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排列、组合习题课_图文

排列、组合习题课
2010.6

排列数公式: n! P ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? (n ? m)! 组合数公式: Pnm n( n ? 1)( n ? 2)...( n ? m ? 1) n! m Cn ? ? ? m! m! m !( n ? m )! 衍生: k k? 1.kC n ? nC n?11 0 1 2 n 2.C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? 2n 组合数的性质: m n n( n ? 1) 0 1 2 n ?1 n ?1 1.Cn ? Cn ? m 3.C1 ? C 2 ? C 3 ? ? ? C n ? C n?1 ? m m m ?1 2 2.Cn ? Cn?1 ? Cn?1 1 2 3 n 4.C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nC n ? n ? 2n?1 ?????? m 0 m 1 m 2 m m 推广:Cn ? Ck Cn?k ? CkCn??k1 ? Ck Cn??k2 ? ?? CkkCn??kk
m n

练习: (1)若m ? N *,则乘积m ( m ? 1)( m ? 2)? ( m ? 20) 用排列数表示为
*

21 Pm?20
x2 ? x 16


5 ? C16x ? 5的解集是

(2)若x ? N ,则C

{1,3}




m m m m (3)计算:C n ?1 ? C n?1 ? C n??1 ? C n?1 ? 1

0

(4)1 ? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n ! ? 100!? 1,则n ?
1 m 2 m 3 m m m

99。

1 m ? 2m ?。 (5)化简:C ? 2C ? 3C ? ? ? mC ?

一、邻不邻问题
例2.求3名男生,4名女生的不同的排法总数. (1)若全体排成一行. 2160 ①甲只能在中间或两端。 3720 ②甲不在最左边,乙不在最右边。
③其中男生必须排在一起。 ④男女生各不相邻。 720 144 2520

⑤甲必须在乙的左边。

240 ⑥甲、乙、丙三人的顺序不改变且不相邻。 5040 (2)排成前后两排,前排3人,后排4人。

二、平均分组与平均分配工作问题 3本不同的书平均分成三堆,有 1 种不同的分 法。平均分给3个学生,有 6 种不同的分法。
6本不同的书平均分成三堆,有15种不同的分 法。平均分给3个学生,有90种不同的分法。 某医院6名护士被分配到3个不同的岗位工作, 每个岗位2名护士,不同的分配方案共有 种。如果再加上3名医生也要平均分配到这三 个岗位,则不同的分配方案共有几种。 540

三、对号入座问题
把编号分别为1、2、3、4的4个小球放入编号 分别为1、2、3、4的 4个盒子中,恰有两个空 盒的放法有几种?每盒一个,且恰有两个小球 与盒子的编号相同的放法有几种?

(1)C C P ? C C ? 84 ? ? ? ? ? ①② ③ ④ ⑤
2 4 1 4 2 2 2 4 2 4

(2)C ? 6
2 4

①挑2个盒子装球; ②将球分成1+3的两组;③放入盒子中

④挑2个盒子装球; ⑤挑2个球装入第一个盒子中

四、多排问题
8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素, 其中某2个元素要排在前排,某1个元素要排 在后排,求不同的排法种数.

P P P ? 5760
2 1 5 4 4 5

9人排成3排,每排3人,甲排第二排,乙、丙 排在第三排,求不同的排法种数 .

P P P ? 12960
2 1 6 3 3 6

五、定序问题
有7个高矮不等的人排成一行,其中最高的恰好 在中间,而从中间向两边看正好由高到矮,求 不同的排法种数.

C ? 20
3 6

对于五位数abcde, a ? b ? c, c ? d ? e, 若 且 则 称之为五位“凸数”, 则这样的数有多少个?

C C ? C C ? 3024
5 10 2 5 4 9 1 4

六、逆向思考问题
某值日干部要抽查一排12个学生寝室中的4个, 要求这四个寝室不相邻且不在两端,问有多少 种不同的抽查方案?

C ? 35
某走廊有一排10盏路灯,为节约用电,决定关 掉其中的三盏,为了不影响照明,要求关掉的 三盏路灯既不相邻,也不在两端,问有多少种 不同的关灯方案?
4 7

C ? 20
3 6

七、多项技能工作安排问题
某旅行社共有翻译10名,其中7人会英语,5人 会日语,现需要派出2名英语翻译和2名日语翻 译,则不同选派方法有几种? 0 2 2 1 1 2 2 2 C5 C2 C3 ? C5C2C4 ? C5 C5 ? 163 某划艇队共有船员12名,其中8人会划左舷, 7人会划右舷,现需要派出6名船员(3左3右)参 加划艇比赛,则不同选派方法有几种?
C C C ? C C C ? C C C ? C C C ? 1104
0 5 3 3 3 4 1 5 2 3 3 5 2 5 1 3 3 6 3 5 0 3 3 7

八、其他问题
A、B、C、D为海上的四个小岛,建三座 桥将四个岛连接起来,不同的建桥方案共 有 种。 B A

C ? 4 ? 16
3 6

对于正整数n,定义“n的双阶乘n !!" 如下: 当n为偶数时,n !! ? n ? ? n ? 2 ? ? ? n ? 4 ? ? 6 ? 4 ? 2 当n为奇数时,n !! ? n ? ? n ? 2 ? ? ? n ? 4 ? ? 5 ? 3 ? 1 现有如下四个命题,①(2010)!!? (2009)!! ? 2010! ②(2010)!! ? 21005 ? 1005!;③(2010)!!的个位数是0; ④(2009)!!的个位数是5.其中正确的命题有

C

D