0 无实数根,则 a 的取值范围是___ 5、在本埠投寄平信,每封信质量不超过 20g 时付邮费 0.80 元,超过 20g 而不超过 40g 时付邮费 1.6 元, 依次类推, 每增加 20g 需增加邮费 0.80 元 (信的质量在 100g 以内) , 如果某人寄一封信的质量为 72.5g, 那么他应付邮费_______ 6、若 x1 、 x2 都满足条件 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | =4 且 x1 < x2 则 x1 - x2 的取值范围是___ 三、解答题 1、有一水池,池底有泉水不断涌出,要将满池的水抽干,用 12 台水泵需 5 小时,用 10 台水泵需 7 小时, 若要在 2 小时内抽干,至少需水泵几台?

2、已知一元二次方程 (k 2 ? 1) x 2 ? (4 ? k ) x ? 1 ? 0 的一个根大于 1,另一个根小于 1,求整数 k 的值。

3、若关于 x 的不等式|ax+a+2|<2 有且只有一个整数解,求 a 的整数值。

4、某宾馆一层客房比二层客房少 5 间,某旅游团 48 人,若全安排在第一层,每间 4 人,房间不够,每间 5 人,则有房间住不满;若全安排在第二层,每 3 人,房间不够,每间住 4 人,则有房间住不满,该宾 馆一层有客房多少间?

5、某生产小组开展劳动竞赛后,每人一天多做 10 个零件,这样 8 个人一天做的零件超过 200 个,后来改 进技术,每人一天又多做 27 个零件,这样他们 4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零件, 问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍?

初中数学竞赛专项训练(5)
(方程应用)
一、选择题: 1、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行 1 小时后他们分别到达各自的终点 A 与 B,若仍从原地出发, 互换彼此的目的地,则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B,甲乙的速度之比为 ( ) A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶4 2、某种产品按质量分为 10 个档次,生产最低档次产品,每件获利润 8 元,每提高一个档次,每件产品利 润增加 2 元,用同样工时,最低档次产品每天可生产 60 件,提高一个档次将减少 3 件,如果获利润最 大的产品是第 R 档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加) ,那么 R 等于 ( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 3、某商店出售某种商品每件可获利 m 元,利润为 20%(利润= 售价 ? 进价 ) ,若这种商品的进价提高 25%,
进价

而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元,则提价后的利润率为 ( ) A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5% 4、某项工程,甲单独需 a 天完成,在甲做了 c(c<a)天后,剩下工作由乙单独完成还需 b 天,若开始就 由甲乙两人共同合作,则完成任务需( )天 A.
c a?b

B.

ab a ?b?c

C. a ? b ? c
2

D.

bc a?b?c

5、A、B、C 三个足球队举行循环比赛,下表给出部分比赛结果: 球队 A B C 比赛场次 2 2 2 胜 2场 1场 2 3 负 平 进球数 失球数 1 4 7

则:A、B 两队比赛时,A 队与 B 队进球数之比为 ( ) A. 2∶0 B. 3∶1 C. 2∶1 D. 0∶2 6、甲乙两辆汽车进行千米比赛,当甲车到达终点时,乙车距终点还有 a 千米(0<a<50)现将甲车起跑处 从原点后移 a 千米,重新开始比赛,那么比赛的结果是 ( ) A. 甲先到达终点 B. 乙先到达终点 C. 甲乙同时到达终点 D. 确定谁先到与 a 值无关 7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需 a 小时,逆流航行这段路程需 b 小时,那么一木块顺水漂 流这段路需( )小时 2 ab 2 ab ab A. B. C. ab D. a?b b?a b?a a?b 8、A 的年龄比 B 与 C 的年龄和大 16,A 的年龄的平方比 B 与 C 的年龄和的平方大 1632,那么 A、B、C 的年龄之和是 ( ) A. 210 B. 201 C. 102 D. 120 二、填空题 1、甲乙两厂生产同一种产品,都计划把全年的产品销往济南,这样两厂的产品就能占有济南市场同类产

3 1 1 ,然而实际情况并不理想,甲厂仅有 的产品,乙厂仅有 的产品销到了济南,两厂的产品仅 4 2 3 1 占了济南市场同类产品的 ,则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为_______ 3
品的

2、假期学校组织 360 名师生外出旅游,某客车出租公司有两种大客车可供选择,甲种客车每辆有 40 个座 位,租金 400 元;乙种客车每辆有 50 个座位,租金 480 元,则租用该公司客车最少需用租金____ _元。 3、时钟在四点与五点之间,在_______时刻(时针与分针)在同一条直线上? 4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生,钱先生在三年后再以超出房子原来标价 60% 的价格把房子转让给金先生,考虑到三年来物价的总涨幅为 40%,则钱先生实际上按_____%的 利率获得了利润(精确到一位小数) 5、甲乙两名运动员在长 100 米的游泳池两边同时开始相向游泳,甲游 100 米要 72 秒,乙游 100 米要 60 秒,略去转身时间不计,在 12 分钟内二人相遇____次。 6、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数,甲的年龄是乙的两倍,乙比丙小 7 岁,三人的年龄之和是小 于 70 的质数,且质数的各位数字之和为 13,则甲、乙、丙三人的年龄分别是_________

三、解答题 1、某项工程,如果由甲乙两队承包, 2

2 3 天完成,需付 180000 元;由乙、丙两队承包, 3 天完成,需 5 4 6 付 150000 元;由甲、丙两队承包, 2 天完成,需付 160000 元,现在工程由一个队单独承包,在保证 7
一周完成的前提下,哪个队承包费用最少?

2、甲、乙两汽车零售商(以下分别简称甲、乙)向某品牌汽车生产厂订购一批汽车,甲开始定购的汽车 数量是乙所订购数量的 3 倍,后来由于某种原因,甲从其所订的汽车中转让给乙 6 辆,在提车时,生

产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了 6 辆,最后甲所购汽车的数量是乙所购的 2 倍,试问甲、 乙最后所购得的汽车总数最多是多少量?最少是多少辆?

3、8 个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘 4 人(不包括司机) ,其中一辆小汽车在距 离火车站 15km 的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有 42 分钟。这时惟一可利用的交通工具是 另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘 5 人,且这辆车的平均速度是 60km/h,人步行的平均速 度是 5km/h。试设计两种方案,通过计算说明这 8 个人能够在停止检票前赶到火车站。

4、某乡镇小学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午 7 时到达学校,接参观的师生立即出发到县城,由 于汽车在赴校途中发生了故障,不得不停车修理,学校师生等到 7 时 10 分仍未见汽车来接,就步行走 向县城,在行进途中遇到了已修理好的汽车,立即上车赶赴县城,结果比原来到达县城的时间晚了半 小时,如果汽车的速度是步行速度的 6 倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间?

初中数学竞赛专项训练(6)
(函 数)
一、选择题: 1、如果一条直线 L 经过不同的三点 A(a,b) ,B(b,a) ,C(a-b,b-a) ,那么直线 L 经过 ( ) A. 二、四象限 B. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限 2、当 | x |? 4 时,函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? | x ? 3 | 的最大值与最小值之差是( A. 4
2 2



B. 6

C. 16

D. 20 ( )

3、对 ab ? 0,a ? b ,二次函数 y ? ( x ? a)(x ? b) 的最小值为 A. (

a?b 2 ) 2

B. ? (

a?b 2 ) 2

C. (

a?b 2 ) 2

D. ? (

a?b 2 ) 2

4、若直线 y ? ax ? b(ab ? 0) 不经过第三象限,那么抛物线 y ? ax2 ? bx 的顶点在 ( ) B. 第二象限

A. 第一象限

C. 第三象限

D. 第四象限 ( )

5、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象一部分如图 6-1,则 a 的取值范围是 y A. ? 1 ? a ? 0 B. a>-1 1 1 C. -1<a<0 D. a≤-1 0 x 1 2 2 6、若函数 y ? ( x ? 100 x ? 196 ? | x ? 100 x ? 196 |) , 图 6-1

2

则当自变量 x 取 1,2,3,??,100 这 100 个自然数时,函数值的和是 A. 540 B. 390 C. 194 D. 197





2 7、 已知函数 f ( x) ?| 8 ? 2x ? x | 和 y ? kx ? k (k 为常数) , 则不论 k 为何常数, 这两个函数图象只有 (



个交点 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2 8、二次函数 y ? ? x 2 ? 6 x ? 7 ,当 x 取值为 t ? x ? t ? 2 时, y最大值 ? ?(t ? 3) ? 2 ,则 t 的取值范围是

( A. t=0
2



B. 0≤t≤3
2 2

C. t≥3
2

D. 以上都不对

9、两抛物线 y ? x ? 2ax ? b 和 y ? x ? 2cx ? b 与 x 轴交于同一点(非原点) ,且 a、b、c 为正数,a ≠c,则以 a、b、c 为边的三角形一定是 A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 ( D. 等腰或直角三角形
2 2



10、当 n=1,2,3,??,2003,2004 时,二次函数 y ? (n ? n) x ? (2n ? 1) x ? 1 的图象与 x 轴所截得 的线段长度之和为 A. ( B. )

2002 2003

2003 2004

C.

2004 2005

D.

2005 2006

y ? 1 图 6-2

二、填空
0 x

1、已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图象如图 6-2 所示,则下列式子: ab,ac,a+b+c,a-b+c,2a+b,2a-b 中,其值为正的式子共有__个。 2、已知函数 y ?

1 2 13 x ? 在 0 ? a ? x ? b 时,有 2a ? y ? 2b ,则(a,b)=___ 2 2

3、若第一象限内的整点(a,b)位于抛物线 y ? 19x 2 ? 98x 上, 则 m+n 的最小值为_____ 4、如果当 m 取不等于 0 和 1 的任意实数时,抛物线 y ?

m ?1 2 2 m?3 x ? x? 在平面直角坐标系上都过 m m m

两个定点,那么这两个定点间的距离为_______ 5、已知抛物线 y ? x 2 ? (k ? 1) x ? 1 与 x 轴两个交点 A、B 不全在原点的左侧,抛物线顶点为 C,要使△ ABC 恰为等边三角形,那么 k 的值为_______ 6、已知 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? (2m ? 1)( m ?
2

1 m ?1 ) 在 x 轴上的两截距都大于 2,则函数值 f ( ) 的符 2 4m ? 2

号为_______ 7、设 x 为实数,则函数 y ?

3 x 2 ? 6 x ? 5 的最小值是______ 1 2 x ? x ?1 2
1

8、 已知函数 f ( x) ?

, 则 f (1) ? f (3) ? ... f (2k ? 1) ? ... ? f (999 )

3

x ? 2x ? 1 ?
2

3

x 2 ? 1 ? 3 x 2 ? 2x ? 1

的值为________
2 9、函数 y ? (cos? ) x ? 4(sin? ) x ? 6 对任意实数 x 都有 y ? 0 ,且θ 是三角形的内角,则θ 的取值范围

是_________

三、解答题 1、已知 x,y,z 为三个非负有理数,且满足 3x ? 2 y ? z ? 5,x ? y ? z ? 2 ,若 s ? 2 x ? y ? z ,求 s 的 最大值与最小值的和。

2 2、设 a、b、c 是三角形的三边长,二次函数 y ? (a ? b) x ? 2cx ? (a ? b) 在 x ? ?

1 a 时,取得最小值 ? , 2 2

求这个三角形三个内角的度数。

3、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图 6-3 所示: ①判断 a、b、c 及 b ? 4ac 的符号
2

y A B

②若 | OA |?| OB | ,求证 ac ? b ? 1 ? 0

O

C

x

图 6-3

4、设二次函数 y ? x 2 ? px ? q 的图象经过点(2,-1) , 且与 x 轴交于不同的两点 (x2,0) ,M 为二次函数图象的顶点,求使△AMB 面积最小时的二次函数的解析式。

A(x1,0) B

5、已知二次函数 y ? 4 x 2 ? (3k ? 8) x ? 6(k ? 1) 2 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 左边) ,且点 A、B 到原点距离之比为 3∶2。 ①求 k 值。 ②若点 P 在 y 轴上,∠PAB=α ,∠PBA=β 。求证:α <β

初中数学竞赛专项训练(7)
(逻辑推理)
一、选择题: 1、世界杯足球赛小组赛,每个小组 4 个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得 3 分,败队得 0 分,平局时 两队各得 1 分,小组赛完以后,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛,如果总积分相同,还要按净 胜球排序,一个队要保证出线,这个队至少要积 ( ) A. 6 分 B. 7 分 C. 8 分 D. 9 分 2、甲、乙、丙三人比赛象棋,每局比赛后,若是和棋,则这两个人继续比赛,直到分出胜负,负者退下, 由另一个与胜者比赛,比赛若干局后,甲胜 4 局,负 2 局;乙胜 3 局,负 3 局,如果丙负 3 局,那么 丙胜 ( ) A. 0 局 B. 1 局 C. 2 局 D. 3 局 3、 已知四边形 ABCD 从下列条件中①AB∥CD ②BC∥AD ③AB=CD ④BC=AD ⑤∠A=∠C ⑥ ∠B=∠D,任取其中两个,可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有 ( ) A. 4 种 B. 9 种 C. 13 种 D. 15 种 4、某校初三两个毕业班的学生和教师共 100 人,一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多 后少的梯形阵(排数≥3) ,且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前 一排两人间的空档处,那么满足上述要求的排法的方案有 ( ) A. 1 种 B. 2 种 C. 4 种 D. 0 种 5、正整数 n 小于 100,并且满足等式 ? n ? ? ? n ? ? ? n ? ? n ,其中 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,这样的正 ? ? ? ? ? ?
?2? ?3? ?6?

整数 n 有( )个 A. 2 B. 3 C. 12 D. 16 6、周末晚会上,师生共有 20 人参加跳舞,其中方老师和 7 个学生跳舞,张老师和 8 个学生跳舞??依次 下去,一直到何老师,他和参加跳舞的所有学生跳过舞,这个晚会上参加跳舞的学生人数是 ( ) A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 7、 如图某三角形展览馆由 25 个正三角形展室组成, 每两个相邻展室 (指 有公共边的小 三角形)都有门相通,若某参观者不愿返回已参观过的展室(通过每 个房间至少一 次) ,那么他至多能参观( )个展室。 A. 23 B. 22 C. 21 D. 20 8、一副扑克牌有 4 种花色,每种花色有 13 张,从中任意抽牌,最小要抽( )张才能保证有 4 张牌是 同一花色的。 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

二、填空题:
1、观察下列图形:









根据①②③的规律,图④中三角形个数______ 2、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅 花四种花色排列,每种花花色的牌又按 A,1,2,3,??J,Q,K 的顺序排列,某人把按上述排列的 两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉, 把第四张放在最底层,??如此下去,直到最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是______ 3、用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数字一共可组成_____个能被 5 整除的三位数 4、将 7 个小球分别放入 3 个盒子里,允许有的盒子空着不放,试问有____种不同放法。 5、有 1997 个负号“-”排成一行,甲乙轮流改“-”为正号“+” ,每次只准画一个或相邻的两个“-” 为“+” ,先画完“-”使对方无法再画为胜,现规定甲先画,则其必胜的策略是_________ _________ 6、有 100 个人,其中至少有 1 人说假话,又知这 100 人里任意 2 人总有个说真话,则说真话的有___ __人。

三、解答题 1、今有长度分别为 1、2、3、??、9 的线段各一条,可用多少种不同的方法从中选用若干条组成正方形?

