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新人教版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末优化总结优化练习新人教A版选修2_2

第三章 数系的扩充与复数的引入

章末检测(三) 时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)

1.已知复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1· z 2 是实数,则实数 t 等于( )

B.43

A.34

3 D.-4

4 C.-3

解析:z1· z 2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i.因为 z1· z 2 是实数,所以 4t-

3=0,所以 t=34.因此选 A.

答案:A

2.已知 f(x)=x2,i 是虚数单位,则在复平面中复数

+ 3+i

对应的点在(

)

B.第二象限

A.第一象限

D.第四象限

C.第三象限

解析:因为函数 f(x)=x2,所以 f(1+i)=(1+i)2,化简得 f(1+i)=2i,

所以

+ 3+i

=32+ii=



-i -

=2+106i=1+53i=15+35i.根据复数的几何



13

意义知, 3+i 所对应的点的坐标为(5,5),所以其对应的点在第一象限.故应选 A.

答案:A 3.(2014·高考辽宁卷)设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( )

B.2-3i

A.2+3i

D.3-2i

C.3+2i

解析:由(z-2i)(2-i)=5 得 z=2-5 i+2i=







+2i=

+ 5 +2i

=2+3i,选 A.

答案:A

4.已知复数 z=-12+ 23i,则 z +|z|=(

)

B.-12+ 23i

A.-12- 23i

D.12- 23i

C.12+ 23i

解析:因为 z=-12+ 23i,所以 z +|z|=-12- 23i+ ???-12???2+??? 23???2=12- 23i.
答案:D 5.若 z=cos θ +isin θ (i 为虚数单位),则使 z2=-1 的 θ 值可能是( )
A.π6 B.π4

D.π2

C.π3

解析:∵z2=cos



+isin



=-1,∴???cos ??sin

2θ 2θ

=-1, =0.

∴2θ =2kπ +π (k∈Z),

∴θ =kπ +π2 .令 k=0 知,D 正确.

答案:D 6.若关于 x 的方程 x2+(1+2i)x+3m+i=0 有实根,则实数 m 等于( )

A.112B.112i

D.-112i

C.-112

解析:设方程的实数根为 x=a(a 为实数),

则 a2+(1+2i)·a+3m+i=0,∴???a2+a+3m=0, ??2a+1=0,

??a=-12, ∴???m=112.

故选 A.

答案:A

7.实数 x,y 满足(1+i)x+(1-i)y=2,则 xy 的值是( )

B.1

A.0

D.3

C.2

解析:由题意得 x+y+(x-y)i=2,

∴???x+y=2, ??x-y=0,

∴???x=1, ??y=1, ∴xy=1.

答案:B

8.设 O 为原点,向量→OA,→OB对应的复数分别为 2+3i,-3-2i,那么向量B→A对应的复

数为( )

B.1-i

A.-1+i

D.5+5i

C.-5-5i

解析:∵由已知O→A=(2,3),O→B=(-3,-2),

∴B→A=O→A-O→B=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),

∴B→A对应的复数为 5+5i.

答案:D

9.已知复数 z=(x-2)+yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为

y 3,则x的最大值

是( )

A.

23B.

3 3

1

D. 3

C.2

解析:因为|(x-2)+yi|= 3,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x,

y)在以 C(2,0)为圆心,以 3为半径的圆上,如图,由平面几何知识知

y - 3≤x≤ 3.

答案:D

10.已知复数 a=3+2i,b=4+xi(其中 i 为虚数单位,x∈R),若复数ab∈R,则实数 x

的值为( )

A.-6

B.6

C.83

D.-83

a 3+2i 解析:b=4+xi= =83.





16+x2

=1162++x22x+???186-+3xx2???·i∈R,∴186-+3xx2=0,∴x

答案:C 11.设 z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是( ) A.z 对应的点在第一象限 B.z 一定不为纯虚数

C. z 对应的点在实轴的下方

D.z 一定为实数 解析:∵t2+2t+2=(t+1)2+1>0,∴z 对应的点在实轴的上方.

又∵z 与 z 对应的点关于实轴对称,∴C 项正确.

答案:C 12.(2013·高考陕西卷)设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( ) A.若 z2≥0,则 z 是实数 B.若 z2<0,则 z 是虚数 C.若 z 是虚数,则 z2≥0 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),

选项 A,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi≥0,则???ab=0, ??a2≥b2,
为实数,正确.

故 b=0 或 a,b 都为 0,即 z

选项 B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0,则???ab=0, 则???a=0, 故 z 一定为虚数,

??a2<b2,

??b≠0,

正确.

选项 C,若 z 为虚数,则 b≠0,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,由于 a 的值不确定,故

z2 无法与 0 比较大小,错误.

选项 D,若 z 为纯虚数,则???a=0, 则 z2=-b2<0,正确. ??b≠0
答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 13.已知 x+1x=-1,则 x2 014+x2 1014的值为________.

