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高中数学必修一 专题三 函数的定义域和值域(含详解)


专题三 函数的定义域和值域
一.选择题(共 12 小题) 1.函数 A. (﹣1,+∞) ∪(1,+∞) 2.已知函数 f(x)= 的定义域为(1,2) ,则函数 f(x2)的定义域是( D. (﹣ ,﹣1)∪(1, ) ) ) 的定义域是( ) D. [﹣1, 1)

B. (﹣1,1)∪(1,+∞) C.[﹣1,+∞)

A. (1,2) B. (1,4) C.R 3.已知函数 f(x)= A.a>

的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(

B.﹣12<a≤0 C.﹣12<a<0 D.a≤

4.集合 A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不能表示从 A 到 B 的函数的是 ( A. ) B.f:x→y=2﹣x C. D. )

5.下列图形中,不能表示以 x 为自变量的函数图象的是(

A.

B.

C



D. 6.下列函数与函数 y=x 相等的是( A. B. C. ) D. )

7.如图所示,可表示函数图象的是(

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A.① B.②③④ C.①③④ D.② 8.下列四组函数,表示同一函数的是( A. B. C. D.f(x)=|x+1|,g(x)= 9.已知函数 f(x)= A. 10.若函数 y= ,x∈{1,2,3}.则函数 f(x)的值域是( ) ,g(x)=x )

B. (﹣∞,0] C.[1,+∞) D.R 的值域为[0,+∞) ,则 a 的取值范围是( )

A. (3,+∞) B.[3,+∞) C. (﹣∞,0]∪[3,+∞) D. (﹣∞, 0) ∪[3, +∞) 11.二次函数 f(x)=x2﹣4x+1(x∈[3,5])的值域为( A.[﹣2,6] 12.若函数 B.[﹣3,+∞) C.[﹣3,6] )

D.[﹣3,﹣2] )

的定义域、值域都是[2,2b],则( D.b=1 或 b=2

A.b=2 B.b∈[1,2] C.b∈(1,2)

二.填空题(共 4 小题) 13.函数 f(x)= 14.函数 15.函数 y= 16.函数 的定义域为 的定义域是 ,值域为 . . .

的定义域为 R,则 k 的取值范围 的值域为 .

第 2 页(共 14 页)

三.解答题(共 6 小题) 17.求下列函数的定义域: (1) (2) 18.已知函数 f(x)= (1)求 f(1)+f(2)+f(3)+f( )+f( )的值; (2)求 f(x)的值域. 19.已知函数 y= 20.当 x>0 时,求函数 21.已知函数 (1)求函数的定义域; (2)求 的值. , 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. 的值域. ; .

22.求函数 f(x)=x2+|x﹣2|,x∈[0,4]的值域.

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专题三(2) 函数的概念
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1.函数 A. (﹣1,+∞) ∪(1,+∞) 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0,且分式的分母不为 0 联立不等式组求 解. 【解答】解:由 ∴函数 故选:D. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题. ,解得 x≥﹣1 且 x≠1. 的定义域是[﹣1,1)∪(1,+∞) . 的定义域是( ) D. [﹣1, 1)

B. (﹣1,1)∪(1,+∞) C.[﹣1,+∞)

2.已知函数 f(x)=

的定义域为(1,2) ,则函数 f(x2)的定义域是( D. (﹣ ,﹣1)∪(1, )



A. (1,2) B. (1,4) C.R

【分析】由已知函数的定义域可得 1<x2<2,求解不等式组得答案. 【解答】解:∵数 f(x)= ∴由 1<x2<2,得﹣ 的定义域为(1,2) , . ) .

<x<﹣1 或 1<x<

即函数 f(x2)的定义域是(﹣ 故选:D.

,﹣1)∪(1,

【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的求解方法,是 基础题.