2、某校派出学生 204 人上山植树 15301 株,其中最少一人植树 50 株,最多一人植树 100 株,证明至少有 5 人植树的株数相同。

3、袋中装有 2002 个弹子,张伟和王华轮流每次可取 1,2 或 3 个,规定谁能最后取完弹子谁就获胜,现 由王华先取,问哪个获胜?他该怎样玩这场游戏?

4、有 17 个科学家,他们中的每一个都和其他的科学家通信,在他们的通信中仅仅讨论三个问题,每一对 科学家互相通信时,仅仅讨论同一个问题。证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信。

初中数学竞赛专项训练(8)
(命题及三角形边角不等关系)
一、选择题: 1、如图 8-1,已知 AB=10,P 是线段 AB 上任意一点,在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三 角形 APC 和 BPD,则线段 CD 的长度的最小值是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 5( 5 ? 1) 则 BC+CD )

2、如图 8-2,四边形 ABCD 中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7, 等于 ( A. 6 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 3

3、如图 8-3,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若 EF∥BC,且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等,则 EF 的长为 ( ) 45 A. B. 33 C. 39 D. 15 7 5 5 2 A D D C D C E F 60° B C A A B B P 图 8-3 图 8-2 图 8-1 4、已知△ABC 的三个内角为 A、B、C 且α =A+B,β =C+A,γ =C+B,则α 、β 、γ 中,锐角的个数 最多为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图 8-4,矩形 ABCD 的长 AD=9cm,宽 AB=3cm,将其折叠,使点 D 与点 B 重合,那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为 ( ) E D A A D A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm C B F C B C C. 4cm 2 3cm D. 5cm 2 3cm 图 8-4 ’ 6、一个三角形的三边长分别为 a,a,b,另一个三角形的三边长分别为 a,b,b,其中 a>b,若两个三角 a 形的最小内角相等,则 的值等于 ( ) b
3?2 2 7、在凸 10 边形的所有内角中,锐角的个数最多是

A.

3 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

D.

5?2 2
( )

A. 0

B. 1

C. 3

D. 5

8、若函数 y ? kx(k ? 0) 与函数 y ?

1 的图象相交于 A,C 两点,AB 垂直 x 轴于 B,则△ABC 的面积为 x
C. k ( ) 2 D. k

A. 1 二、填空题

B. 2

1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d,另一组对边的长分别为 a,b,则 d 与 ______

a?b 的大小关系是_ 2

C A ? E A′ B

B′ D

图 8-5

2、如图 8-5,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC 的平分线,若 AA′=BB′=AB,则∠BAC 的度数为 ___ 3、已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组,比如(3、5、7) 、 (5、9、 11)??问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长_____ 4、如图 8-6,P 是矩形 ABCD 内一点,若 PA=3,PB=4,PC=5,则 PD=_______ A B 5、如图 8-7,甲楼楼高 16 米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中 P 图 8-6 D C 午 12 时

太阳光线与水平面的夹角为 30°,此时求①如果两楼相距 20 米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? ______②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是______米。

A
16 米 甲

C
20 米

乙 D

B

图 8-7

6、如图 8-8,在△ABC 中,∠ABC=60°,点 P 是△ABC 内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且 PA=8,PC=6,则 PB=__ A

B

P 图 8-8 C

三、解答题
1、如图 8-9,AD 是△ABC 中 BC 边上的中线,求证:AD<

1 (AB+AC) 2

A

B

D 图 8-9

C

2、已知一个三角形的周长为 P,问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化?

3、如图 8-10,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是角平分线,DE∥BC 交 AC 于点 E,DF∥AC 交 BC 于点 F。 求证:①四边形 CEDF 是正方形。 ②CD2=2AE?BF C E A F B

D 图 8-10

4、从 1、2、3、4??、2004 中任选 k 个数,使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数 (这里要求三角形三边长互不相等) ,试问满足条件的 k 的最小值是多少?

初中数学竞赛专项训练(9)
(面积及等积变换)
一、选择题: 1、如图 9-1,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC 与 BD 交于 O,点 P 在 AB 的延长线上,且 BP=CD,则 图形中面积相等的三角形有 ( ) A. 3 对 B. 4 对 C D C. 5 对 D. 6 对 O A P B 图 9-1 2、如图 9-2,点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,连 AF、CE,设 AF、CE 交于点 G,则

S四边形 AGCD S矩形ABCD
B.

等于



) D C G A F B E 图 9-2

A.

5 6

4 5

C.

3 4

D.

2 3

3、设△ABC 的面积为 1,D 是边 AB 上一点,且 面积为 A.

AD 1 = ,若在边 AC 上取一点 E,使四边形 DECB 的 AB 3
( )

1 2

3 CE ,则 的值为 4 EA 1 B. 3

C.

1 4

D.

1 5

E F A

C D B 在△ ABC 外作正 和 K,则正方形 ( )

4、如图 9-3,在△ABC 中,∠ACB=90°,分别以 AC、AB 为边, 方形 ACEF 和正方形 AGHB, 作 CK⊥AB, 分别交 AB 和 GH 于 D ACEF 的 面 积 S1 与 矩 形 AGKD 的 面 积 S2 的 大 小 关 系 是 A. S1=S2 C. S1<S2 B. S1>S2 D. 不能确定,与

G K H 图 9-3 D C A 图 9-4 B

AC 的大小有关 AB

5、如图 9-4,四边形 ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°, 则 BC+CD 等于 ( ) A. 6 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 3

AD=8,AB=7,

6、如图 9-5,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形, Ⅰ a 方形的面积为 ( ) A.

Ⅱ a

设 a=1,则正 b Ⅲa Ⅰ Ⅳ Ⅱ



b

Ⅳb

7?3 5 2

B.

3? 5 2

C.

5 ?1 D. (1 ? 2 ) 2 2

b

a

图 9-5

7、如图 9-6,矩形 ABCD 中,AB=a,BC=b,M 是 BC 的中点,DE⊥AM,E 为垂足,则 DE=( A.



2ab 4a 2 ? b 2

B.

ab 4a 2 ? b 2

A E M 图 9-6

D

B

C

C.

2ab a 2 ? 4b 2

D.

ab a 2 ? 4b 2
A 小三角形,它

8、O 为△ABC 内一点,AO、BO、CO 及其延长线把△ABC 分成六个 F 84 x E 们的面积如图 9-7 所示,则 S△ABC=( ) O y 35 A. 292 B. 315 40 30 B y D y C C. 322 D. 357 y y 图 9-7 二、填空题 1、如图 9-8,梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a,高为 h,则图中阴影 __ 2、如图 9-9,若等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的 15cm,则这个等腰三角形的面积等于____
B G D 图 9-9 A M C A D 图 9-10 C E P D B B A E D B F C 图 9-8 C E

部分的面积为_

中线等于

3、如图 9-10,在△ABC 中,CE∶EB=1∶2,DE∥AC,若 为 S,则△ADE 的面积为_____

△ABC 的面积

4、如图 9-11,已知 D、E 分别是△ABC 的边 BC、CA 上的点,且 BD =5,EC=2。连结 AD 和 BE,它们相交于点 P,过点 P 分别作 PQ A 它们分别与边 AB 交于点 Q、R,则△PQR 的面积与△ABC 的面 ___ 5、如图 9-12,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD∶BC=2∶5,AF∶FD B EC=2∶3,EF、CD 延长线交于 G,用最简单的整数比来表示,S
△DEC

=4,DC=1,AE ∥CA,PR∥CB, 积之比为__
D C

Q R 图 9-11 G

A

F

E 图 9-12

= 1 ∶ 1 , BE ∶
△GFD

∶S△FED∶S

=_____

A P

D

6、如图 9-13,P 是矩形 ABCD 内一点,若 PA=3,PB=4,PC ___ 三、解答题 1、如图 9-14,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 上的点, A S△ABE=S△ADF= 求:
B 图 9-13 C

=5,则 PD=_

D

F 是 CD 上的点,

1 S 矩形 ABCD。 3

S ?AEF 的值。 S ?CEF

F B 图 9-14 E C

2、一条直线截△ABC 的边 BC、CA、AB(或它们的延长线)于点 D、E、F。 求证:

BD CE AF ? ? ?1 DC EA FB

A F E

B 图 9-15

C

D

3、如图 9-16,在 ABCD 中,P1、P2、P3??Pn-1 是 BD 的 n 等分点,连结 AP2,并延长交 BC 于点 E,连 结 APn-2 并延长交 CD 于点 F。 ①求证:EF∥BD A D 3 ? ②设 ABCD 的面积是 S,若 S△AEF= S,求 n 的值。 Pn-1 8 Pn-2 F P2 ? P1 B C E 图 9-16

4、如图 9-17,△ABC 是等腰三角形,∠C=90°,O 是△ABC 内一点,点 O 到△ABC 各边的距离等于 1, 将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 45°得到△A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形 KLMNPQ。 ①证明:△AKL,△BMN,△CPQ 都是等腰直角三角形。 C ②求证:△ABC 与△A1B1C1 公共部分的面积。 C1 P Q A1 K A L 图 9-17 ? O N

M B1

B

初中数学竞赛专项训练(10)
(三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖)
一、填空题: 1、G 是△ABC 的重心,连结 AG 并延长交边 BC 于 D,若△ABC 的面积为 6cm2, 则△BGD 的面积为 ( ) E 2 A. 2cm B. 3 cm2 A 3 C. 1 cm2 D. cm2

2

2、如图 10-1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,∠C 的平分 C 线与∠B 的外 B 图 10-1 角的平分线交于 E 点,则∠AEB 是( ) A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 3、在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=20°,如图 10-2,将△ ABC 绕点 C 按逆 B B ’ A ’ 时针方向旋转角α 到∠A’C’B’的位置, 其中 A’、 B’分别是 A、 B 的对应点, B D 在 A’B’上,CA’交 AB 于 D,则∠BDC 的度数为( ) α C A A. 40° B. 45° 图 10-2 C. 50° D. 60° 4、设 G 是△ABC 的垂心,且 AG=6,BG=8,CG=10,则三角形的面积为( ) A. 58 B. 66 C. 72 D. 84 5、如图 10-3,有一块矩形纸片 ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使 AD 边落在 AB 边上,折痕为 AE,再将△AED 沿 DE 向右翻折,AE 与 BC 的交点为 F,△CEF 的面积为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 A D B A C D B C D B F E 图 10-3 E C ) A

6、在△ABC 中,∠A=45°,BC=a,高 BE、CF 交于点 H,则 AH=( A.

1 2 B. C. a D. 2a a a 2 2 7、已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心,A1、B1、C1 分别是点 I 关于 BC、CA、AB 的对称点,若点 B 在 △A1B1C1 的外接圆上,则∠ABC 等于( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8、已知 AD、BE、CF 是锐角△ABC 三条高线,垂心为 H,则其图中直角三角形的个数是( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题 A
1、如图 10-4,I 是△ABC 的内心,∠A=40°,则∠CIB=__ 2、 在凸四边形 ABCD 中, 已知 AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1, B 90°,则∠DAB 的度数是_____ 3、 如图 10-5, 在矩形 ABCD 中, AB=5, BC=12, 将矩形 ABCD A B D C D’ 沿对角线对折, I D 图 10-4 C 且 ∠ ABC =

E 图 10-5

然后放在桌面上,折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是_______ 4、在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针,OB 表示分针(O 为两针的旋转中心)若现在时间恰好是 12 点整,则经过____秒钟后,△OAB 的面积第一次达到最大。 5、已知等腰三角形顶角为 36°,则底与腰的比值等于______ 6、已知 AM 是△ABC 中 BC 边上的中线,P 是△ABC 的重心,过 P 作 EF(EF∥BC) ,分别交 AB、AC 于 E、F,则

BE CF ? =________ AE AF

三、解答题 1、如图 10-6,在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E,过 D 作 AE 的垂线与 OA 交于 F。求证:OE =OF

2、在△ABC 中,D 为 AB 的中点,分别延长 CA、CB 到点 E、F,使 DE=DF,过 E、F 分别作 CA、CB 的垂线相交于 P,设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。 C 求证:①△DEM≌△DFN ②∠PAE=∠PBF D A B E M P 图 10-7 F N

3、如图 10-8,在△ABC 中,AB=AC,底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M、N,边 CN 并延长交 AB 于 E。 求证:EM∥BN A

M E B N D 图 10-8 C

4、如图 10-9,半径不等的两圆相交于 A、B 两点,线段 CD 经过点 A,且分别交两于 C、D 两点,连结 BC、CD,设 P、Q、K 分别是 BC、BD、CD 中点 M、N 分别是弧 BC 和弧 BD 的中点。 A K C D BP NQ 求证:① ?

