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《教师参考》苏教版(高中数学)必修4同课异构课件:1.2.1 任意角的三角函数1


第一章

三角函数

§1.2.1 任意角的三角函数

高中数学必修4· 同步课件

学习要求
1.明确正弦线、余弦线、正切线的画法.

2.能够作出已知角α的正弦线、余弦线和正
切线.

3. 能够利用三角函数线比较函数值的大小.

自学导引
1.单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称 原点O 圆心,____________ 单位长度 为半径的圆为 以为________ 单位圆. 2.有向线段的概念:_______________ 的线 带有方向 段称为有向线段.

自学导引
3.设任意角α 的顶点在原点 ,始边与 轴非负半轴重合
,终边与单位圆相交与点P ,过P 作 X轴的垂线 ,垂

足为M ;过点 A(1,0)作 单位圆的切线,它与角
的α终边或其反向延长线交与点 T.

当角α 的终边不在坐标轴上时,我们就分别称有向线
段 MP、OM、AT 为正弦线、余弦线、正切线,统称

为三角函数线.

自主探究
1.在初中,我们知道锐角三角函数可以看成线段
的比,那么,任意角的三角函数是否也可以看

成是线段的比呢?
不能,因为任意角的三角函数有正负.

自主探究
2.在三角函数定义中,是否可以在角 α的终边上
取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简

单?
可以,特殊点取角α的终边与单位圆的交点.

自主探究
3.如何作正弦线、余弦线、正切线?
有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线 ,余弦线,正切线.

自主探究
α的终边 P
M

y α

y α的终边 P T x
A(1,0) T
α

O y

O

M A(1,0)

x

sin ? ? MP cos ? ? OM tan ? ? AT

(Ⅱ)

y
T

(Ⅰ)

M

α
O
(Ⅲ)

x
A(1,0)

α O
(Ⅳ)

M

A(1,0)

P
α的终边

x P
T

α的终边

自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时,角α的正切线的几何含 义如何?

P P

y

O

x

当角α的终边在x轴上时,角α的正切线是一个点; 当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在.

预习测评
1.对三角函数线,下列说法正确的是( D ) A.对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线

B.有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C.任何角的正弦线、正切线总是存在,但余弦线不

一定存在
D.任何角的正弦线、余弦线总是存在,但是正切线

不一定存在 解析:当角的终边落在Y轴上时,正切线不存在,故 选D.
11

预习测评
弦线和余弦线,那么下列结论中正确的是( D )
A. MP ? OM ? 0 C. OM ? MP ? 0 B. OM ? 0 ? MP D.
8 7? 2.如果 MP 和 OM 分别是角 ? ? 的正 8

MP ? 0 ? OM

解析:作出角 ? ? 7? 的正弦线和余弦线, 根据图形可知,MP为正值,OM为负值,故 选D.

预习测评
A. cos 64? ? cos 46?
C. cos 64?= cos 46?

3.利用余弦线,比较 cos 64?, cos 46? 的大小关系为( B ).

B. cos 64? ? cos 46?
D. 无法比较

解析:分别作出两个角的余弦线,方向都是正方向,

再比较两条余弦线的长度,故选B.

要点阐释
1.单位圆的定义

圆心在坐标原点 ,半径等于单位长度的圆叫
做单位圆.

要点阐释
2.三角函数线的位置: 正弦线为α 的终边与单位圆的交点到X 轴的垂直线段 ;余弦 线在X 轴上; 正切线在 过单位圆与 X轴正方向的交点的切线上, 三条有向线段中两条在单位 圆内,一条在单位圆外.

要点阐释
3.三角函数线的正负: 三条有向线段与 Y轴或X 轴同向的为正值,与 Y轴或

X 轴反向的为负值.

要点阐释

4.正切线 正切线AT的作法:过定点A(1,0) 作单位圆的切 线,它与角α 的终边或其反向延长线交与点T . 当角α 是第一、四象限角时,点T在角α 的终边上, 当角α 是第二、三象限角时,点T在角α 的终边的 反向延长线上, 当角α终边在Y轴上时,角α 的正切线不存在.

要点阐释
5.根据三角函数线比较三角函数值的大小 根据三角函数线比较三角函数值的大小, 一般先根据有向线段的方向判断正负,再比较

有向线段的长度.有向线段与坐标轴方向同向的
为正值,反向的为负值.