3.已知函数 f(x)= A.a>

的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(



B.﹣12<a≤0 C.﹣12<a<0 D.a≤
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【分析】由函数 f(x)=

的定义域是 R,表示函数的分母恒不为零,即

方程 ax2+ax﹣3=0 无解,根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系,我们易 得数 a 的取值范围. 【解答】解:由 a=0 或 可得﹣12<a≤0, 故选:B. 【点评】求函数的定义域时要注意: (1)当函数是由解析式给出时,其定义域是 使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)当函数是由实际问题给出时,其定义 域的确定不仅要考虑解析式有意义, 还要有实际意义 (如长度、 面积必须大于零、 人数必须为自然数等) . (3)若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的, 则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集. 若函数定义域为 空集,则函数不存在. (4)对于(4) 题要注意:①对在同一对应法则 f 下的量 “x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的;②函数 g(x)中的自变量是 x,所以 求 g(x)的定义域应求 g(x)中的 x 的范围.

4.集合 A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不能表示从 A 到 B 的函数的是 ( A. ) B.f:x→y=2﹣x C. D.

【分析】根据函数的定义分别进行判断即可. 【解答】解:C 的对应法则是 f:x→y= x,可得 f(4)= ?B,不满足映射的定 义,故 C 的对应法则不能构成映射. 故 C 的对应 f 中不能构成 A 到 B 的映射. 故选:C. 【点评】本题给出集合 A、B,要求我们找出从 A 到 B 的映射的个数,着重考查 了映射的定义及其判断的知识,属于基础题.

5.下列图形中,不能表示以 x 为自变量的函数图象的是(
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A.

B.

C



D. 【分析】利用函数定义,根据 x 取值的任意性,以及 y 的唯一性分别进行判断. 【解答】解:B 中,当 x>0 时,y 有两个值和 x 对应,不满足函数 y 的唯一性, A,C,D 满足函数的定义, 故选:B. 【点评】 本题主要考查函数的定义的应用,根据函数的定义和性质是解决本题的 关键.

6.下列函数与函数 y=x 相等的是( A. B. C.

) D.

【分析】已知函数的定义域是 R,分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和 已知函数一致即可. 【解答】解:A.函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同. B.函数的定义域为 R,y=|x|,对应关系不一致. C.函数的定义域为 R,两个函数的定义域和对应关系相同,是同一函数. D.函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同. 故选:C. 【点评】 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准是判断函数的 定义域和对应关系是否一致,否则不是同一函数.

7.如图所示,可表示函数图象的是(



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A.① B.②③④ C.①③④ D.② 【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断. 【解答】解:由函数的定义可知,对定义域内的任何一个变化 x,在有唯一的一 个变量 y 与 x 对应. 则由定义可知①③④,满足函数定义. 但②不满足,因为②图象中,当 x>0 时,一个 x 对应着两个 y,所以不满足函数 取值的唯一性.所以不能表示为函数图象的是②. 故选:C. 【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用.要求了解,对于一对一, 多对一是函数关系,一对多不是函数关系.

8.下列四组函数,表示同一函数的是( A. B. C. D.f(x)=|x+1|,g(x)= ,g(x)=x



【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,判断它们是同一函数. 【解答】解:对于 A,f(x)= 同一函数; 对于 B,f(x)= 的定义域不同, ∴不是同一函数; 对于 C,f(x)=x(x∈R) ,与 g(x)= =x(x≠0)的定义域不同,∴不是同一 (x≥2 或 x≤﹣2) ,与 g(x)= = (x≥2) =|x|,与 g(x)=x 的对应关系不同,∴不是

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函数; 对于 D,f(x)=|x+1|= 对应关系也相同,是同一函数. 故选:D. 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题目. ,与 g(x)= 的定义域相同,

9.已知函数 f(x)= A.

,x∈{1,2,3}.则函数 f(x)的值域是(



B. (﹣∞,0] C.[1,+∞) D.R

【分析】直接由已知函数解析式求得函数值得答案. 【解答】解:f(x)= ,x∈{1,2,3}, ;当 x=3 时,f(3)= .