PM

QB

P

Q

②△KPM∽△NQK

M

B 图 10-9

N

数学竞赛专项训练(1)实数参考答案
一、选择题 1、 解: 设与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平方数是 x, 则 x? 应选 D 所以 x ? ( a ? 1) 2 ? a ? 2 a ? 1 a ? 1,

2、解:原式 ? [3 * ( 2 *2 )] ? 2 * 2 ? 1        ? [3 * ( 2 * 2)] ? 2 * 2 ? 1        ? 3*3 ? 3 ?1        ? (3 ? 1)(3 ? 1) ? 3 ? 1        ? 8 ? 3 ?1        ?6
3、2004=n- y0 ,n 是奇数, y0 必是奇数,又 11 x0 =m-28 y0 ,m 和 28 y0 均为偶数,所以 11 x0 是偶数, 应选 D

x0 应为偶数。故选 C
4、解:-ab?ac?bd?cd=-a2b2c2d2<0,所以这四个数中应一正三负或一负三正。应选 D 5、解:由 x y ? y x ? 2003 x ? 2003y ? 2003 xy ? 2003? 0 可得

( xy ? 2003)( x ? y ? 2003) ? 0  而 x ? y ? 2003 ? 0
所以 xy ? 2003 ? 0  故xy ? 2003  又因为 2003 是质数,因此必有

?x ? 1 ? x ? 2003 ? ?     ? y ? 2003 ?y ? 1

应选 B

2 6、 解: 因 5 p ? 3q 为奇数, 故 p、 q 必一奇一偶, 而 p、 q 均为质数, 故 p、 q 中有一个为 2, 若 q ? 2  p ?
2

53 5

不合题意舍去。若 p=2,则 q=3,此时 p+3=5,1-p+q=12,2p+q-4=13,因为 52+122=132,所以 5、 12、13 为边长的三角形为直角三角形。故选 B

b c a b c 7、 解: 依题意设六位数为 abcabc, 则a

=a?105+b?104+c?103+a?102+b?10+c=a?102 (103

+1)+b?10(103+1)+c(103+1)=(a?103+b?10+c) (103+1)=1001(a?103+b?10+c) , 3 而 a?10 +b?10+c 是整数,所以能被 1001 整除。故选 C 8、解:能被 2、3、4 整除即能被[2,3,4]=12 整除,共有 12、24、36、48??96 共 8 个。应选 C 二、填空题 1、解:因 1981、1982??2001 均大于 1980,所以 S ?

1 22 ? 1 1980

?

1980 ? 90 ,又 1980、1981??2000 22

均小于 2001,所以 S ?

1 22 ? 1 2001

?

2001 21 ? 90 ,从而知 S 的整数部分为 90。 22 22

2 、 解 : 设 两 位 数 M = 10a+b , 则 N = 10b+a , 由 a 、 b 正 整 数 , 且 1 ≤ a , b ≤ 9 ,

M ? N ? (10a ? b) ? (10b ? a) ? 9(a ? b) ? c 3 ,又 c 是某正整数,显然 c3<100,c≤4,而且 c3 是 9
的倍数,所以 c=3,即 a-b=3,满足条件的两位数有 41、52、63、74、85、96 共 6 个 3、解设(a,b)=d,且 a=md,b=nd,其中 m>n,且 m 与 n 互质,于是 a、b 的最小公倍数为 mnd,

?m d ? nd ? 120 ? 3 ?m ? 105 ? ?(m ? n)d ? 2 ? 3 ? 5 ① 依 题 题 有 ? m nd 即? ,则 m>n 据②可得 ? 或 n ? 1 ? 105 ? ? ? ?m n ? 3 ? 5 ? 7    ② ? d

?m ? 135 ?m ? 21 ?m ? 15 或? 或? ? ?n ? 3 ?n ? 5 ?n ? 7
根据①只取 ?

?m ? 15 可求得 d=15,故两个数中较大的数是 md=225。 ?n ? 7

4、解:最小三个合数是 4,6,8,4+6+8=18,故 17 是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数,当 m >18 时,若 m=2k>18,则 m=4+6+2(k-5) ,若 m=2k-1>18,则 m=4+9+2(k-7)即任意大于 18 的整数均可表示为三个互不相等的合数之和,故 m=17 5、 解: n2-m2=3995=5?17?47, (n-m) (n+m) =5?17?47, 显然对 3995 的任意整数分拆均可得到 (m, n) ,由题设(0<m<n<1998) ,故满足条件的整数对(m,n)共 3 个。 6、解:由

1 1 1 y?z ? ? ? 及 x=yz 得 y-z=1,即 y 与 z 是两个相邻的自然数,又 y 与 z 均为素数,只 x z y yz

有 y=3,z=2,故 x=yz=6。 三、解答题 1、解:设前后两个二位数分别为 x、y,10≤x,y≤99。 根据题意有 ( x ? y) ? 100x ? y
2

即 x ? 2( y ? 50) x ? ( y ? y) ? 0
2 2

当 ? ? 4( y ? 50) ? 4( y ? y) ? 4(2500? 99y) ? 0
2 2

即2500? 99 y ? 0  y ? 25时方程有实数解   x ? 50 ? y ? 2500? 99 y
由于 2500-99y 必为完全平方数,而完全平方数的末位数仅可能为 0、1、4、5、6、9,故 y 仅可 取 25,此时,x=30 或 20,故所求四位数为 2025 或 3025。 2、解:首先 1、14、15、16??205 这 193 个数满足题设条件,事实上,设 a、b、c(a<b<c)这 3 个数 取自 1、14、15、16??205, 若 a=1,则 ab=a<c; 若 a>1,则 ab≥14?15=210>c 另一方面考虑如下 12 个数组 (2,25,2?25) (3,24,3?24)??(13,14,13?14)上述这 36 个数互不相等,且其中最小的 数为 2,最大的数为 13?14=182<205,所以每一个数组中的 3 个数不能全部都取出来,于是,如果 取出来的数满足题设条件,那么,取出来的数的个数不超过 205-12=193(个) 综上所述,从 1、14、15、16??205 中最多能取出 193 个数,满足题设条件。

3、解:原方程解得:

6 ? 36 ? 4(4n 2 ? 32n) 6 ? 4 ? 4n 2 ? 4 ? 32n ? 4 ? 9 x? ? 2 2   ? 6 ? 2 4n 2 ? 32n ? 9 ? 3 ? 4n 2 ? 32n ? 9 2

因为方程的根是整数,所以 4n2+32n+9 是完全平方数。 设 4n2+32n+9=m2 (m>0) (2n+8)2-55=m2 (2n+8+m) (2n+8-m)=55 因 55=1?55=(-1)?(-55)=(-5)?(-11)=5?11

?2n ? 8 ? m ? 55 ?2n ? 8 ? m ? 11 ?2n ? 8 ? m ? ?1 ?2n ? 8 ? m ? ?5 解得:n=10、 ?? ? ? ? ?2n ? 8 ? m ? 1    ?2n ? 8 ? m ? 5    ?2n ? 8 ? m ? ?55   ?2n ? 8 ? m ? ?11
0、-8、-18 4、解:首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的,所以只有那些 被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为 1、22、32、42、52、 62、72、82、92、102 共 10 盏灯是亮的。 5、证明:设勾长为 x ,弦长为 z ,则股长为 z ? 1 ∵ ( z,z ? 1) ? 1

,z 是一个基本勾股数组。 ∴ x,z ? 1 由 z 为 奇 数 知 : z ? 1 为 偶 数 , 从 而 x 为 奇 数 , 设 x ? 2a ? 1 ( a 为 正 整 数 ) ,则有

(2a ? 1) 2 ? ( z ? 1) 2 ? z 2 ,解得
z ? 2a 2 ? 2a ? 1,故勾股数组具有形式 2a ? 1   2a 2 ? 2a    2a 2 ? 2a ? 1

数学竞赛专项训练(2)参考答案
一、选择题 1、解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件 m(1+a%)元,因调整后的零售价为原零售价的 b%,所以 调价后每件衬衣的零售价为 m(1+a%)b%元。 应选 C 2、解:由已知,a,b,c 为两正一负或两负一正。 ①当 a,b,c 为两正一负时:

a b c abc a b c abc ? ? ? 1, ? ?1所以 ? ? ? ? 0; |a| |b| |c| | abc | | a | | b | | c | | abc |
②当 a,b,c 为两负一正时:

a b c abc a b c abc ? ? ? ?1, ? 1所以 ? ? ? ?0 |a| |b| |c| | abc | | a | | b | | c | | abc |
由①②知 应选 A 3、解:过 A 点作 AD⊥CD 于 D,在 Rt△BDA 中,则于∠B=60°,所以 DB= △ ADC 中, DC2 = AC2 - AD2 ,所以有( a -

a b c abc ? ? ? 所有可能的值为 0。 | a | | b | | c | | abc |

C 3 ,AD= C 。在 Rt 2 2

C 2 2 3 2 ) = b - C ,整理得 a2 + c2=b2 + ac ,从而有 2 4

c a c 2 ? cb ? a 2 ? ab a 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ? ? ?1 a?b c?b (a ? b)(c ? b) ac ? ab ? bc ? b 2
应选 C 4、解:因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于 a<b<0,得 a ? b ? ? 6ab,a ? b ? ? 2ab ,故 应选 A

a?b ? 3。 a?b

1 5、解: ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? [(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ], 2    又a ? b ? ?1,b ? c ? ?1,c ? a ? 2 1     ? 原式 ? [(?1) 2 ? (?1) 2 ? 2 2 ] ? 3 2
应选 D

6、解:因x ? y ? z ? (a - 1)2 ? (b ? 1) 2 ? (c ? 1) 2 ? ? ? 3 ? 0     则x、y、z中至少有一个大于 0
应选 A

7、解:原式 ?

? (b ? c) ? a ? (a ? c) ? b ? (a ? b) ? c ? ? bc ac ab a a b b c c         ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) b c a c a b a b c         ? ? ? ?3 a b c
应选 A

8、解:因为M ? 3x 2 ? 8 xy ? 9 y 2 ? 4 x ? 6 y ? 13          ? 2( x ? 2 y ) 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 0,     且 x ? 2 y,x ? 2,y ? 3这三个数不能同时为 0,所以M ? 0。
应选 A 二、填空题 1、解:设该商品的成本为 a,则有 a(1+p%)(1-d%)=a,解得 d ?

100p 100 ? p

2、解因为-1<a<0,所以

1 1 1 ? -1 ? a,即 a ? ? 0,且 a ? ? 0。 a a a

1 1 1 1 (a ? ) 2 ? 4 ? (a ? ) 2 ? 4 ? a 2 ? 2 ? 2 ? a 2 ? 2 ? 2 a a a a 1 1 1 1 1 1 2 ? (a ? ) 2 ? (a ? ) 2 ?| a ? | ? | a ? |? a ? ? (a ? ) ? ? a a a a a a a
3、解:由已知条件知(x+1)+y=6,(x+1)?y=z2+9,所以 x+1,y 是 t2-6t+z2+9=0 的两个实根,方 2 程有实数解, 则△= (-6) -4 (z2+9) =-4z2≥0, 从而知 z=0, 解方程得 x+1=3, y=3。 所以 x+2y+3z =8 4、解:494。因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种,故 x1 ? x2 ? ... ? x40 的最小值和最大
2 值是存在的。 不妨设 x1 ? x2 ? ... ? x40 , 若 x1 >1, 则 x1 + x 2 = ( x1 -1) +( x2 +1), 且 ( x1 -1) + ( x2 +1) 2

2

2

2

= x1 2+ x2 2 + 2 ( x2 - x1 ) +2 > x1 2+ x2 2 ,所以,当 x1 > 1 时,可以把 x1 逐步调整 到 1 ,这时
2 2 2 2 2 2

x1 ? x2 ? ... ? x40 将增大;同样地,可以把 x2 , x3 ,? x 39 逐步调整到 1,这时 x1 ? x2 ? ... ? x40
2 2 2

将增大。于是,当 x1 , x2 ,? x 39 均为 1, x 40 =19 时, x1 ? x2 ? ... ? x40 取得最大值,即 A=
2 2 ,则( x i +1)2+ 1 ?1 ?? ... ? 12 +192=400。若存在两个数 x i , x j ,使得 x j - x i ≥2(1≤i≤j≤40) ?? ? ? ? ? 39个

( x j -1)2= x i 2+ x j 2-2( x j - x i -1)< x i 2+ x j 2,这说明在 x1 , x3 ,? x 39 , x 40 中,如果有两个 数的差大于 1 ,则把较小的数加 1 ,较大的数减 1 ,这时, x1 ? x2 ? ... ? x40 将减小。所以,当
2 2 2

x1 ? x2 ? ... ? x40 取到最小时, x1 , x2 ,? x 40 中任意两个数的差都不大于 1。于是当 x1 = x2 =?

2

2

2

= x 22 = 1 , x 23 = x 24 = ? = x 40 = 2 时 , x1 ? x2 ? ... ? x40
2 2 2 B ?1 ?1 ?? ... ? 12 ? 2 ?? 2 2? ?? ...? ?? 2 2 ? 94 , ?? ? ? ? ? ?? 22个 18个

2

2

2

取 得 最 小 值 , 即

故 A+B=494

5、解: ? x 4 ? 4 ? ( x 2 ? 2) 2 ? (2 x) 2 ? ( x 2 ? 2 x ? 2)(x 2 ? 2 x ? 2)       ? [(x ? 1) 2 ? 1][(x ? 1) 2 ? 1] (2 2 ? 1 )(4 2 ? 1 )(6 2 ? 1 ) ? (382 ? 1 )(402 ? 1 ) 22 ? 1 1      ? 原式= 2 ? 2 ? 2 2 2 2 (4 ? 1 )(6 ? 1 )(8 ? 1 ) ? (40 ? 1 )(42 ? 1 ) 42 ? 1 353

? a b 47 ? ? ? ? 15 ? 0 ? ?a ? 24 1 3 ? 27 9 3 6、解:由已知可知, f (? ) ? 0,  f ( ) ? 0 得 ? ,解得 ? 3 2 ?b ? 2 ? 22 a ? 9 b ? 141 ? 15 ? 0 ? 4 2 ?8
∴a+b=24+2=26 三、解答题 1、解:由已知有 a ?

1 1 1 1 ? x ①  b ? ? x ②  c ? ? x ③  d ? ? x ④  b c d a

由①解出b ?

