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四川省成都七中2014届高三下学期开学考试数学(文)试题

四川省成都七中 2014 届高三下学期开学考试数学文试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1. 设集合 U ? ?1,2,3,4,5,6? , M ? ?1, 2, 4? ,则 CU M ? A. U B. ?1,3,5? C. ?3,5,6? D. ?2,4,6? ) ( )

2. 若复数 z 满足 z (2 ? i) ? 5i ( i 为虚数单位),则 z 为 ( A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i 3. 公差为 2 的等差数列 {an } .若 a4 是 a3与a7 的等比中项,则 a1 ? ( ) A. 2 B. 3 C. ?2 D. ?3 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 4. 若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 x ? y 的最大值为( ) ? x ? y ?1 ? 0 ?
( (C

A. 1 B. ?1 C. 9 D. ?9 5 将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视图为 (



6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等 于( )
2 2

A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D . 1 7.把函数 y ? cos 2 x ? 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位 长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是( )

8. 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( A.



9.给出定义:若函数 f ( x) 在 D 上可导,即 f ?( x) 存在,且导函数 f ?( x) 在 D 上也可导,则称函数 f ( x) 在

? ??

B.

? ?

C .

? ?

D.

? ?

D 上存在二阶导函数,记 f ??( x) ? ( f ?( x))? .若 f ??( x) ? 0 在 D 上恒成立,则称函数 f ( x) 在 D 上为凸函数,
以下四个函数在 (0,

?
2

) 上不是凸函数的是

(

)

A. f ( x) =sin x+cos x

B. f ( x) =ln x-2x

C. f ( x) =-x +2x-1

3

D. f ( x) =xe

x

10.对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ?

? ?? ,若平面向量 a 、 b 满足 a ? b ? 0 , a 与 ? ??


?n ? ? b 的夹角 ? ? (0, ) ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? n ? Z ? 中.则 a ? b 的取值个数最多为( 4 ?3 ? A.2 B. 4 C .6 D. 8
二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置.) 11. 命题“ ?x0 ? ?R Q , x03 ? Q ”的否定是

? ? ? ? 12.已知 a ? (1, 2k ? 1), b ? (k ,1) ,若 a ? b , 则 k ?

13.椭圆

x2 3 y 2 ? ? 1 上点 P(1,1) 处的切线方程是 4 4

14. 将边长为 1 m 的正三角形薄铁片,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记
(梯形的周长)2 ,则 s 的最小值是________. 梯形的面积 15. 已 知 定 义 在 (?1,0) 上 的 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 如 图 所 示 , 对 于 满 足 s?
y

? 1 ? x1 ? x2 ? 0 的任意 x1 , x 2 给出下列命题: (1)当 x ? (?1,0) 时, x ? f ( x) ; (2)当 x ? (?1,0) 时,导函数 f ?( x) 为增函数; (3) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; (4) x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) .

-1 O -1 1 x

其中正确的命题序号是 (把所有正确命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.其中 16-19 每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分。解答应写出 文字说明,证明过程或演算步骤.)

16. 已知 f (t ) ?

1? t ? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? ( , ? ). 1? t 2 (1)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [?? , ? ) )的形式;
(2)若 f ( x0 ) ?

4 2 ? 3? ? ,且 x0 ? ( , ) ,求 f ( x0 ? ) 的值. 5 4 2 4

17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.
乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示. (1) 如果 X=8, 求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同 学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率. (注:方差

1 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ( xn ? x) 2 ], 其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均数) n
18. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 2n, 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 2 ? bn
2

(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 An .
w.w.w.

19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , , . 于 PA ? AD ? 4 AB ? 2 BM ? PD M . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角的正切值; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离.

P

M

A

D

O B C

20.设函数 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? 2 x 2 ? b( x ? R) ,其中 a,b∈R. 10 (1)当 a ? ? 时, 讨论函数 f(x)的单调性; 3
(2)若函数 f(x)仅在 x=0 处有极值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,0]上恒成立,求b的取值范围.

21. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的垂直平分
线上一点,且满足∠MPO=∠AOP. (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T (1, ?1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T (1, ?1) 且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜率 k 的取值 范围.