典例剖析

题型一

作已知角的三角函数线

例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
y

2? (1) 3 3? (2) 4

P

M

o

A

x

T

Page

20

解:(1)在直角坐标系中作单位圆如图示 2? 以x轴的正半轴为始边作出 的角, 3 其终边与单位圆交于P点,作PM ? x轴,

垂足为M,由单位圆与x轴的正半轴的交 点A作x轴的垂线, 2? 2? 2? sin   =MP,     cos ? OM ,   tan ? AT 3 3 3

与OP的反向延长线交于T点,则
2? ? 的正弦线为MP,余弦线为OM, 正切线为AT 3

点评:根据三角函数线的定义作出三角函数线, 有向线段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正 切线.关键是作出各个点,O点为坐标原点,点

A(1,0)为单位圆与X正半轴的交点,点P为任意角α
的终边与单位圆的交点P(x,y),过P作X 轴的垂线

,垂足为M ;过点A(1,0)作 单位圆的切线,它与
角α 的终边或其反向延长线交与点T .

1.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长 度相等,且正、 余弦符号相异.那么α的值为( D ) A.

?
4

3? B. 4

7? C. 4

3? 7? D. 或 4 4

解析:角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,可知 角α终边为象限角平分线,再根据正、余弦符号相异可 得角α终边为第二、四象限角平分线,故选D.

题型二 利用三角函数线比较函数值的大小

例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) sin
5π 7π 与s i n 4 6
y

(2) cos

5π 7π 与 cos 4 6

(3) tan

5π 7π 与 tan 4 6

解:
T1 T2

5π 7π <s i n (1) sin 4 6

M2 P2

M1

o

A

x

5π 7π > cos (2) cos 4 6

P1

5π 7π > tan (3) tan 4 6
Page 24

点评:三角函数线是一个角的三角函数直观

体现,从三角函数线的方向可以看出三角函数值
的正负,其长度是三角函数值的绝对值.因此,

比较两个三角函数值的大小,可以借助三角函数
线.

2.比较下列各组数的大小. ? 5? 4? (1)sin1和sin (2)cos 和cos 3 7 7 4? ? 解析:(1)sin1<sin (2)cos >cos 5? 7 3 7

题型三 利用三角函数线求角的范围

例 3 在 0~
.

2? 内,求使 sin a =

3 成立的α的取值 2

分析:先作出直线 y ? 3 ,与单位圆有两个不 2 同的交点 P1 、P2 ,则满足条件α的终边有两个 ,
OP2. 分别是 OP1 、

题型三 利用三角函数线求角的范围

3 解析:如图所示,先作出直线 y ? ,与单位圆有两个不 2 同的交点P1、P2,则满足条件α的终边有两个 ,分别是 OP1、

? 2 ? 0 2 ? OP2,在 内,α的值为 或 3 3

.

y P1 M1 x

y

3 2

P2 M2 O

,得到 α的取值范围是( D
A.( ?

1 3 若0< α <2π,且sinα < , cosα > .利用三角函数线 2 2

? ?

C. 5?

, ) 3 3 ,2? )

(

B. (0, 3 ) ? 5? D. (0, ) ( ,2? )

?



3

3

3

解析:A明显范围不对,B、C都不全面,故选D.

误区解密: 因忽略有向线段的方向而出错

3? 若? ? ( ,?)则 , sin ? ,cos ? , tan ? 的大小顺序是( ) 4 A.sin ? ? cos ? ? tan ? B. tan ? ? cos ? ? sin ? C. tan ? ? sin ? ? cos ? D.cos ? ? tan ? ? sin ?

错解:A.

3? ( ,?) 错因分析:错解没有注意到角α的取值范围,当 ? ? 4

sin ? 为正值最大, cos ? , tan ? 均为负值,tan ? 时,
最小 . 正解:B.

纠错心得:

正弦线、余弦线、正切线,它们分别是正弦、

余弦、正切函数的几何表示,三角函数线是有向线
段,在用字母表示这些线段时,注意它们的方

向.

课堂总结
作三角函数线的具体步骤如下:

1) 画单位圆,
2) 设α的终边与单位圆交于点P,作PM⊥x轴于M, 则有向线段MP是正弦线. 3) 有向线段OM是余弦线. 4) 设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0),过点A作 垂线与角α的终边(或其反向延长线)交于点T,则有 向线段AT就是正切线.

再见


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