1 x?a  ⑤  代入②得  c? 2  ⑥ x?a x ? ax ? 1 x?a 1 将⑥代入③得 2 ? ? x  x ? ax ? 1 d 3 即dx ? (ad ? 1) x 2 ? (2d ? a ) x ? ad ? 1 ? 0 ⑦

由④得ad ? 1 ? ax,代入⑦得(d ? a)(x 3 ? 2 x) ? 0 由已知d ? a ? 0, ? x3 ? 2x ? 0 若x ? 0,则由⑥可得 a ? c,矛盾。故有 x 2 ? 2,x ? ? 2
2 2 2、解:①令 x ? 0 ,得 c=平方数 c2;令 x ? ?1 ,得 a ? b ? c ? m , a ? b ? c ? n ,其中 m、n 都是整

2b ? m ? n 都是整数。 数,所以, 2a ? m ? n ? 2c,
2 2 2 2 2 2 ②如果 2b 是奇数 2k+1(k 是整数) ,令 x ? 4 得 16a ? 4b ? c ? h ,其中 h 是整数,由于 2a 是整数,

2 2 所以 16a 被 4 整除,有 16 a ? 4b ? 16 a ? 4k ? 2 除以 4 余 2,而 h ? l ? (h ? l )(h ? l ) ,在 h,l 的奇

偶性不同时, (h ? l )(h ? l ) 是奇数;在 h , l 的奇偶性相同时, (h ? l )(h ? l ) 能被 4 整除,因此,

16a ? 4b ? h 2 ? l 2 ,从而 2b 是偶数,b 是整数,a ? m 2 ? c ? b 也是整数,在②成立时,ax2 ? bx ? c
不一定对 x 的整数值都是平方数,例如:a=2,b=2,c=4,x=1 时, ax ? bx ? c =8 不是平方数。
2

3、解:设 x=1995,则 1996=x+1,所以

a ? 19952 ? 19952 ? 19962 ? 19962 ? x 2 ? x 2 ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2   ? ( x ? 1) 2 ? 2 x( x ? 1) ? x 2 ? 2 x( x ? 1) ? x 2 ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1 ? x) 2 ? 2 x( x ? 1) ? [ x( x ? 1)]2 ? 1 ? 2 x( x ? 1) ? [ x( x ? 1)]2
2 ? [1 ? x( x ? 1)]2 ? (1 ? 1995? 1996 ) 2 ? 3982021

4、解:要证明|m|是合数,只要能证出|m|=p?q,p?q 均为大于 1 的正整数即可。

1 证明:m ? (ab ? cd ) 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 4 1 1     ? [ab ? cd ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 )][ab ? cd ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 2 2 1     ? [2ab ? 2cd ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ][2ab ? 2cd ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ] 4 1     ? [(a ? b) 2 ? (c ? d ) 2 ][(c ? d ) 2 ? (a ? b) 2 ] 4 1     ? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d )(c ? d ? a ? b)(c ? d ? a ? b) 4
因为 m 是非零整数,则

1 (a ? b ? c ? d )( a ? b ? c ? d )( c ? d ? a ? b)( c ? d ? a ? b) 是非零整数。由于 4

四个数 a+b+c-d,a+b-c+d,a-b+c+d,-a+b+c+d 的奇偶性相同,乘积应被 4 整除,所以四个数均为偶数。 所以可设 a+b+c-d=2m1,a+b-c+d=2m2,a-b+c+d=2m3,-a+b+c+d=2m4,其中 m1,m2,m3,m4 均为非零 整数。所以 m ?

1 (2m1 )( 2m2 )( 2m3 )( 2m4 ) ? 4m1 m2 m3 m4 , 4

所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0, 所以|m|是一个合数。
2 5、解:设 a ? 10b ? c ,其中 c 取自 0,1,2,3,4,??,9,将 c 写成两位数的形式为 00,01,04,

09,16,25,36,49,64,81,其中只有 c=4、6 时其十位数为奇数,又

a 2 ? (10b ? c) 2 ? 2 ? (5b 2 ? bc) ?10 ? c 2 ,可见, a 2 的十位数是一个偶数加上 c 2 的十位数,当 a 2 的
十位数为奇数 1,2,5,7,9 时,a 的个位数只能取 4、6。

数学竞赛专项训练(3)方程参考答案
一、选择题 1、选 B。原方程变为 ( x ? a)(x ? 8) ? 1 , ??

? x ? a ? 1 ? x ? a ? ?1 , 或? ? x ? 8 ? 1 ? x ? 8 ? ?1

解得 x=9 或 7,a=8。 2、选 C。原方程有整数解的条件有且只有以下 3 种:

①x ? 3 ? 0而x 2 ? x ? 1 ? 0,此时x ? ?3是方程的一个整数解; ②x 2 ? x ? 1 ? 1,解之得x ? ?2或x ? ?1,即原方程有两个整数 解; ③x 2 ? x ? 1 ? ?1而x ? 3为偶数。解x 2 ? x ? 1 ? ?1得x ? 0或 ? 1。显然仅当 x ? ?1时x ? 3 ? 2为偶数。故原方程此时 仅有一个整数解。
综上所述知方程的解共有 1+2+1=4 个。

3、解:令d ? m - ? ? (2ax0 ? b) 2 ? (b 2 ? 4ac)        ? 4a 2 x0 ? 4ax0 b ? b 2 ? b 2 ? 4ac        ? 4a(ax0 ? bx0 ? c)      因x0 是ax 2 ? bx ? c ? 0的根,所以d ? 0, 即? ? M。   应选B。
4、应选 B。因为方程有实数解,故 b ? 4ac ? 0 。由题意有
2

2

2

? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? 4ac或者 ? b 2 ? 4ac。令u ? b 2 ? 4ac 2a 2a 则得2au 2 ? u ? b ? 0或2au 2 ? u ? b ? 0,因为u ? b 2 ? 4ac是其解,所以方程 1 的判别式非负,即 1 ? 8ab ? 0,即ab ? 。 8
5、选 B。由方程有实根,得△≥0,即

(k ? 2) 2 ? 4(k 2 ? 3k ? 5) ? 0 ? 3k 2 ? 16k ? 16 ? 0 ? (3k ? 4)(k ? 4) ? 0 4 2 2 ? ?4 ? k ? ? 。又由x1 ? x 2 ? k ? 2,x1 ? x 2 ? k 2 ? 3k ? 5,得x1 ? x 2 3 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? (k ? 2) 2 ? 2(k 2 ? 3k ? 5) ? ?k 2 ? 10k ? 6 ? 19 ? (k ? 5) 2 ,当k ? ?4时x1 ? x 2 取最大值 18
6、选 A。
2 2

?3x ? 2 y ? z ? 5 ? x ? 7 z ? 3 ?? ? u ? 3(7 z ? 3) ? (?11z ? 7) ? 7 z ? 3z ? 2 ? ?2 x ? y ? 3z ? 1 ? y ? ?11z ? 7
由 x≥0,y≥0 得

?7 z ? 3 ? 0 3 7 3 7 ? ? z ? ? 3 ? ? 2 ? 3z ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 7 11 7 11 ?? 11z ? 7 ? 0
5 1 ?u?? 7 11 5 1 5 1 62 ? u 最小 ? ? ,u 最大 ? ?    ? u 最小 ? u 最大 ? ? ? (? ) ? ? 7 11 7 11 77
即?
2 ? ?m ? 8n ? 0 4 2 7、选 B。因方程有实根,故 ? 2 ,因此有 m ? 64n ? 64m , ? ?4 n ? 4 m ? 0

则 m(m3 ? 64) ? 0,因m ? 0,则m3 ? 64 ,m ? 4 ,得 m 最小值是 4。

2,故m ? n的最小值为 6。 又 n ? m ? 8n,得n ? 2即n的最小值为
4 2

8、选 C。设全天下雨 a 天,上午晴下午雨 b 天,上午雨下午晴 c 天,全天晴 d 天。由题可得关系式 a=0①, b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④,②+③-④得 2d-a=4,即 d=2,故 b=4,c=3,于 x=a+b+c+d=9。 二、填空题

1、设两个方程的根分别 为x1、x 2 和x1、x3。 ? x1 ? ax1 ? b ? 0,x1 ? bx1 ? a ? 0,   两式相减得 (a ? b)(x1 ? 1) ? 0,而a ? b,故x1 ? 1。代入任一方程可得 a?b     ? 1=0。解方程得x 2 ? b ? ?1 ? a,x3 ? a
2、由已知 a、b 是方程 x ? 11x ? 16 ? 0 的两根。? ?
2

2

2

?a ? b ? ?11    ? a ? 0,b ? 0 ,而 ?ab ? 16

b a a ?b 1 1 1 1 ? ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) 2 ? 4ab ? ? 121? 64 ? ? 57 a b 4 4 4 ab 4
3、? x ? (n ? 1) x ? 2n ? 1 ? 0 的两根为整数,它的判别式为完全平方式,故可设
2 2 2 ,即 (n ? 3) ? k ? 4 满足上式的 n、k 只能是下列情况 ? ? (n ? 1) 2 ? 4(2n ? 1) ? k 2 (k 为非负整数)

之一:

?n ? 3 ? k ? 4 ?n ? 3 ? k ? ?1 ?n ? 3 ? k ? 2 ?n ? 3 ? k ? ?2 ?? 或? 或? 或? ?n ? 3 ? k ? 1 ?n ? 3 ? k ? ?4 ?n ? 3 ? k ? 2 ?n ? 3 ? k ? ?2
解得 n=1、5。 4、解:由题意得: ? ? [2(k ? 1) ] ? 4(k ? 2) ? 0,得 k ?
2 2 2

1   ① 2

又 x1 ? x2 ? 2(k ? 1),x1 x2 ? k ? 2
2

所以( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1           ? k 2 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1           ? k 2 ? 2k ? 5
由已知得 k ? 2k ? 5 ? 8,解得k ? ?3,k ? 1  ②
2

由①②得 k=1。 5、解:由已知 b2-4b+m=0 ① b2-8b+5m=0 ② ①-②得:4b-4m=0 ∴b=m ③ 将③代入①得:m2-4m+m=0 ∴m=0 或 m=3。 6、解: ? ? a 2 ? 4(a ? 2) ? a 2 ? 4a ? 8 ? (a ? 2) 2 ? 4 ? 0 ∴对于任意实数 a,原方程总有两个实数根。由根与系数的关系得:

x1 ? x 2 ? ?a x1 x 2 ? a ? 2 ? ( x1 ? 2 x 2 )(x2 ? 2 x1 ) ? ?2( x1 ? x2 ) 2 ? 9 x1 x2 9 63    ? ?2a 2 ? 9a ? 18 ? ?2(a ? ) 2 ? 4 8 63 9 ∴当 a= 时原式有最大值- 4 8
三、解答题 1、解:①当 k=0 时,x=-1,方程有有理根。 ②当 k≠0 时,因方程有有理根,所以若 k 是整数,则 ? ? (k ? 1) 2 ? 4k = k ? 6k ? 1 必为完全
2

平方数,即存在非负整数 m,使 k ? 6k ? 1 ? m
2

2

配方得: (k ? 3) ? m ? 8    (k ? 3 ? m)(k ? 3 ? m) ? 8
2 2

其积为 8, 由 k ? 3 ? m与k ? 3 ? m是奇偶性相同的整数, 所以它们均为偶数,又

?k ? 3 ? m ? 4 ?k ? 3 ? m ? ?2 k-3+m>k-3-m ,从而有 ? 或? ?k ? 3 ? m ? 2 ?k ? 3 ? m ? ?4
∴k=6 或 k=0(舍去) 综合①②可知,方程 kx ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 有有理根,整数 k 的值为 k=0 或 k=6。
2
2 2、解:由前一方程得: x 2 ? 2002 ? 1 x ? 1 ?0 20022 20022 即 x 2 ? (1 ? 1 2 ) x ? 1 2 ? 0 2002 2002

设方程两根为 x1 、 x2 ,且 x1 > x2 由根与系数的关系得: x1 ? x 2 ? 1 ? 则 x1 =1, x2 =1 2002 2
2

1 1     x1 x 2 ? ? 2 2002 2002 2

同理由后一方程得: x ? (1 ?

1 1 )x ? ?0 2001 2001

设方程两根为 x1 、 x2 ,且 x1 > x2 ,则 x1 =1, x2 =

'

'

'

'

'

'

1 2001

1 , 2001 2000 1 所以 r-s=1- = 2001 2001
由上述可知:r=1,s= 3、解:设方程两根为 x1 、 x2 ,则 x1 + x2 =4n-5 ∵4n-5 是奇数,即 x1 + x2 是奇数 ∴ x1 与 x2 必定一奇一偶,而 x1 与 x2 都是质数。 故必有一个为 2,不妨设 x1 =2,则 2?22-(8n-10)?2-(n2-35n+76)=0 ∴n=3 或 n=16 当 n=3 时,原方程即 2x2-14x+20=0,此时两根为 x1=2,x2=5 当 n=16 时,原方程即 2x2-118x+228=0,此时两根为 x1=2,x2=57

k ? 9, 4、 解: 原方程可化为 [(6 ? k ) x ? 9][(9 ? k ) x ? 6] ? 0 , 因此方程关于 x 的一元二次方程, 所以 k ? 6 ,
于是

x1=

9 6 , x2 ? 6?k 9?k

从上面两式中消去 k,得: x1 x2 ? 2 x1 ? 3x2 ? 0

于是 ( x1 ? 3)(x2 ? 2) ? ?6 因为 x1 、 x2 均为整数,所以 ?

? 3,  ? 2,  ? 1,  1,  2,  3,  6 ? x1 ? 3 ? ?6,  2,  3,  6,  ? 6,  ? 3,  ? 2,  ?1 ? x2 ? 2 ? 1, 

故 x1 ? ?9,  ? 6,  ? 5,  ? 4,  ? 2,  ?1 ,  0,  3 ,显然 x1 ≠0 又k ?

6 x1 ? 9 9 ? 6,  ? 5,  ? 4,  ? 2,  ?1 ,  3 分别代入上式得 ? 6 ? ,将 x1 ? ?9,  x1 x1

15 39 33 21 k ? 7,  ,  ,  ,  ,  15,  3。 2 5 4 2
5、解:出发 1 小时后,①、②、③号艇与④号艇的距离分别为

Si ? [(vi ? v水  ) ? (v水  ? v4 )]?1 ? vi ? v4
各艇追上④号艇的时间为

ti ?

vi ? v4 v ? v4 2v4 ? i ? 1? (vi ? v水  ) ? (v水  ? v4 ) vi ? v4 vi ? v4

对 v1 > v2 > v3 > v4 有 t1 ? t 2 ? t 3 ,即①号艇追上④号艇用的时间最小,①号是冠军。

数学竞赛专项训练(4)不等式参考答案
一、选择题

当 ? 1 ? x ? 3时, x+1 ? 0,x - 3 ? 0,所以 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? x ? 1 ? 3 - x ? 4 当x ? -1 时, | x - 3 |? 3 - x ? 4 | x ? 1 |? x ? 1 ? 4 1、B。解: 当x ? 3时, 因此,对一切实数 x,恒有 | x ? 1 | ? | x - 3 |? 4, ? 原不等式有解,必须 a ? 4。故选B
2、D。解:

因a、b、c、d都 是 正 实 数 , ? a c b d b d a?b c?b a c ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? b d a c a c a c a?b c?d a c a c a?b c?d b d ? ? ?1 ? ?1? ? ? ? b d b d b d a?b c?d

故选 D。 3、A。解:

? (ab ? bc ? ac) 2 ? a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? a 2 c 2 ? 2abc(a ? b ? c) ? 0 1 ? a ? b ? c ? ? (a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? a 2 c 2 ) 2 ? 0 2 ? a ? b ? c   ? a ? 0,又abc ? 1 ? 0   ? b ? 0  c ? 0 ?| a ? b |? ?a ? b ? c ?| c |
故选 A。 4、C。解:

? x ? 20 解不等式组,得 ,不等式组只有 5个整数解,即解只能是 ? ? x ? 3 ? 2a ?3 ? 2a ? 14 11 x ? 15、 16、 17、 18、 19,a的取值范围是? , ? ?6 ? a ? ? 2 ?3 ? 2a ? 15
故选 C。 5、D。解:
2 易知 a ? 0 ,原方程可变形为 x ? (1 ?

