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湖北省黄冈市2013届高三年级上学期期末考试理科数学试题

黄冈市 2013 届高三年级上学期期末考试 理科数学
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的.把答案写在答题卡中指定的答题处. 1.已知复数

1? z ? i ,则 z 的虚部为 1? z

A.1 B.-1 C. i D. -i 2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为 A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 3.有 6 人被邀请参加一项活动,必然有人去,去几人自行决定,共有( A. 36 种 B. 35 种 C. 63 种 D. 64 种 4.设 a ?

)种不同去法

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则二项 (a x ?
B. 193 C. -6 D. 7

1 6 ) 式展开式中 x2 项的系数是 x

A. -192

5.已知正项数列{ an }中,al=1,a2=2,2 an 2= an ?1 2+ an ?1 2 (n≥2),则 a6 等于 A. 16 B. 8 C. 2 2 D. 4

?x ? 2 y ? 2 ? 6.变量 x,y,满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 ? 4 x ? y ? ?1 ?
y-3|的取值范围是 A.[

z=3|x|+|

3 ,9] 2

B.[-

3 ,6] 2

C.[-2,3] D.[1,6] 7.如图,在四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD⊥DC,.若 ,则 ( )

A. a2-b2 B. b2-a2 C. a2+b2 D. ab 8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为 A.1 B.

1 2

C.

1 4

D.

1 8

9.如图,F1,F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 a 2 b2

的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:| AF2|=3:4:5,则双曲线的离心率为 A. 13 B.

15

C.2

D.

3

10.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x) = 有且仅有一个零点的概率为 A.

1 3 x ? ax ? b 在区间[-1,1]上 2

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D、

7 8

二、填空题:本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卡对应题号的位置上· 11.某班有 48 名学生,在一次考试中统计出平均分为 70 分,方差 为 75,后来发现有 2 名同学的分数登错了,甲实得 80 分却记成了 50 分, 乙实得 70 分却记成了 100 分,则更正后平均分是__,方差是____ 12.已知 M 是△ABC 内的一点(不含边界),且 AB?AC = 2 MBC,△MCA 和△MAB 的面积分别为 x,y,z,记 f(x,y,z)= 的最小值是__ 13.设函数 M+N=_____ 14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c, A = 60°,c:b=8:5,△ABC 的面积 为 40 3 ,则外接圆的半径为___ 15.给出以下三个命题,其中所有正确命题的序号为____. ①已 知 等 差 数 列 { an } 的 前 二 项 和 为 Sn , OA, OB 为 不 共 线 向 量 , 又 的最大值为 M,最小值为 N,那么

??? ??? ? ?

3 , ∠BAC =30°,若△
1 4 9 ? ? ,则 f(x,y,z) x y z

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? OP ? a, OA ? a2012 OB ,
若 PA ? ? PB ,则 S2012 =1006. ② 是函数 的最小正周期为 4"的充要条件;

??? ?

??? ?

③ 已知函数 f (x)=|x2-2|,若 f (a) = f (b),且 0<a<b,则动点 P(a,b)到直线 4x+3y-15=0 的距离的最小值为 1; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分?解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.将解 答写 在答题卡对应题号的位置处. 16.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 A=45°,cosB = (I)求 cosC 的值; (11)若 BC= 10 , D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

4 . 5

17.(本小题满分 12 分)盒中有大小相同的编号为 1,2,3,4,5,6 的六只小球,规定:从

盒中一次摸出'2 只球,如果这 2 只球的编号均能被 3 整除,则获一等奖,奖金 10 元,如果 这 2 只球的编号均为偶数,则获二等奖,奖金 2 元,其他情况均不获奖. (1)若某人参加摸球游戏一次获奖金 x 元,求 x 的分布列及期望; (2)若某人摸一次且获奖,求他获得一等奖的概率.

18.(本小题满分 12 分)a2,a5 是方程 x 2-12x+27=0 的两根,数列{ an }是公差为正数 的等 差数列,数列{ b n }的前 n 项和为 Tn ,且 Tn =1- (1)求数列{ an },{ b n }的通项公式; (2)记 cn = an b n ,求数列{ cn }的前 n 项和 Sn.