当 x=1 时,f(1)=1;当 x=2 时,f(2)= ∴函数 f(x)的值域是 故选:A. .

【点评】本题考查函数值域的求法,是基础的计算题.

10.若函数 y=

的值域为[0,+∞) ,则 a 的取值范围是(



A. (3,+∞) B.[3,+∞) C. (﹣∞,0]∪[3,+∞) D. (﹣∞, 0) ∪[3, +∞) 【分析】 由题意: 函数 y 是一个复合函数, 值域为[0, +∞) , 则函数 ( f x) =ax2+2ax+3 的值域要包括 0.即最小值要小于等于 0. 【解答】解:由题意:函数 y= 是一个复合函数,要使值域为[0,+

∞) ,则函数 f(x)=ax2+2ax+3 的值域要包括 0,即最小值要小于等于 0. 则有: 解得:a≥3 所以 a 的取值范围是[3,+∞) . 故选:B. 【点评】本题考查了复合函数的值域的求法,通过值域来求参数的问题.属于基
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?

础题.

11.二次函数 f(x)=x2﹣4x+1(x∈[3,5])的值域为( A.[﹣2,6] B.[﹣3,+∞) C.[﹣3,6]



D.[﹣3,﹣2]

【分析】利用二次函数的单调性即可求解值域. 【解答】解:函数 f(x)=x2﹣4x+1,其对称轴 x=2,开口向上, ∵x∈[3,5], ∴函数 f(x)在[3,5]单调递增, 当 x=3 时,f(x)取得最小值为﹣2. 当 x=5 时,f(x)取得最小值为 6 ∴二次函数 f(x)=x2﹣4x+1(x∈[3,5])的值域为[﹣2,6]. 故选:A. 【点评】本题考查二次函数的单调性求解最值问题,属于函数函数性质应用题, 较容易.

12.若函数

的定义域、值域都是[2,2b],则( D.b=1 或 b=2



A.b=2 B.b∈[1,2] C.b∈(1,2)

【分析】根据二次函数的性质建立关系解得 b 的值. 【解答】解:函数 其对称轴 x=2, ∴函数 f(x)在定义域[2,2b]是递增函数,且 2b>2,即 b>1. 那么:f(2b)=2b 即 2b= 解得:b=2 故选:A. 【点评】本题考查了定义域、值域的关系,利用二次函数的性质,属于基础题. ﹣4b+4

二.填空题(共 4 小题)
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13.函数 f(x)=

的定义域为 [﹣3,1]

,值域为

[0,2]



【分析】根据函数的定义域和值域的定义进行求解即可. 【解答】解:要使函数有意义,则 3﹣2x﹣x2≥0, 即 x2+2x﹣3≤0, 解得﹣3≤x≤1, 故函数的定义域为[﹣3,1], 设 t=3﹣2x﹣x2, 则 t=3﹣2x﹣x2=﹣(x+1)2+4, 则 0≤t≤4,即 0≤ ≤2,

即函数的值域为[0,2], 故答案为:[﹣3,1],[0,2] 【点评】 本题主要考查函数定义域和值域的求解,利用换元法结合一元二次函数 的性质是解决本题的关键.

14.函数

的定义域是

[﹣3,1]



【分析】 根据使函数的解析式有意义的原则,结合偶次根式的被开方数必须不小 于 0,我们可以构造关于自变量 x 的不等式组,解不等式组,可得答案. 【解答】解:要使函数 自变量 x 须满足 的解析式有意义

解得﹣3≤x≤1 即函数 故答案为:[﹣3,1] 【点评】 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法,其中列出满足条件的不等 式组,是解答本题的关键. 的定义域是[﹣3,1]

15.函数 y= 【分析】把函数 y=

的定义域为 R,则 k 的取值范围

[0,2]