2 2 ) x ? 9 ? 0 ,记 y ? x 2 ? (1 ? ) x ? 9 a a

则这个抛物线开口向上,因 x1 ? 1 ? x2 ,故当 x ? 1 时, y ? 0 。 即 1 ? (1 ?

2 2 ) ? 9 ? 0 ,解得 ? ? a ? 0 a 11

故选 D。 6、B。 7、C。 8、B。解: 由题设得: 0.9b ? b ? 59

0.91b ? b ? 56 ,所以 b ? 30 ,31。

当 b=30 时,由 0.9b<a<0.91b,得 27<a<28,这样的正整数 a 不存在。 当 b=31 时,由 0.9b<a<0.91b,得 27<a<29,所以 a=28,所以 b ? a ? 177
2 2

故选 B。 二、填空题

2x ? a 2?a 2?a ? ?1 得 x ? ? 0 ,所以 a ? 2 ,但 x ? 2 ,即 ? 2, x?2 3 3 所以 a ? ?4 ,故应填 a ? 2 且 a ? ?4 。 2、解:设有 x 人开会,则全坐圆凳共有 5 x 条脚,全坐方凳共有 6 x 条脚,于是 1 3 5 x ? 33 ? 6 x ,即 5 ? x ? 6 ,而 x 只能为整数,? x ? 6 ,故应填 6。 2 5
1、解:解方程 3、解:由①得 ? 3 ? x ? 2 ? 3 即 ? 5 ? x ? 1 ,则②得 ( x ? 5)(x ? 1) ? 0 , ∴ ? 5 ? x ? 1 。由③得 ? 5 ? x ? 1 。由④得 ∴ ? 5 ? x ? 1 。故应填 4。 4、解: ? ? (a ? 5) 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 0 ,即 (a ? 1)(a ? 9) ? 0 ,∴ 1 ? a ? 9 ,故应填 1 ? a ? 9 。 5、解:? 20 ? 3 ? 72.5 ? 20 ? 4 ,由题意应付邮费 0.8?4=3.2 元,故应填 3.2 元。 6、解: | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |? 4 ,两边都除以 2 得: | x ?

6 x?5 ? 1 ? 0 ,即 ? 0, x ?1 x ?1

1 3 | ? | x ? |? 2 。 2 2 1 1 3 | x ? | 表示数轴上表示数 x 的点到表示 的点之间的距离, | x ? | 表示数轴上表示数 x 的点到表 2 2 2 3 3 1 示数- 的点之间的距离,显然,当 x ? 或 x ? 时, 2 2 2 1 3 1 3 1 3 3 1 | x ? | ? | x ? |?| ? (? ) |? 2 ,而当 ? ? x ? 时, | x ? | ? | x ? |? 2 ,又 x1 ? x 2 ,∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 ? ? x1 ? x 2 ? ,故 ? 2 ? x1 ? x2 ? 0 ,故应填 ? 2 ? x1 ? x2 ? 0 。 2 2

三、解答题 1、解:设开始抽水时满池水的量为 x ,泉水每小时涌出的水量为 y ,水泵每小时抽水量为 z ,2 小时抽干 满池水需 n 台水泵,则

? x ? 5 y ? 5 ? 12z    ① ? ? x ? 7 y ? 7 ? 10z    ② ? x ? 2 y ? 2nz      ③ ?
由①②得 ? ∴ n ? 22

? x=35z ,代入③得: 35 z ? 10 z ? 2nz ? y ? 5z
1 ,故 n 的最小整数值为 23。 2
2 2

答:要在 2 小时内抽干满池水,至少需要水泵 23 台。 2、解:原方程有一个大于 1 的根和一个小于 1 的根,相当于抛物线 y ? (k ? 1) x ? (4 ? k ) x ? 1与 x 轴的两个

y

2 交点分在点(1,0)的两旁,因为 k ? 1 ? 0 ,抛物线开口向上,所以当 x ? 1 时, y 值小于 0 即可,



(k 2 ? 1) ? (4 ? k ) ? 1 ? 0 ?k 2 ? k ? 2 ? 0 (k ? 2)(k ? 1) ? 0 ? ?2 ? k ? 1    ? 整数k的值只有 ? 1和0
3、解:由题可得 ? a ? 4 ? ax ? ?a , 若 a ? 0 ,则 ? 4 ? 0 ? 0 ,不等式无解,不合题意舍去。 若 a ? 0 ,则 ? 1 ?

4 ? x ? ?1 , a 4 4 1 a ? ?2 ,即 1 ? ? 2 。∴ ? ? 1 ,即 a a 2 4

∵不等式有惟一整数解,∴ ? 3 ? ?1 ?

2 ? a ? 4 ,∴整数 a 值只能为 3。 4 ?a 4 ? 1 ,即 1 ? ? 2 ,∴ 若 a ? 0 则 ? 1 ? x ? ?1 ? ∵不等式有惟一整数解 ∴ 0 ? ?1 ? a 4 ?a 1 ?a ? ? 1 ,即 ? 4 ? a ? ?2 ,∴整数 a 的值为-3。 2 4
综上所求,a 的整数值为±3。

4、解:设第一层有客房 x 间,则第二层有 ( x ? 5) 间,由题可得

?4 x ? 48 ? 5 x            ① ? ?3( x ? 5) ? 48 ? 4( x ? 5)     ②
由①得: ?

?4 x ? 48 3 ,即 9 ? x ? 12 5 ?48 ? 5 x ?3( x ? 5) ? 48 ,即 7 ? x ? 11 ?48 ? 4( x ? 5)
3 ? x ? 11 5

由②得: ?

∴原不等式组的解集为 9

∴整数 x 的值为 x ? 10 。 答:一层有客房 10 间。 5、解:设劳动竞赛前每人一天做 x 个零件 由题意 ?

?8( x ? 10) ? 200 ?4( x ? 10 ? 27) ? 8( x ? 10)

解得 15 ? x ? 17 ∵ x 是整数 ∴ x =16 (16+37)÷16≈3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的 3.3 倍。

数学竞赛专项训练(5)方程应用参考答案
一、选择题 1、D。 解:设甲的速度为 v1 千米/时,乙的速度为 v2 千米/时,根据题意知,从出发地点到 A 的路程为 v1 千米,到 B 的路程为 v2 千米,从而有方程:

v2 v1 35 v 2 v v 3 v 4 ,化简得 12( 1 ) ? 7( 1 ) ? 12 ? 0 ,解得 1 ? ( 1 ? ? 不合题意舍去) 。应选 D。 ? ? v1 v2 60 v2 v2 v2 4 v2 3
2、C。 解:第 k 档次产品比最低档次产品提高了(k-1)个档次,所以每天利润为

y ? [60 ? 3(k ? 1)][8 ? 2(k ? 1)]    ? ?6(k ? 9) 2 ? 8 6 4
所以,生产第 9 档次产品获利润最大,每天获利 864 元。 3、C。 解:若这商品原来进价为每件 a 元,提价后的利润率为 x % , 则?

?m ? a ? 20% 解这个方程组,得 x ? 16 ,即提价后的利润率为 16%。 ?m ? (1 ? 25%)a ? x%

4、B。解:设甲乙合作用 x 天完成。 由题意: (

1 ? a b

1?

c a ) x ? 1,解得 x ?

ab 。故选 B。 a?b?c

5、A。解:A 与 B 比赛时,A 胜 2 场,B 胜 0 场,A 与 B 的比为 2∶0。就选 A。 6、A。解:设从起点到终点 S 千米,甲走(s+a)千米时,乙走 x 千米

( s ? a)(s ? a) a2 ?s? s s 2 2 s a ? a 2 ? 0  s ? 0   ? ? 0   ?s ? ? s    即 甲 (s 走 ? a)千 米 时 , a s a2 乙 走 ( s ? )千 米 。 甲 先 到 。 A。 故 选 s s : ( s ? a) ? ( s ? a) : x   ?x ?
7、B。解:设小船自身在静水中的速度为 v 千米/时,水流速度为 x 千米/时,甲乙之间的距离为 S 千米, 于是有 v ? x ?

S S (b ? a) S S 2ab ,v ? x ? 求得 x ? 所以 ? 。 a b 2ab x b?a

8、C。解:设 A、B、C 各人的年龄为 A、B、C,则 A=B+C+16 ① A2=(B+C)2+1632 ② 由②可得(A+B+C) (A-B-C)=1632 ③,由①得 A-B-C=16 ④, ①代入③可求得 A+B+C=102 二、填空题 1、2∶1。解甲厂该产品的年产量为 x ,乙厂该产品的年产量为 y 。

3 x? y ? x : y ? 2 :1 则: ? 4 ,解得 x ? 2 y   1 1 1 x? y 2 3 3
2、3520。解:因为 9 辆甲种客车可以乘坐 360 人,故最多需要 9 辆客车;又因为 7 辆乙种客车只能乘坐

350 人,故最多需要 8 辆客车。 ①当用 9 辆客车时,显然用 9 辆甲种客车需用租金最少,为 400?9=3600 元; ②当用 8 辆客车时,因为 7 辆甲种客车,1 辆乙种客车只能乘坐 40?7+50=330 人,而 6 辆甲种客车,2 辆乙种客车只能乘坐 40?6+50?2=340 人, 5 辆甲种客车, 3 辆乙种客车只能乘坐 40?5+50?3=350 人,4 辆甲种客车,4 辆乙种客车只能乘坐 40?4+50?4=360 人,所以用 8 辆客车时最少要用 4 辆乙 种客车,显然用 4 辆甲种客车,4 辆乙种客车时需用租金最少为 400?4+480?4=3520 元。 3、4 点 21

9 6 分或 4 点 54 分时,两针在同一直线上。 11 11

解:设四点过 x 分后,两针在同一直线上,

1 9 x ,求得 x ? 21 分, 2 11 1 6 若两针成 180 度角,则 6 x ? 120 ? x ? 180 ,求得 x ? 54 分。 2 11 9 6 所以在 4 点 21 分或 4 点 54 分时,两针在同一直线上。 11 11
若两针重合,则 6 x ? 120 ? 4、20.3。解:钱先生购房开支为标价的 95%,考虑到物价上涨因素,钱先生转让房子的利率为

1 ? 60% 1.6 ?1 ? ? 1 ? 0.203 ? 20.3% 95%(1 ? 40%) 0.95 ? 1.4
5、共 11 次。

100 米

60

180

300

420

540

660

720

6、30 岁、15 岁、22 岁。 解:设甲、乙、丙的年龄分别为 x 岁、 y 岁、 z 岁,则

   ① ? x ? 2 y           ?   ② ? y ? z ? 7            ? x ? y ? z ? 70且x ? y ? z为质数  ③ ? 显然 x ? y ? z 是两位数,而 13=4+9=5+8=6+7
∴ x ? y ? z 只能等于 67 ④。由①②④三式构成的方程组,得 x ? 30 , y ? 15 , z ? 22 。 三、解答题 1、设甲、乙、丙单独承包各需 x 、 y 、 z 天完成,

?1 1 5 ? x ? y ? 12 ? ?x ? 4 ? ?1 1 4 则? ? ? 解得 ? y ? 6 ? z ? 10 ? y z 15 ? ?1 1 7 ? ? ? ? z x 20
再设甲、乙、丙单独工作一天,各需 u 、 v 、 w 元,

?12 ? 5 (u ? v) ? 180000 ?u ? 45500 ? ? ?15 则 ? (v ? w) ? 150000 ,解得 ?v ? 29500 ?w ? 10500 ?4 ? ? 20 ( w ? u ) ? 160000 ?7 ?
于是,甲队单独承包费用是 45500?4=182000(元) ,由乙队单独承包费用是 29500?6=177000(元) , 而丙不能在一周内完成,所以,乙队承包费最少。 2、 解: 设甲、 乙最后所购得的汽车总数为 x 辆, 在生产厂最后少供的 6 辆车中, 甲少要了 y 辆 (0 ? y ? 6) , 乙少要了( 6 ? y )辆,则有

3 1 ( x ? 6) ? 6 ? y ? 2[ ( x ? 6) ? 6 ? (6 ? y )] ,整理后得 x ? 18 ? 12 y 。 4 4
当 y ? 6 时, x 最大,为 90;当 y ? 0 时, x 最小为 18。 所以甲、乙购得的汽车总数至多为 90 辆,至少为 18 辆。

3、解: [方案一] :当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人下车步行,另一辆车将车内的 4 个人送到火 车站,立即返回接步行的 4 个人到火车站。 设乘出现故障汽车的 4 个人步行的距离为 xkm ,根据题意,有

x 15 ? 15 ? x ? 5 60 30 解得 x ? ,因此这 8 个人全部到火车站所需时间为 13 30 30 35 ?小时 ?=40 5(分钟)? 42 ? 5 ? (15 ? ) ? 60 ? (分钟) 13 13 52 13
故此方案可行。 [方案二] :当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人下车步行,另一辆车将车内的 4 个人送到某地方 后,让他们下车步行,再立即返回接出故障汽车而步行的另外 4 个人,使得两批人员最后同时到达车 站。 分析此方案可知,两批人员步行的距离相同,如图所示,D 为无故障汽车人员下车地点,C 为有故障汽 车人员上车地点。因此,设 AC=BD=y,有

y 15 ? y ? 15 ? 2 y ? 解得 y ? 2 。因此这 8 个人同时到火车站所需时间为 5 60

2 15 ? 2 37 ? ? (小时)? 37 (分钟)< 42 (分钟) ,故此方案可行。 5 60 60
A ?
故障点

C ?

D ?

B ?
火车站

4、解:假定排除故障花时 x 分钟,如图设点 A 为县城所在地,点 C 为学校所在地,点 B 为师生途中与汽 车相遇之处。在师生们晚到县城的 30 分钟中,有 10 分钟是因晚出发造成的,还有 20 分钟是由于从 C 到 B 步行代替乘车而耽误的,汽车所晚的 30 分钟,一方面是由于排除故障耽误了 x 分钟,但另一方面 由于少跑了 B 到 C 之间的一个来回而省下了一些时间,已知汽车速度是步行速度的 6 倍,而步行比汽 车从 C 到 B 这段距离要多花 20 分钟, 由此汽车由 C 到 B 应花 所以有 x -8=30 A ?