解析:∵x+1x=-1,∴x2+x+1=0.∴x=-12± 23i,∴x3=1. ∵2 014=3×671+1,∴x2 014=x,∴x2 014+x2 1014=x+1x=-1. 答案:-1 14.已知复数 z1=cos α +isin α ,z2=cos β +isin β ,则复数 z1·z2 的实部是 ________. 解析:z1·z2=(cos α +isin α )(cos β +isin β )=cos α cos β -sin α sin β +(cos α sin β +sin α cos β )i

=cos(α +β )+sin(α +β )i. 故 z1·z2 的实部为 cos(α +β ). 答案:cos(α +β ) 15.若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数 x、y 的值分别为 x=________,y= ________. 解析:原式可以化为(3y-2x)+(x-10y)i=1-9i,

根据复数相等的充要条件,有???3y-2x=1, 解得???x=1,

??x-10y=-9.

??y=1.

答案:1 1

16.已知复数 z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ +(λ + 3cos θ )i(λ ∈R),若 z1=z2,则 λ 的取值范围是________.

解析:因为 z1=z2,所以?????m4= +2m=cλos+θ3,cos θ . 消去 m 得 λ =4-cos θ .又因为-

1≤cos θ ≤1,

所以 3≤4-cos θ ≤5,所以 λ ∈[3,5].

答案:[3,5]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤)

17.(本小题满分 12 分)复数 z=(a2+1)+ai (a∈R)对应的点在第几象限?复数 z 对

应的点的轨迹方程是什么?

解析:因为 a2+1≥1>0,复数 z=(a2+1)+ai 对应的点为(a2+1,a),所以 z 对应的

点在第一、四象限或实轴的正半轴上.设 z=x+yi(x,y∈R),则

??x=a2+1,
?

消去 a 可得 x=y2+1,所以复数 z 对应的点的轨迹方程是 y2=x-1.

??y=a,

18.(本小题满分 12 分)(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,|z|=1,且 z

+ z =1,求 z;

(2)已知复数 z=15-m22i-(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数 m 的值.

解析:(1)设 z=a+bi(a、b∈R),由题意得???a2+b2=1, ??2a=1.
∵复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,

解得 a=12,b=± 23.

∴b=- 23.∴z=12- 23i.

(2)z=15-m22i-(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i,

依题意得???m2-m-6=0, ??2m2-5m-3≠0.

??m=-2或m=3, 解得???m≠-12且m≠3.

∴m=-2.

19. (本小题满分 12 分)虚数 z 满足|z|=1,z2+2z+1z<0,求 z. 解析:设 z=x+yi(x、y∈R,y≠0),∴x2+y2=1. 则 z2+2z+1z=(x+yi)2+2(x+yi)+x+1yi=(x2-y2+3x)+y(2x+1)i. ∵y≠0,z2+2z+1z<0,

∴???2x+1=0,① ??x2-y2+3x<0,②
又 x2+y2=1.③

??x=-12,

? 由①②③得 ??y=±

23.

∴z=-12± 23i.

20.(本小题满分 12 分)满足 z+5z是实数,且 z+3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是 否存在?若存在,求出虚数 z,若不存在,请说明理由.
解析:存在.
设虚数 z=x+yi(x、y∈R,且 y≠0).z+5z=x+yi+x+5yi=x+x25+xy2+???y-x25+yy2???
i.

由已知得???y-x25+yy2=0, ??x+3=-y.

∵y≠0,∴???x2+y2=5, ??x+y=-3.

解得???x=-1, 或???x=-2,

??y=-2,

??y=-1.

∴存在虚数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足以上条件.

21.(本小题满分 13 分)已知 z1=(3x+y)+(y-4x)i,

z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,y∈R),设 z=z1-z2=13-2i,求 z1,z2.

解析:z=z1-z2 =(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i] =[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i =(5x-3y)+(x+4y)i, 又∵z=13-2i,且 x,y∈R,

∴???5x-3y=13, 解得???x=2,

??x+4y=-2,

??y=-1,

∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,

z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.

22.(本小题满分 13 分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1、2、3、

4、5、6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b.

(1)设复数 z=a+bi(i 为虚数单位),求事件“z-3i 为实数”的概率;

?? a-b+2≥0, (2)求点 P(a,b)落在不等式组?0≤a≤4,
??b≥0.

表示的平面区域内(含边界)的概率.

解析:(1)z=a+bi(i 为虚数单位),z-3i 为实数,则 a+bi-3i=a+(b-3)i 为实数,

则 b=3.

依题意得 b 的可能取值为 1、2、3、4、5、6,故 b=3 的概率为16.

即事件“z-3i

1 为实数”的概率为6.

(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表:

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

由上表知,连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果. 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).

由图知,点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内的结果有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、 (2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、
(4,6),共 18 种. 所以点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P=1386=12.


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