的定义域为 R 转化为 kx2﹣4kx+6≥0 对任意 x
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∈R 恒成立.然后对 k 分类求解得答案. 【解答】解:要使函数 y= 则 kx2﹣4kx+6≥0 对任意 x∈R 恒成立. 当 k=0 时,不等式化为 6≥0 恒成立; 当 k≠0 时,则 综上,k 的取值范围是[0,2]. 故答案为:[0,2]. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查数学转化思想方法,是中档题. ,解得 0<k≤2. 的定义域为 R,

16.函数 【分析】令 数求解. 【解答】解:令 ∴原函数化为 y= ∴数 故答案为:

的值域为



(t≥0) ,得 x=﹣t2+1,把原函数转化为关于 t 的一元二次函

(t≥0) ,得 x=﹣t2+1, . 的值域为: . .

【点评】 本题考查函数值域的求法, 训练了利用换元法求函数的值域, 是中档题.

三.解答题(共 6 小题) 17.求下列函数的定义域: (1) (2) ; . (2)由二次根式和分式的意义

【分析】 (1)由二次根式的意义可知:

可知:

,分别解不等式组可得答案.

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【解答】解: (1)由二次根式的意义可知: ∴定义域为[﹣8,3]. (2)由二次根式和分式的意义可知: ∴定义域为{﹣1}. 故答案为: (1)定义域为[﹣8,3], (2)定义域为{﹣1}.



【点评】本题为函数定义域的求解,使式子有意义,化为不等式组是解决问题的 关键,属基础题.

18.已知函数 f(x)= (1)求 f(1)+f(2)+f(3)+f( )+f( )的值; (2)求 f(x)的值域. 【分析】 (1)直接根据函数解析式求函数值即可. (2)根据 x2 的范围可得 1+x2 的范围,再求其倒数的范围,即为所求. 【解答】解: (1)原式= (2)∵1+x2≥1, ∴ ≤1, + + = .

即 f(x)的值域为(0,1]. 【点评】 本题考查了函数的值与函数的值域的求法, 可怜虫推理能力与计算能力, 属于中档题.

19.已知函数 y=

的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

【分析】根据题意,一元二次不等式 x2+6mx+m+8≥0 恒成立;△≤0,求解集即 可. 【解答】解:函数 y= ∴x2+6mx+m+8≥0 恒成立;
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的定义域为 R,

∴△=36m2﹣4(m+8)≤0, 整理得 9m2﹣m﹣8≤0, 解得﹣ ≤m≤1, ∴实数 m 的取值范围是﹣ ≤m≤1. 【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题,是基础题.

20.当 x>0 时,求函数

的值域.

【分析】利用分离常数法,结合基本不等式即可求解值域; 【解答】解:∵x>0,x+1>0 ∴函数 (当且仅当 x= = 时取等号) ,+∞) . = =2

故得原式函数的值域为[

【点评】本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配 方法,3、反函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法, 8、分离常数法,9、单调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、 构造法,13、比例法.要根据题意选择.

21.已知函数 (1)求函数的定义域; (2)求 的值.



【分析】 (1)根据分式及偶次根式成立的条件可得, 数的定义域 (2)直接把 x=﹣3,x= 代入到函数解析式中可求 【解答】解: (1)由题意可得, 解不等式可得,{x|x≥﹣3 且 x≠﹣2} 故函数的定义域,{x|x≥﹣3 且 x≠﹣2}
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,解不等式可求函

(2)f(﹣3)=﹣1,f( )= 【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解,函数值的求解,属于基础试题

22.求函数 f(x)=x2+|x﹣2|,x∈[0,4]的值域. 【分析】去掉绝对值,得到两段函数,并对每段函数配方即可求出该段的函数 f (x)的范围,对两段上求得的 f(x)求并集即可求得 f(x)的值域. 【解答】解:f(x)= ;

∴当 x∈[0,2]时, 当 x∈(2,4]时,f(x)∈(4,18] 综上 ,即函数 f(x)的值域为 .

【点评】考查求函绝对值函数的值域的求法,以及配方法求二次函数的值域.

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