20 ? 4(分钟) , 一个来回省下 8 分钟, 6 ?1

x =38 即汽车在途中排除故障花了 38 分钟。
B ? C ?

数学竞赛专项训练(6)参考答案
一、选择题 1、A。设 L 的方程为 y ? kx ? t ,则有:

?b ? ka ? t       ① ? ?a ? kb ? t       ② ①-②得 (b ? a) ? k (a ? b) ?b ? a ? k (a ? b) ? t   ③ ?

? a ? b   ? k ? ?1,代入③得 t ?0 ? L方程为y ? ? x,经过二、四象限

(?4 ? x ? 1) ?6 ? 3x   ?4 ? x   (1 ? x ? 2) ? 2、C。因为 ? 4 ? x ? 4 ,所以 y ? ? (2 ? x ? 3) ? x   ? (3 ? x ? 4) ?3x ? 6  
所以当 x ? ?4 时, y 取最大值 18,当 x ? 2 时, y 取最小值 2。 3、D。

? y ? x 2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ?    ? (x ?

a?b 2 a?b 2 ) ? ab ? ( ) 2 2

a?b 2 a ?b 2 ) ?( ) 2 2 a?b a ?b 2 ?当x ? 时,y min ? ?( ) 2 2
4、A。∵直线 y ? ax ? b(ab ? 0) 不经过第三象限,∴ a ? 0,b ? 0。 ∴抛物线
4ac ? b 2 在第一象限。 y ? ax2 ? bx 的顶点 (? b , ) 2a 4a

5、C。显然 a ? 0 ,因为二次函数图象过点(1,0)和(0,1) ,且当 x ? ?1 时, y ? 0 ,所以可设

y ? a( x ? 1)(x ? k )(k ? 0),将( 0, 1 )坐标代入,得 ak ? ?1,所以 y ? ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ,将
x ? ?1 代入,可知 a ? (1 ? a) ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 ,故-1<a<0。
6、B。? x ? 100x ? 196 ? ( x ? 2)(x ? 98)
2

?当2 ? x ? 98时, | x 2 ? 1 0x0 ? 1 9 |? 6 ?( x 2 ? 1 0x0 ? 1 9) ,当自变量 6 x 取 2,2,?,98 时函数
值为 0,而当 x 取 1,99,100 时, | x ? 100x ? 196|? x ? 100x ? 196,所以,所求和为(1-2) (1-98)
2 2

+(99-2) (99-98)+(100-2) (100-98)=97+97+196=390。 7、B。由于 y ? k ( x ? 1) 图点恒过点(-1,0) ,所以不论 k 为何常数,这两个函数图象有两个交点。

8、C。 y ? ? x 2 ? 6x ? 7 ? ?( x ? 3) 2 ? 2 ,当 t ? 3 ? t ? 2 时,即 1 ? t ? 3 时, y最大值 ? f (3) ? 2 ,与

y最大值 ? ?(t ? 3) 2 ? 2 矛盾。当 3 ? t ? 2 时,即 t ? 1 时, y最大值 ? f (t ? 2) ? ?(t ? 1) 2 ? 2,与y最大值 ? ?(t ? 3) 2 ? 2 矛盾。当 3 ? t,即t ? 3 时, y最大值 ? f (t ) ? ?(t ? 3) 2 ? 2 与题设相等,故 t 的取值范围 t≥3。
9、B。设两抛物线交于 x 轴( x0 ,0) ( x0 ≠0) ,则有:
2 2 ? ? x0 ? 2ax0 ? b ? 0  ① 2 , ①+②得 2x0 ? 2(a ? c) x0 ? 0 , ∵ x0 ? 0 , ? 2 2 ? ? x0 ? 2cx0 ? b ? 0  ②

∴ x0 ? ?(a ? c) 。

①-②得 2(a ? c) x0 ? 2b 2 ? 0 ,

b2 ∴ x0 ? c?a

b2 ? ?(a ? c),b 2 ? a 2 ? c 2 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以为直角三角形。 ∴ c?a
1 1 ,x 2 ? , n ?1 n

2 2 10、C。解方程 (n ? n) x ? (2n ? 1) x ? 1 ? 0 ,得 x1 ?

1 1 ? n n ?1 1 1 1 1 1 1 2004 ? ) ? 1? ? ∴ d1 ? d 2 ? ... ? d 2004 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( 2 2 3 2004 2005 2005 2005
∴ d n ?| x1 ? x 2 |?

二、填空题

? 1、2 个。显然 a ? 0,c ? 0,b ? 0,a ? b ? c ? 0,

b ? 1, 2a 2a ? b ? 0, 2a ? b ? 0 所以 ab ? 0,ac ? 0,a ? b ? c ? 0,

1 13 ? 2a ? ? b 2 ? ? ?a ? 1 ? 2 2 2、 (1,3) 。若 b ? 0 ,则有 ? ,解得 ? ,若 b ? 0 与题设矛盾。 1 13 b ? 3 2 ? ?2b ? ? a ? ? 2 2 ?
7, ? 可知当 n 取最小值 6 时,k 3、102。由 m ? (19n ? 98)n 知,存在整数 k,使 k ? 19 n ? 98 ,取 n ? 6,
取最小正整数 16,故 m ? n ? nk ? n ? 6 ? 17 ? 102 。 4、 4 5 。取 m ? 取m ?

1 2 ,得抛物线 y ? ? x ? 4x ? 5 ① ; 2

1 2 ,得抛物线 y ? ?3x ? 8x ? 11 ② , 4
2

联立①②,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,求出 x1 ? 1 ,x2 ? 3 ,相应地,得 y1 ? 0,y2 ? 8 ,即两个定点的坐标

分别为 M (?1 ,从而两定点 M 1 N 之间的距离为 MN ? , 0)N(3, 8) 5、-5。由题意 A、B 在原点的右侧,且 | x1 ? x 2 |? ∴ 6、 f (

(3 ? 1) 2 ? (8 ? 0) 2 ? 4 5 。

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (k ? 1) 2 ? 4

3 k ?1 2 (k ? 1) 2 ? 4 ?| 1 ? ( ) | ,解得 k ? ?5 。 2 2

m ?1 ) ? 0 。设 x 2 ? (m ? 1) x ? (2m ? 1) ? 0 ,两根为 x1 , x2 ,则 x1 >2, x2 >2, 4m ? 2

∵ x1 ? x2 ? m ? 1 ,x1 ? x2 ? 2m ? 1, ∴

x ? x2 1 1 m ?1 1 1 ? 1 ? ( ? )? ?2 4m ? 2 2 x1 x2 2 x1 x2 2
m ?1 )?0 4m ? 2

∴ f(

3x 2 ? 6 x ? 5 7、4。设 y ? ,去分母,整理得 ( y ? 6) x 2 ? (2 y ? 12) x ? 2 y ? 10 ? 0 ,当 y ? 6 ? 0 时,由 1 2 x ? x ?1 2
得 ? ? (2 y ? 12) 2 ? 4( y ? 6)(2 y ? 10) ? 0 , 即 y 2 ? 10y ? 24 ? 0 , 解得 4 ? y ? 6( y ? 6) , x 为实数, 而 x ? ?1 时, y ? 4 ,故分式的最小值为 4。 8、5。∵ f ( x) ?
3

x ?1 ? 3 x ?1 1 3 ? ( x ? 1 ? 3 x ? 1) ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2

1 ? f (1) ? f (3) ? ... ? f (999) ? [(3 2 ? 0) ? (3 4 ? 3 2 ) ? ... ? (3 1000 ? 3 998)] 2 1 ? ? 10 ? 5 2
9、 0? ? ? ? 60 ? 。由题意得 ?

?cos? ? 0
2 ?? ? 16sin ? ? 24 cos? ? 0

即?

?cos? ? 0 ?2(1 ? cos ? ) ? 3 cos? ? 0
2

解得 cos ? ?

1 ,又因为 0? ? ? ? 180 ? 2

所以 0? ? ? ? 60 ?

?3 x ? 2 y ? z ? 5 ? 三、1、∵ ? x ? y ? z ? 2 ?2 x ? y ? z ? s ?

? ?x ? s ? 2 ? ∴? 15 ? 4s ?y ? 3 ? 3? s ? z? ? 3 ?

? ?s ? 2 ? 0 又 x 、 y 、z 是非负数,∴ ? ?15 ? 4 s ?0 ? ? 3 ?3 ? s ?0 ? ? 3

解得 2 ? s ? 3 ,故 s 的最大值为 3,最小值为 2,最大值与

最小值和为 5。

1 ? c ?         ① ? ?a ? b 2 2、由题意得 ? 由①得 a ? b ? 2c ,代入②得 a ? 2b ? c ? 0 ,所以 2 ? ? (a ? b)(a ? b) ? c ? ? a  ② ? a?b 2 ?
a ? b ? c ,故三个内角度数均为 60°。
3、① a ? 0,b ? 0,c ? 0,b ? 4ac ? 0
2

②因为 | OA |?| OB | , 且 | OB |?| c |? ?c , 所以 ax ? bx ? c ? 0 有一根 x ? c , 从而 ac ? bc ? c ? 0 ,
2 2

又因为 c ? 0 ,所以 ac ? b ? 1 ? 0 。 4、∵ ? 1 ? 2 2 ? 2 p ? q ∴ 2 p ? q ? ?5

∵ x1 , x2 为 x 2 ? px ? q ? 0 两根,∴ x1 ? x2 ? ? p ∴ | AB |?| x1 ? x 2 |?

x1 x2 ? q ,
p 4q ? p 2 , ) 2 4
3

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

p 2 ? 4q ,又 M (?

∴ S ?AMB
2

1 4q ? p 2 1 4q ? p 2 1 2 ? | AB | ? | |? | x1 ? x2 | ? | |? ( p ? 4q) 2 ,要使 S ?AMB 为最小,只需 2 4 2 4 8

使 p ? 4q 最小。∵

p 2 ? 4q ? p 2 ? 8 p ? 20 ? ( p ? 4) 2 ? 4

2 2 ∵当 p ? ?4 时, p ? 4q 取最小值 4,此时 q ? 3 ,故所求的二次函数为 y ? x ? 4 x ? 3 。

2k ? 8 ? ? 3t ? 2t ? ? 4 5、设 A(-3t,0) ,B(2t,0) ,则有 ? 解得 k ? 2 或 k ? 8 ,经检验 k ? 2 符合 ? 2 ?? 3t ? 2t ? ? 6(k ? 1) (t ? 0) ? 4 ? 题意。
②∵ tan ?PAB ?

PO PO , tan ?PBA ? ,AO>BO AO BO

∴ tan ?PAB ? tan ?PBA ∴ ?PAB ? ?PBA ,即α <β 。

数学竞赛专项训练(7)逻辑推理参考答案
一、选择题 1、答 B。解:4 个队单循环比赛共比赛 6 场,每场比赛后两队得分之和或为 2 分(即打平) ,或为 3 分(有 胜负) ,所以 6 场后各队的得分之和不超过 18 分,若一个队得 7 分,剩下的 3 个队得分之和不超过 11 分,不可能有两个队得分之和大于或等于 7 分,所以这个队必定出线,如果一个队得 6 分,则有可能还 有两个队均得 6 分,而净胜球比该队多,该队仍不能出线。应选 B。 2、答 B。解有人胜一局,便有人负一局,已知总负局数为 2+3+3=8,而甲、乙胜局数为 4+3=7,故丙胜 局数为 8-7=1,应选 B。 3、答 B。解:共有 15 种搭配。①和② ③和④ ⑤和⑥ ①和③ ②和④ ①和⑤ ⑤ ②和⑥ 能得出四边形 ABCD 是平行四边形。 ①和④ ②和③ ③和⑤ 4、 答 B。 解: 设最后一排 k 个人, 共 n 排, 各排人数为 k, k+1, k+2??k+ (n-1) 。 由题意 nk ? ①和⑥ ②和

n(n ? 1) ? 100 , 2 即 n[2k ? (n ? 1)] ? 200,因 k、n 都是正整数,且 n≥3,所以 n ? 2k ? (n ? 1) ,且 n 与 2k ? (n ? 1) 的
奇偶性相同,将 200 分解质因数可知 n=5 或 n=8,当 n=5 时,k=18,当 n=8 时,k=9,共有两种方案。 应选 B。

③和⑥ ④和⑤ ④和⑥ 不能得出四边形 ABCD 是平行四边形。应选 B。

5、答 D。解:由

n n n ? ? ? n ,以及若 x 不是整数,则[x]<x 知,2|n,3|n,6|n,即 n 是 6 的倍数, 2 3 6

因此小于 100 的这样的正整数有 ?

?100? ? ? 16 个。应选 D。 ? 6 ?

