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一一元二次方程根判别式与韦达定理


一、根的判别式
? ?1.概念:对于一个一元二次方程ax2 +bx+c=0(a ? 0)来说,b2 ? 4ac称为根的判别式,记为?。 ? ? ?? ? 0时,方程有2个不相等的根 ? ? ? 根的判别式 ?2.意义: ?? ? 0时,方程有2个相等的根 ? ?? ? 0时,方程没有实数根 ? ? ? 2 ?3.公式法:解为x ? ?b ? b ? 4ac , 即为x ? ?b ? ? ? 2a 2a ?

【典型例题】
1.当 m 取什么值时,关于 x 的方程 x 2 ? 2(2m ? 1) x ? (2m ? 2) 2 ? 0 。 (1)有两个相等实根; (2)有两个不相等的实根; (3)没有实根。

2.当 m 为什么值时,关于 x 的方程 (m ? 4) x ? 2(m ? 1) x ? 1 ? 0 有实根。
2 2

3.已知关于 x 的方程 k x ? (2k ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x1 、 x2 ,问是否存在
2 2

实数 k , 使方程的两实数根互为相反数?如果存在, 求出 k 的值; 如果不存在, 请说明理由。

【课堂练习】
一、填空题: 1、下列方程① x 2 ? 1 ? 0 ;② x 2 ? x ? 0 ;③ x 2 ? x ? 1 ? 0 ;④ x 2 ? x ? 0 中,无实根的 方程是 。 。

2、已知关于 x 的方程 x 2 ? m x ? 2 ? 0 有两个相等的实数根,那么 m 的值是 二、选择题: 1、下列方程中,无实数根的是( A、 x ? 1 ? 1 ? x ? 0 ) B、 2 y ? 6 ? 7 y

C、 x ? 1 ? 2 ? 0

D、 x 2 ? 3x ? 2 ? 0

2、若关于 x 的一元二次方程 (m ? 2) 2 x 2 ? (2m ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实根,则 m 的 取值范围是( A、 m ? ) B、 m ≤

3 4

3 4

C、 m ?

3 且 m ≠2 4

D、 m ≥

3 且 m ≠2 4

3、在方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ≠0)中,若 a 与 c 异号,则方程( A、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根

) D、无法确定

一、试证:关于 x 的方程 mx2 ? (m ? 2) x ? ?1 必有实根。

2 二、 已知关于 x 的方程 x ? m x ? 2m ? n ? 0 的根的判别式为零, 方程的一个根为 1, 求m 、

n 的值。

三 、 已 知 关 于 x 的 方 程 x 2 ? (2m ? 1) x ? m 2 ? 2 ? 0 有 两 个 不 等 实 根 , 试 判 断 直 线 ,并说明理由。 y ? (2m ? 3) x ? 4m ? 7 能否通过 A(-2,4)

四、已知关于 x 的方程 x 2 ? 2(m ? 2) x ? m 2 ? 0 ,问:是否存在实数 m ,使方程的两个实 数根的平方和等于 56?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。

二、根与系数的关系(韦达定理) :
2 如果 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个根是 x1 , x2 , 则 x1 ? x 2 ? ?

b c , x1 ? x 2 ? a a

以 x1 和 x2 为根的一元二次方程为:x2-( x1+x2)x+ x1x2=0

【典型例题】
1、求待定系数及另一根 例题: 1.已知 3- 2 是方程 x +mx+7=0 的一个根,则 m=________,另一根为_______.
2

2.已知关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 两根之积为 12,两根的平方和为 25,写出 符合此条件的一个方 程



3. 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2 ? kx ? 4k 2 ? 3 ? 0 的 两 个 实 数 根 分 别 是 x1 , x2 , 且 满 足
x1 ? x2 ? x1 x2 .则 k 的值为

。 ;k

2 4. 关 于 x 的 方 程 2 x ? kx ? 4 ? 10 的 一 个 根 是 - 2 , 则 方 程 的 另 一 根 是

= 。 2.根与系数的关系与判别式的应用 例题 1.已知关于 x 的方程 x ? 2(m ? 2) x ? m ? 5 ? 0 有两个实数根, 并且这两个根的平方和比
2 2

这两个根的积大 16,求 m 的值。

2.已知 x1 、x2 是关于 x 的一元二次方程 4 x ? 4(m ? 1) x ? m ? 0 的两个非零实数根, 问:
2 2

x1 与 x2 能否同号?若能同号请求出相应的 m 的取值范围;若不能同号,请说明理由。

【课堂练习】
1.已知方程 x +(2k+1)x+k -2=0 的两实根的平方和等于 11,k 的取值是( A.-3 或 1 B.-3 C.1 D.3 )
2 2



2.若 ? , ? 是方程 x2 ? 2 x ? 2005 ? 0 的两个实数根,则 ? 2 ? 3? ? ? 的值为( A.2005 B.2003
2

C.-2005

D.4010

3. 若关于 x 的一元二次方程 2x -2x+3m-1=0 的两个实数根 x1, x2, 且 x1· x2>x1+x2-4, 则实数 m 的取值范围是 A.m> ?

5 3

B. m≤

1 2

C.m< ?

5 3

D. ?

5 1 <m≤ 2 3

4 . 若关 于 x 的 一元二次方程 x 2 ? kx ? 4k 2 ? 3 ? 0 的 两个实数根 分别是 x1 , x2 , 且满 足
x1 ? x2 ? x1 x2 .则 k 的值为(

) B.-1 C.
3 4

A .-1 或

3 4
2

D.不存在 ) D. p < 0 且

5.关于 x 的方程 x ? px ? q ? 0 的两根同为负数,则( A. p > 0 且 q > 0 B. p > 0 且 q < 0

C. p < 0 且 q > 0

q< 0
6.已知一元二次方程 x2-2x-1=0 的两个根是 x1,x2,则 x1+x2= x12+x22= ;
2 2 2

,x1x2=



7.若是 m,n 方程 x +2002x-1=0 的两个实数根,则 m n+mn -mn 的值为 8.反比例函数 y ?

k 2 的图象经过点 P( a 、b ) ,其中 a 、b 是一元二次方程 x ? kx ? 4 ? 0 x

2

的两根,那么点 P 的坐标是

2 9.已知 x1 、 x2 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根,则 4 x1 ? 12x2 ? 11的值为



10、已知关于 x 的方程 x ? 2(m ? 1) x ? m ? 3 ? 0
2 2

(1)当 m 取何值时,方程有两个不相等的实数根?

(2)设 x1 、 x2 是方程的两根,且 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 12 ? 0 ,求 m 的值。
2


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