成都七中高 2014 届高三下期入学考试数学试卷(文科参考答案)
CADCB BADDC 3 14.3

11.

,

12.

13.

15.(1)(2)(4)

16. 解(1)



⑵因为 由 ,知

,由⑴有 .所以 .

,即

.

.

17 解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10.

所以平均数为

方差为 (2)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11;乙组四名同学 为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4), (A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4), (A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4). 用 C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是:(A1,

B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为 18. 解(1)由于

当 又当

时, 时

数列

是等比数列,其首项为 1,公比为

(2)

.

?

?

? ?得

所以

.

19. 解:方法一: (1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD. (2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD, 则AB∥MN∥CD, 由(1)知,PD⊥平面ABM,则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影, 所以 就是 与平面 所成的角,且 .

(3)因为 O 是 BD 的中点,则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半, 由(1)知,PD⊥平面ABM于 M,则|DM|就是 D 点到平面 ABM 距离. 因为在 Rt△PAD 中, 的距离等于 。 , ,所以 为 中点, ,则 O 点到平面 ABM

方法二:(1)同方法一; (2)如图所示,建立空间直角坐标系, 则 设平面 , , , ,由 , , , 可得:

的一个法向量

,令

,则

,即

. 设 所 求 角为

,则

,所以

(3)设所求距离为 ,由 ,得: 3 2 2 20.解 (1)f′(x)=4x +3ax +4x=x(4x +3ax+4). 10 2 当 a=- 3 时,f′(x)=x(4x -10x+4)=2x(2x-1)(x-2). 1 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2,x3=2.

x f′ (x) f(x)

(-∞,0) - 单调递减

0 0 极小值 + 单调递增

1 2 0 极大值 - 单调递减

2 0 极小值

(2,+∞) + 单调递增

所以 f(x)在
2

和(2,+∞)上是增函数,在(-∞,0)和
2

上是减函数.

(2)f′(x)=x(4x +3ax+4),显然 x=0 不是方程 4x +3ax+4=0 的根. 2 由于 f(x)仅在 x=0 处有极值,则方程 4x +3ax+4=0 有两个相等的实根或无实根, 8 8 2 Δ =9a -4×16≤0,解此不等式,得-3≤a≤3.这时,f(0)=b 是唯一极值.

因此满足条件的 a 的取值范围是
2

.

(3)由(2)知,当 a∈[-2,2]时,4x +3ax+4>0 恒成立. ∴当 x<0 时,f′(x)<0,f(x)在区间(-∞,0]上是减函数.因此函数 f(x)在[-1,0]上的最大值是 f(-1). 又∵对任意的 a∈[-2,2],不等式 f(x)≤1 在[-1,0]上恒成立,∴f(-1)≤1,即 3-a+b≤1. 于是 b≤a-2 在 a∈[-2,2]上恒成立.∴b≤-2-2,即 b≤-4. 因此满足条件的 b 的取值范围是(-∞,-4].

21.解:(1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

因此





另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧)。 MQ 为线段 OP 的垂直平分线, 又 为分析 的变化范围,设 因此 M 在 轴上,此时,记 M 的坐标为 为 上任意点

由 故

(即 的轨迹方程为 ②

)得,

综合①和②得,点 M 轨迹 E 的方程为 (2)由(1)知,轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成(见图 3): ;



时,过T作垂直于 的直线,垂足为

,交 E1 于



再过 H 作垂直于 的直线,交 因此, (抛物线的性质)。 (该等号仅当 当 时,则 重合(或 H 与 D 重合)时取得).

综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时点 H 的坐标为 (3)方法 1: 由图 3 知,直线 的斜率 不可能为零。 设



的方程得:

因判别式 所以 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。 又由 E2 和 的方程可知,若 与 E2 有交点,

则此交点的坐标为 与轨迹 E 有三个不同的交点。

有唯一交点

,从而

因此,直线

的取值范围是

方法 2: 由图 3 可计算 因为 在抛物线 内部,当

, 时必与抛物线 有两个不同交点,

所以直线

的取值范围是


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