6、答 C。解设参加跳舞的老师有 x 人,则第一个是方老师和(6+1)个学生跳过舞;第二是张老师和(6+2) 个学生跳过舞;第三个是王老师和(6+3)个学生跳过舞??第 x 个是何老师和(6+x)个学生跳过舞, 所以有 x+(6+x)=20,∴x=7,20-7=13。故选 C。 7、答 C。解:如图对展室作黑白相间染色,得 10 个白室,15 个黑室,按要求不返回参观过的展室,因此, 参观时必定是从黑室到白室或从白室到黑室(不会出现从黑到黑,或从白到白) ,由于白室只有 10 个, 为使参观的展室最多,只能从黑室开始,顺次经过所有的白室,最终到达黑室,所以,至多能参观到 21 个展室。选 C。 8、选 B。解:4 种花色相当于 4 个抽屉,设最少要抽 x 张扑克,问题相当于把 x 张扑克放进 4 个抽屉,至 少有 4 张牌在同一个抽屉,有 x=3?4+1=13。故选 B。 二、填空题 1、 解: 根据图中①、 ②、 ③的规律, 可知图④中的三角形的个数为 1+4+3?4+32?4+33?4=1+4+12+36+108 =161(个) 2、解:根据题意,如果扑克牌的张数为 2、22、23、??2n,那么依照上述操作方法,剩下的一张牌就是 这些牌的最后一张,例如:手中只有 64 张牌,依照上述操作方法,最后只剩下第 64 张牌,现在手中有 108 张牌,多出 108-64=44(张) ,如果依照上述操作方法,先丢掉 44 张牌,那么此时手中恰有 64 张 牌,而原来顺序的第 88 张牌恰好放在手中牌的最底层,这样,再继续进行丢、留的操作,最后剩下的

就是原顺序的第 88 张牌,按照两副扑克牌的花色排列顺序 88-54-2-26=6,所剩的最后一张牌是第二副 牌中的方块 6。 3、解:百位上的数共有 9 个,十位上的数共有 10 个,个位上的数共有 2 个,因此所有的三位数共 9?10 ?2=180。 4、解:设放在三个盒子里的球数分别为 x 、 y 、 z ,球无区别,盒子无区别,故可令 x ? y ? 0 ,依题意

?x ? y ? z ? 7 1 ,于是 3 x ? 7 , x ? 2 ,故 x 只有取 3、4、5、6、7 共五个值。 3 ?x ? y ? z ? 0 x ? 3 y ① 时, y ? z ? 4 ,则 只取 3、2,相应 z 取 1、2,故有 2 种放法;
有? ② x =4 时, y ? z ? 3,则 y 只取 3、2,相应 z 取 0、1,故有 2 种放法; ③ x =5 时, y ? z ? 2,则 y 只取 2、1,相应 z 取 1、0,故有 2 种放法; ④ x =6 时, y ? z ? 1,则 y 只取 1,相应 z 取 0,故有 1 种放法; ⑤ x =7 时, y ? z ? 0,则 y 只取 0,相应 z 取 0,故有 1 种放法; 综上所求,故有 8 种不同放法。

5、解:先把第 999 个(中间) “-”改为“+” ,然后,对乙的每次改动,甲做与之中心对称的改动,视 数字为点,对应在数轴上,这 1997 个点正好关于点(999)对称。 6、解:由题意说假话的至少有 1 人,但不多于 1 人,所以说假话的 1 人,说真话的 99 人。 三、1、解:1+2+3+??9=45,故正方形的边长最多为 11,而组成的正方形的边长至少有两条线段的和, 故边长最小为 7。 7=1+6=2+5=3+4 8=1+7=2+6=3+5 9+1=8+2=7+3=6+4 9+2=8+3=7+4=6+5 9=1+8=2+7=3+6=4+5 故边长为 7、8、10、11 的正方形各一个,共 4 个。而边长为 9 的边可有 5 种可能能组成 5 种不同的正 方形。所以有 9 种不同的方法组成正方形。 2、证明:利用抽屉原理,按植树的多少,从 50 至 100 株可以构造 51 年抽屉,则问题转化为至少有 5 人 植树的株数在同一个抽屉里。 (用反证法)假设无 5 人或 5 人以上植树的株数在同一个抽屉里,那只有 4 人以下植树的株数在同一个抽屉里,而参加植树的人数为 204 人,每个抽屉最多有 4 人,故植树的总 株数最多有: 4(50+51+52+??+100)=4?

(50 ? 100 ) ? 51 =15300<15301,得出矛盾。因此,至少有 5 人植 2

树的株数相同。 3、解:王华获胜。 王华先取 2 个弹子,将 2000(是 4 的倍数)个弹子留给张伟取,不记张伟取多少个弹子,设为 x 个, 王华总跟着取(4-x)个,这样总保证将 4 的倍数个弹子留给张伟取,如此下去,最后一次是将 4 个弹 子留给张伟取,张伟取后,王华一次取完余下的弹子。 4、 解析在研究与某些元素间关系相关的存在问题时, 常常利用染色造抽屉解题。 17 位科学家看作 17 个点, 每两位科学家互相通信看作是两点的连线段, 关于三个问题通信可看作是用三种颜色染成的线段, 如用 红色表示关于问题甲的通信,蓝色表示问题乙通信,黄色表示问题丙通信。这样等价于:有 17 个点, 任三点不共线,每两点连成一条线段,把每条线段染成红色、蓝色和黄色,且每条线段只染一种颜色, 证明一定存在一个三角形三边同色的三角形。

证明: 从 17 个点中的一点, 比如点 A 处作引 16 条线段, 共三种颜色, 由抽屉原理至少有 6 条线段同色, 设为 AB、AC、AD、AE、AF、AG 且均为红色。 若 B、C、D、E、F、G 这六个点中有两点连线为红线,设这两点为 B、C,则△ABC 是一个三边同为红 色的三角形。 若 B、C、D、E、F、G 这六点中任两点的连线不是红色,则考虑 5 条线段 BC、BD、BE、BF、BG 的 颜色只能是两种,必有 3 条线段同色,设为 BC、BD、BE 均为黄色,再研究△CDE 的三边的颜色,要 么同为蓝色,则△CDE 是一个三边同色的三角形,要么至少有一边为黄色,设这边为 CD,则△CDE 是一个三边同为黄色的三角形。

数学竞赛专项训练(8)参考答案
一、选择题 1、如图过 C 作 CE⊥AD 于 E,过 D 作 DF⊥PB 于 F,过 D 作 C G E D C BE=AE-AB=9,在 Rt△BEC 中,可求得 BC=3 3 ,CE= A =DE-CE=2 3 BC+CD=5 3 。
60°

1 显然 DG=EF= AB=5,CD≥DG,当 P 为 AB 中点时,有 A 2
以 CD 长度的最小值是 5。 2、 如图延长 AB、 DC 相交于 E, 在 Rt△ADE 中, 可求得 AE=16,

D P F B

DG⊥CE 于 G。 CD=DG=5,所

DE=8 3 , 于是 B E 6 3 ,于是 CD

3、由已知 AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF A D 1 ( AD ? AB ? BC ? CD ) ? 11 G 2 E F AE DF B C ? ∵EF∥BC,∴EF∥AD, H EB FC AE DF k 6k k 4k ? ? k , AE ? AB ? ,DF ? CD ? 设 EB FC k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 6k 4k 13k ? 3 13k ? 3 ? ? ? 11 AD+AE+FD=3+ ∴ 解得 k=4 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 ∴AD+AE+FD=EB+BC+CF= 作 AH∥CD,AH 交 BC 于 H,交 EF 于 G, 则 GF=HC=AD=3,BH=BC-CH=9-3=6 ∵

EG AE 4 4 24 ? ? ,∴ EG ? BH ? BH AB 5 5 5

∴ EF ? EG ? GF ?

24 39 ?3? 5 5

4、假设α 、β 、γ 三个角都是锐角,即α <90°,β <90°,γ <90°,也就是 A+B<90°,B+C<90°, C+A<90°。∵2(A+B+C)<270°,A+B+C<135°与 A+B+C=180°矛盾。故α 、β 、γ 不可 能都是锐角, 假设α 、 β 、 γ 中有两个锐角, 不妨设α 、 β 是锐角, 那么有 A+B<90°, C+A<90°, ∴A+(A+B+C)<180°,即 A+180°<180°,A<0°这也不可能,所以α 、β 、γ 中至多只有一个 锐角,如 A=20°,B=30°,C=130°,α =50°,选 A。 5、折叠后,DE=BE,设 DE=x,则 AE=9-x,在 Rt△ABC 中,AB2+AE2=BE2,即 3 ? (9 ? x) ? x ,
2 2 2

解得 x=5,连结 BD 交 EF 于 O,则 EO=FO,BO=DO ∵ BD ? 92 ? 32 ? 3 10
2

∴DO=
2

3 10 2

在 Rt△DOE 中,EO= DE ? DO ?

52 ? (

3 10 10) 2 ? 2 2

∴EF= 10 。选 B。

6、设△ABC 中,AB=AC=a,BC=b,如图 D 是 AB 上一点,有 AD=b,因 a>b,故∠A 是△ABC 的最 小角,设∠A=Q,则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为 Q, 从而它与△ A ABC 全等,所以 DC=b,∠ACD=Q,因有公共底角∠B,所以 有等腰△ Q BC BD b a?b a ? x ? ,即 ADC∽等腰△CBD,从而得 ,即 ? ,令

AB

BC

a

b

D B C

b

得方程 x ? x ? 1 ? 0 ,解得 x ?
2

a 5 ?1 。选 B。 ? b 2

7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360°,故外角中钝角的个数不能超过 3 个,又因为内角与 外角互补, 因此, 内角中锐角最多不能超过 3 个, 实际上, 容易构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。 8、A。设点 A 的坐标为( x, y ) ,则 xy ? 1 ,故△ABO 的面积为 底等高,因此△ABC 的面积=2?△ABO 的面积=1。 二、填空题 1、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为 另一组对边是 AD 和 BC,其长度分别为 a、b,连结 BD,

1 1 xy ? ,又因为△ABO 与△CBO 同 2 2

D A P M N C

M、 N, MN=d, 设 P 是 BD 的

a b 中点,连结 MP、PN,则 MP= ,NP= ,显然恒有 2 2 a?b a?b ,所以 d 与 的大小关系是 2 2 a?b a?b d? (或 ? d) 。 2 2 d?

d?

a?b , 当 2

AD∥BC,由平行线等分线段定理知 M、N、P 三点共线, B

此时有

2、12°。设∠BAC 的度数为 x,∵AB=BB′ ∴∠B′BD=2x,∠CBD=4x ∵AB=AA′ ∴∠AA′B=∠AB A′=∠CBD=4x ∵∠A′AB= ∴

1 (180 ? ? x) 2

1 (180 ? ? x) ? 4 x ? 4 x ? 180 ? ,于是可解出 x=12°。 2

3、以 3,5,7,9,11 构成的三数组不难列举出共有 10 组,它们是(3,5,7) 、 (3,5,9) 、 (3,5,11) 、 (3,7,9) 、 (3,7,11) 、 (3,9,11) 、 (5,7,9) 、 (5,7,11) 、 (5,9,11) 、 (7,9,11) 。由 3+5 <9,3+5<11,3+7<11 可以判定(3,5,9) 、 (3,5,11) 、 (3,7,11)这三组不能构成三角形的边 长,因此共有 7 个数组构成三角形三边长。 E A D 的平行线分别交 4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F,过 P 作 BC a a H G AB、CD 于 G、H。 P b 设 AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d, b 则

AP2 ? a 2 ? c 2,CP 2 ? b 2 ? d 2, BP2 ? b 2 ? c 2, DP 2=d 2 ? a 2
2 2 2 2 2 2 2

B c F

d

C

于是 AP ? CP ? BP ? DP ,故 DP ? AP ? CP ? BP ? 3 ? 5 ? 4 ? 18,
2 2 2 2

DP=3 2 5、①设冬天太阳最低时,甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处,那么图中 CD 的长度就是甲楼的影 子在乙楼上的高度,设 CE⊥AB 于点 E,那么在△AEC 中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,EC=20 米。 所以 AE=EC ? tan?ACE ? 20 ? tan30? ? 20 ?

3 。 ? 11.6 (米) 3
A
16 米 甲 E

CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4(米) ②设点 A 的影子落到地面上某一点 C,则在△ABC 中, AB=16 米,所以

∠ACB=30°, C
20 米

乙 D

B

。所以要使甲楼的影子不影响乙楼,那么乙楼距离甲楼 BC ? AB ? cot ?ACB ? 16? 3 ? 27.7 (米) 至少要 27.7 米。 6、提示:由题意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,设∠PBC=α ,∠ABC=60° 则∠ABP=60°-α ,∴∠BAP=∠PBC=α , ∴△ABP∽△BPC,

AP BP ? ,BP2=AP?PC BP PC

A

BP ? AP ? PC ? 48 ? 4 3
三、解答题 1、证明:如图延长 AD 至 E,使 AD=DE,连结 BE。 ∵BD=DC,AD=DE,∠ADC=∠EDB ∴△ACD≌△EBD ∴AC=BE B D C

E 1 在△ABE 中,AE<AB+BE,即 2AD<AB+AC ∴AD< (AB+AC) 2 在△ABC 中,不妨设 a≤b≤c ∵a+b>c ? a+b+c>2c 即 p>2c ? c< 另一方面 c≥a 且 c≥b ? 2c≥a+b ∴3c ? a ? b ? c ? p ? c ? 因此

2、答案提示:

p , 2

p 。 3

p p ?c? 3 2

3、证明:①∵∠ACB=90°,DE∥BC,DF∥AC,∴DE⊥AC,DE⊥BC, 从而∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°。 ∵CD 是角平分线 ∴DE=DF,即知四边形 CEDF 是正方形。 ②在 Rt△AED 和 Rt△DFB 中, ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B ∴Rt△AED∽Rt△DFB ∴

AE DE ? ,即 DE?DF=AE?BF ∵CD= 2 DE= 2 DF, DF BF
2

∴ CD ?

2DE ? 2DF ? 2DE ? DF ? 2 AE ? BF

4、解:这一问题等价于在 1,2,3,??,2004 中选 k-1 个数,使其中任意三个数都不能成为三边互不 相等的一个三角形三边的长,试问满足这一条件的 k 的最大值是多少?符合上述条件的数组,当 k=4 时,最小的三个数就是 1,2,3,由此可不断扩大该数组,只要加入的数大于或等于已得数组中最大 的两个数之和,所以,为使 k 达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,这样得: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ① 共 16 个数,对符合上述条件的任数组,a1,a2??an 显然总有 ai 大于等于①中的第 i 个数,所以 n≤ 16≤k-1,从而知 k 的最小值为 17。

数学竞赛专项训练(9)参考答案
一、选择题: 1、C。 S ?ABC ? S ?ABD,S ?AOD ? S ?BOC,S ?ACD ? S ?BCD,S ?BCP ? S ?BCD,S ?BCP ? S ?ACD 2、D。连结 AC,有 S ?AGC : S ?ABC ? 1 : 3 ,则

1 1 1 2 S四边形AGCD ? S ?AGC ? S ?ACD ? ? S 矩形ABCD ? S 矩形ABCD= S 矩形ABCD 。 3 2 2 3 3 1 3、B。如图联结 BE, S ?ADE = 1 ? ? , A 4 4 CE ? x ,则 S?ABE ? 1 ? x 设 D AC 1? x 1 1 E S ?A D ? ? ,x ? E 3 4 4 CE 1 ? ∴ B C EA 3
4、A。解: S1 ? AC 2,S 2 ? AD ? AG ,因为 Rt ?ADC ∽ Rt ?ACB , 所以

AD AC 2 ? ,即 AC ? AD ? AB ,又因为 AB=AG, AC AB
E D C

所以 S1 ? AC 2 ? AD ? AG ? S 2 ,所以应选 A。 5、B。解:如图延长 AD,BC 相交于 E,在 Rt△ABE 中, 是 DE=AE,AD=6,又 BE= 3 ,在 Rt△CDE 中,可 CE=4 3 , 于是 BC=BE-CE= 3 , BC+CD=5 3 。 6 、 A 。 解: 由右图 与 左图 的面 积相等 , 得 A
60°

可求得 AE=14, 于 求得 CD=2 3 ,

B

b(b ? a ? b) ? (a ? b) 2 , 已 知 a ? 1 , 所 以 有 b(2b ? 1) ? (b ? 1) 2 , 即 b 2 ? b ? 1 ? 0 , 解 得
(b ? 1) 2 ? ( 3? 5 2 7 ?3 5 ) ? 。 2 2
AD ? AB ? AM ab 1 a 2 ? ( b) 2 2 ? 2ab 4a 2 ? b 2

b?