1 bn (n ? N *) 2

19.本小题满分 12 分)设 M 是由满足下列条件的函数 f (x)构成的集合:① 方程 f (x)一 x=0 有实根;② 函数的导数 f '( x) 满足 0< f '( x) <1. (1)若函数 f(x)为集合 M 中的任意一个元素,证明:方程 f(x)一 x=0 只有一个实根; (2)判断函数 g ( x) ?

x ln x ? ? 3( x ? 1) 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 2

(3)设函数 f(x)为集合 M 中的任意一个元素,对于定义域中任意 ? , ? , 证明: | f (? ) ? f (? ) |?| ? ? ? |

20.(本小题满分 13 分)已知椭圆 C1:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l: y2 a b 3

=x+2 与.以原点为圆心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (ll)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l2 过点 F 价且垂直于椭圆的长轴,动 直线 l2 垂直于 l1,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方 程; (III)过椭圆 C1 的左顶点 A 作直线 m,与圆 O 相交于两点 R,S,若△ORS 是钝角三角 形, 求直线 m 的斜率 k 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x)=x2-ax,g(x)=lnx (I)若 f(x)≥g(x)对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (II)设 h(x) = f (x) +g(x)有两个极值点 x1,x2,且 求证:h(x1)一 h(x2)> ,

3 一 1n2. 4 1 ? ax 1 ) 对于任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 (III)设 r(x)=f(x)+ g ( 2 2

r(x)>k(1 一 a2)成立,求实数 k 的取值范围.

黄冈市 2012 年秋季高三期末考试数学参考答案(理科)
一选择题 A DC A D 二填空题 (11)70 50(第一空 2 分,第二空 3 分) (12) 36 (13) 4021 (15)① 三解答题 16.析: )? cos B ? (Ⅰ (14) ABC A D

14 3 3

4 3 , 且 B ? (0? ,180? ) ,∴sin B ? 1 ? cos 2 B ? .---------2 分 5 5
---------------- 3 分

cos C ? cos(180? ? A ? B) ? cos(135? ? B)
? cos135? cos B ? sin135? sin B ? ?

2 4 2 3 2 .--------------6 分 ? ? ? ?? 2 5 2 5 10

(Ⅱ )由(Ⅰ )可得 sin C ? 1 ? cos B ? 1 ? ( ?
2

2 2 7 ) ? 2 .--------------8 分 10 10

由正弦定理得

10 AB BC AB ,即 ,解得 AB ? 14 .------------10 分 ? ? 7 sin A sin C 2 2 10 2

在 ?BCD 中, BD ? 7 , CD 2 ? 7 2 ? 102 ? 2 ? 7 ? 10 ? 所以 CD ?

4 ? 37 , 5

37 .-------------------------12 分

17.(1)易知 X 的可能取值为 0,2, 10, X 的分布列为 X 0 2 P(X)

10

16 期望 EX= (元)………6 分 15 (2)设摸一次得一等奖为事件 A,摸一次得二等奖为事件 B, 则 P ( A) ?

1 1 ? 2 C 6 15

P( B) ?

C 32 1 ? C 62 5
所以 P ( A ? B ) ?

某人摸一次且获奖为事件 A ? B ,显然 A、B 互斥 故某人摸一次且获奖,他获得一等奖的概率为:

1 1 4 ? ? 15 5 15

P( A | A ? B) ?

P( A) 1 4 1 ? ? ? ………………12 分 P( A ? B) 15 15 4

18.:? x 2 ? 12 x ? 27 ? ( x ? 3)( x ? 9) ? 0又 ? d ? 0 ? a2 ? 3, a5 ? 9

a5 ? a2 3分 ? 2 ? an ? 2n ? 1 3 1 2 ? Tn ? 1 ? bn (n ? N *) ? b1 ? 2 3 1 1 1 1 2 1 n 当n ? 2时bn ? Tn ? Tn?1 ? bn?1 ? bn ? bn ? bn?1 bn ? ( ) n ?1 =2(3 ) 2 2 3 3 3 2 4n ? 2 (2) c n ? ?2n ? 1? ? , ……………… 8分 ? 3n 3n 1 3 2n ? 1 ? S n ? 2( ? 2 ? ?????? ? n ) 3 3 3 1 1 3 2n ? 1 ? S n ? 2( 2 ? 3 ? ?????? ? n ?1 ) 3 3 3 3 2 1 1 1 2n ? 1 1 n ?1 ? S n ? 2[ ? 2( 2 ? ?????? ? n ) ? n ?1 ] ? 4( ? n ?1 ) 3 3 3 3 3 3 3 ?d ?
1 Sn=2—(2n+2)( )n………12 分 3

6分

19.令错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,故错误!未找到引用源。是单调递

减函数, 所以,方程错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。至多有一解, 又由题设① 知方程错误!未找到引用源。有实数根, 所以,方程错误!未找到引用源。有且只有一个实数根…………………………………..4 分 (2) 易知,错误!未找到引用源。 ,满足条件② ; 令错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 ,…………………………………..7 分 又错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上连续,所以错误!未找到引用 源。在错误!未找到引用源。上存在零点错误!未找到引用源。 , 即方程错误!未找到引用源。有实数根错误!未找到引用源。 ,故错误!未找到引用源。 满足条件① , 综 上 可 知 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。……….……………………………...………. ….…………8 分 (Ⅲ )不妨设错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。,∴ ,∵ 错误!未找到引用源。单 调递增, ∴ 错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。 , 令错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,故错误!未找到引用源。是单调递 减函数, ∴ 错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。 , ∴ 错误!未找到引用源。 ,则有错误!未找到引用源。….……………..….12 分 20.解: )由 e ? (Ⅰ

3 b2 2 ,得 2 ? 1? e ? ; 3 3 a

………………2 分

由直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x 2 ? y 2 ? b 2 相切, 得 所以椭圆的方程是

2 2

?| b | .所以, b ? 2 , a ? 3
…………………4 分

(Ⅱ )由条件,知|MF2|=|MP|。即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距 离,由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y 2 ? 4 x 。
2 2

x2 y2 ? ? 1. 3 2

…………8 分

(Ⅲ 由 ) (1) 得圆 O 的方程是 x ? y ? 2, A(? 3 ,0), 直线m的方程是y ? k ( x ? 3 ) ,

? x 2 ? y 2 ? 2, ? 设 R ( x1 , y1 ), S ( x 2 , y 2 ),由? ? y ? k ( x ? 3) ?
得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2 3k 2 x ? 3k 2 ? 2 ? 0 则 x1 ? x 2 ? ?

2 3k 2 3k 2 ? 2 , x1 x 2 ? ; 1? k 2 1? k 2

……………9 分 ① …………10 分

由 ? ? (2 3k 2 ) 2 ? 4(1 ? k 2 )(3k 2 ? 2) ? 0, 得 ? 2 ? k ?

2.

因为 ?ORS是钝角三角形, 所以OR ? OS ? 0, 即OR ? OS ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

x1 x 2 ? k 2 ( x1 ? 3 )( x 2 ? 3 ) ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 3k 2 ( x1 ? x 2 ) ? 3k 2 ?

4k 2 ? 2 ?0 1? k 2

所以 ?

由 A、R、S 三点不共线,知 k ? 0 。 由① 、② 、③ ,得直线 m 的斜率 k 的取值范围是 ? 21 题解析:

2 2 ?k? . 2 2

② ……12 分 ③

2 2 ?k? , 且k ? 0 ……13 分 2 2

(Ⅰ) f ( x) ? g ( x),? a ? x ?

ln x ( x ? 0) x ln x x 2 ? ln x ? 1 设? ( x) ? x ? , ? '( x) ? x x2 当x ? (0,1)时,? '( x) ? 0, 当x ? (1, ??)时,? '( x) ? 0 ?? ( x) ? ? (1) ? 1,? a ? (??,1]

…………4 分


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