1? 5 2

,从而正方形的面积为

7、A。解:由△ADE∽△ABM,得 DE=

8、B。 ∵

S ?ABO AO S ?ACO 84 ? y 35 ? x ? ,即 ? ? 40 30 S ?BDO DO S ?CDO

又∵

S ?ABO BO S ?BCO 84 ? y 70 ? ,即 ? ? x 35 S ?BDE OE S ?CEO

∴?

?4 x ? 3 y ? 112 ? x ? 70 ,解之得 ? ?2 x ? y ? 84 ? y ? 56

∴S△ABC=84+40+30+35+70+56=315。 二、填空题 1、 S阴影= ah 。解:延长 AF 交 DC 的延长线于 M,则△ABF≌△MCF, ∴AF=FM,S△ABF=S△CMF。∴S 阴影=S△DFM,∵AF=FM ∴S△ADF=S△MDF ∴ S阴影= S 梯形ABCD

1 2

1 2

∵ S梯形ABCD=ah ,∴ S阴影= ah 。

1 2

1 AD ? 9 ,在 Rt△BMN 2 1 中, BM=15, MN=9。 ∴BN=12, 而 BD=DC=2DN, ∴3DN=12, DN=4, ∴BC=16, S△ABC= AD? BC 2 1 = ?18?16=144。 2 2 3、S△ADE= S。解:∵CE∶EB=1∶2,设 CE=k,则 EB=2k,∵DE∥AC, 9
2、144。解:作 MN⊥BC 于 N,∵AM=MC,MN∥AD,∴DN=NC。∴ MN ? 而 BE∶BC=2k∶3k=2∶3,∴

S ?BDE 4 2 ? ( ) 2 ,S△BDE= S 9 s 3

∵DE∥AC ∴

S 2 AD CE 1 1 AD 1 ? ? ,∴ ?ADE ? ? ,则 S△ADE= S△BDE= S BD BE 2 2 9 S ?BDE BD 2

4、

400 CF CE 2 ? ? ,所以 。解:过点 E 作 EF∥AD,且交 BC 于点 F,则 FD EA 5 1089
FD ?

PQ BP BD 5 5 ? ? ? ? CD ? 。因为 PQ∥CA,所以 EA BE BF 5?2 7

4 4? 5 7

?

28 33

于是 PQ ?

140 。因为 PQ∥CA,PR∥CB,所以∠QPR=∠ACB, 33

因为△PQR∽△CAB 故

S ?PQR S ?CAB

?(

PQ 2 20 400 。 ) ? ( )2 ? CA 33 1089

5、1∶2∶6。解:设 AD=2,则 BC=5,FD=1,EC=3 ∵GF∶GE=FD∶EC=1∶3,GF∶FE=1∶2,S△GFD∶S△FED=GF∶FE=1∶2 显然有 S△EFD∶S△CED=FD∶EC=1∶3,∴S△GFD∶S△FED∶S△CED=1∶2∶6。 6、3 2 。解:过点 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F,过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、CD 于 G 、 H 。 设 AG = DH = a , BG = CH = b , AE = BF = c , DE = CF = d , 则

AP2 ? a 2 ? c 2,CP 2=b 2 ? d 2,BP2 ? b 2 ? c 2,DP2 ? d 2 ? a 2 ,

于是 AP ? CP ? BP ? DP ,故 DP 2 ? AP2 ? CP 2 ? BP2 ? 32 ? 5 2 ? 4 2 ? 18,DP=3 2 。
2 2 2 2

三、解答题 1、设 BC=a,CD=b,由 S ?ABE ?

1 1 1 2 1 S 矩形ABCD ,得 b ? BE= ab 。∴BE= a, 则 EC= a。同理 FC 3 2 3 3 3 1 1 1 1 1 ab 。 = b,∴ S ?CEF= ? a ? b ? 3 2 3 3 18 1 2 ∵ S 梯形AECD ? ( EC ? AD ) ? CD ? ab , 2 3 2 1 1 5 a ? ab ? ab ∴ S ?AEF ? S 梯形AECD-S ?CEF-S ?ADF= ab ? 3 18 3 18 5 ab S ?AEF 18 5 ∴ ? ? 。 1 S ?CEF 1 ab 18

2、答案提示:连结 BE、AD,并把线段之比转化为两三角形面积之比;再约分。 3、解:①因 AD∥BC,AB∥DC,所以 ?Pn ? 2 FD ∽ Pn ? 2 AB, ?P2 BE ∽ P2 DA 从而有

APn?2 BPn?2 n ? 2 AP2 DP2 n ? 2 ? ? , ? ? Pn?2 F Pn?2 D 2 P2 E P2 B 2
所以 EF∥BD



APn?2 AP2 ? Pn?2 F P2 F
②由①可知

DF 2 1 1 ? S ,同理可证 S ?ABE ? S ,所以 S ?AFD ? AB n ? 2 n?2 n?2 DF 2 FC DC ? DF DF n ? 4 ? ? ? 1? ? 显然 ,所以 , DC n ? 2 DC DC DC n ? 2 1 n?4 2 3 ) S ,已知 S ?AEF ? S , 所以有 从而知 S ?ECF ? ( 2 n?2 8
3 1 1 n?4 2 2 (n ? 4) 2 3 S ? S ? 2? S? ( ) S ,即 1 ? ? ? 2 8 n?2 2 n?2 n ? 2 2(n ? 2) 8
解方程得 n=6。 4、证明:①连结 OC、OC1,分别交 PQ、NP 于点 D、E,根据题意得∠COC1=45°。 ∵点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于 1,∴OC 是∠ACB 的平分线。 ∵∠ACB=90° ∴∠OCE=∠OCQ=45° 同理∠OC1D=∠OC1N=45° ∴∠OEC=∠ODC1=90° ∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45° ∴△CPQ 和△C1NP 都是等腰直角三角形。 ∴∠BNM=∠C1NP=45° ∠A1QK=∠CQP=45° ∵∠B=45° ∠A1=45° ∴△BMN 和△A1KQ 都是等腰直角三角形。 ∴∠B1ML=∠BMN=90°,∠AKL=∠A1KQ=90° ∴∠B1=45° ∠A=45° ∴△B1ML 和△AKL 也都是等腰直角三角形。

②在 Rt△ODC1 和 Rt△OEC 中, ∵OD=OE=1,∠COC1=45° ∴OC=OC1= 2 ∴CD=C1E= 2 -1

∴PQ=NP=2( 2 -1)=2 2 -2,CQ=CP=C1P=C1N= 2 ( 2 -1)=2- 2 ∴ S ?CPQ ?

1 ? (2 ? 2 ) 2 ? 3 ? 2 2 2

延长 CO 交 AB 于 H ∵CO 平分∠ACB,且 AC=BC ∴CH⊥AB, ∴CH=CO+OH= 2 +1 ∴AC=BC=A1C1=B1C1= 2 ( 2 +1)=2+ 2 ∴ S ?ABC ?

1 ? (2 ? 2 ) 2 ? 3 ? 2 2 2

∵A1Q=BN=(2+ 2 )-(2 2 -2)-(2- 2 )=2 ∴KQ=MN= ∴ S ?BMN ?

2 2

= 2

1 ? ( 2)2 ? 1 2

∵AK=(2+ 2 )-(2- 2 )- 2 = 2

1 ? ( 2)2 ? 1 2 ? S多边形KLMNPQ =S ?ABC - S ?CPQ - S ?BMN - S ?AKL
∴ S ?AKL ?

      = (3 ? 2 2 )-(3 ? 2 2 ) ? 1 ? 1         ? 4 2 ?2

数学竞赛专项训练(10)参考答案
一、选择题 1、解: S ?BGD ?

1 1 1 S ?ABD ? ? S ?ABC ? 1(cm 2 ) 。选 C。 3 3 2

2、解:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,则∠ABC=60°,因为 EB 是∠B 的外角的平分线,所 以∠ABE=60°, 因为 E 是∠C 的平分线与∠B 的平分线的交点, 所以 E 点到 CB 的距离等于 E 到 AB 的距离,也等于 E 点到 CA 的距离,从而 AE 是∠A 的外角的平分线。 所以 ?BAE ?

150 ? ? 75? ,∠AEB=180°-60°-75°=45°。应选 B。 2

3、解:依题意在等腰三角形 B′CB 中,有∠B′CB=α ,∠B′=90°-20°=70°。 所以α =180°-2?70°=40°,即∠DCA=α =40°, 从而∠BDC=∠DCA+∠A=40°+20° =60°。应选 D。 4、解:设 AD 为中线,则 DG=

1 AG=3,延长 GD 到 G′,DG=DG′=3, 2

S ?GBC ? S ?CGG ? ?

1 ? 8 ? 6 ? 24     S ?ABC ? 3S ?GBC ? 72 。应选 C。 2

5、解:由折叠过程知,DE=AD=6,∠DAE=∠CEF=45°,所以△CEF 是等腰直角三角形,且 EC=8 -6=2,所以 S△CEF=2。故选 A。 6、解:取△ABC 的外心及 BC 中点 M,连 OB、OC、OM,由于∠A=45°,故∠BOC=90°,OM=

1 a, 2

由于 AH=2OM,AH=a。应选 C。 7、解:因为 IA1=IB1=IC1=2r(r 为△ABC 的内切圆半径) ,所以 I 点同时是△A1B1C1 的外接圆的圆心, 设 IA1 与 BC 的交点为 D,则 IB=IA1=2ID,所以∠IBD=30°。同理,∠IBA=30°,于是∠ABC= 60°。故选 C。 8、图中有 6 个直角,每一个直角对应两个直角三角形,共有 12 个直角三角形:△ADB、△ADC、△BEA、 △CFA、△CFB、△HDB、△HDC、△HEC、△HEA、△HFA、 △BEC、△HFB。故选 D。 二、填空题

?BIC ? ?BID ? ?DIC ? (
1、解:

A B A C A ? ) ? ( ? ) ? 90? ? 2 2 2 2 2

    ? 90? ?

40? ? 110? 2

2、解:连 AC,即 AD=a,则在等腰 Rt△ABC 中

AC2 ? AB2 ? BC2 ? 8a 2 ? (3a)2 ? a 2 ? CD2 ? AD2
有∠CAD=90° ∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°。 3、解:设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为 S,则:

S ? S ?ABC ? S ?AD1C ? S ?AEC ? S 矩形ABCD ? S ?AEC S ?AEC ? 1 5 AB ? EC ? EC 2 2

由 Rt△ABE≌Rt△CD1E 知 EC=AE

设 EC=x,则 AB ? BE ? x ,即 52 ? (12 ? x) 2 ? x 2
2 2 2

169 5 169 845 845 2035    S ?AEC ? ? ?    S ? 5 ? 12 ? ? 24 2 24 48 48 48 15 4、解:答: 15 。 59 1 1 设 OA 边上的高为 h,则 h≤OB,所以 S ?OAB ? OA ? h ? OA ? OB 2 2
解得: x ? 当 OA⊥OB 时,等号成立,此时△OAB 的面积最大。 设经过 t 秒时,OA 与 OB 第一次垂直,又因为秒针 1 秒钟旋转 6 度,分针 1 秒钟旋转 0.1 度,于是(6 -0.1)t=90,解得 t= 15

15 。 59
∴△BCD、△DAB 均为等腰三角形。

5、解:设等腰三角形底边为 a,腰为 b,作底角∠B 的平分线交 AC 于 D,则

?B ?

1 (180 ? ? 36?) ? 70 ? 2


BD=AD=BC=a,而 CD=b-a 由△BCD∽△ABC

BC CD a b?a ?   即 ? AB BC b a

则有 ( ) ? ( ) ? 1 ? 0  解得
2

a b

a b

a 5 ?1 (取正) ? b 2
A G E B 于 G、K,则有

6、解:如图分别过 B、C 两点作 BG、CK 平行于 AM 交直线 EF

BE BG CE CK ?    ? AE AP AF AP BE CF BG ? CK ? ? 两式相加 AE AF AP
由 P 为重心得 AP=2PM 故

1 又梯形 BCKG 中, PM= 2

D M

F K (BG+CK) ,而 C

BE CF 2 PM ? ? ?1 AE AF 2 PM

三、解答题 1、证明:∵正方形 ABCD ∴OA⊥DE ∵DF⊥AE ∴F 是△DAE 的垂心 ∴EF⊥AD ∴EF∥AB ∵OA=OB ∴OE=OF 2、证明:①如图,据题设可知 DM 平行且等于 BN,DN 平行且等于 AM, ∴∠AMD=∠BND ∵M、N 分别是 Rt△AEP 和 Rt△BFP 斜边的中点 ∴EM=AM=DN FN=BN=DM 又已知 DE=DF ∴△DEM≌△DFN ②由上述全等三角形可知∠EMD=∠FND ∴∠AME=∠BNF 而△AME、△BNF 均为等腰三角形 ∴∠PAE=∠PBF。 A 3、证明:连结 MC ∵AB=BC,AD⊥BC ∴∠1=∠2=∠3 ∵∠4=∠5=∠6 又∵∠7=∠8 ∴M 是△AEC 的内心 78 M E
3 2

N
1

5 4

6

∴EM 是∠AEN 的平分线 ∴

AE AM ? EN MN

又∵∠EBN=2∠NBD=2∠1 ∠ENB=∠NBD+∠4=2∠1 ∴EB=EN ∴

AE AM ? EB MN


∴EN∥BN

4、证明:①如图: 则有∠PBM=

因为 M 是 BC 的中点,P 是 BC 的中点,所以 MP⊥BC,∠BPM=90°,连结 AB,

1 1 1 ∠CAB= (180°-∠DAB)=90°- ∠DAB=90°-∠NBD=∠QNB。 2 2 2

所以 Rt△BPM∽Rt△NQB。于是有

BP NQ ? MP BQ

②因为 KP∥BD,且 KP=

1 BD=BQ,所以,四边形 PBQK 是平行四边形。于是,有 BP=KQ BQ 2 KQ NQ ? =KP 由式①得 。又∠KPM=∠KPB+90°=∠KQB+90°=∠NQK,所以△KPM∽ MP KP
△NQK。

结束


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