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高中数学 (1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象)教案 新人教A版必修4

1.4 1.4.1

三角函数的图象与性质 正弦函数、余弦函数的图象
整体设计

教学分析 研究函数的性质常常以图象直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图象, 从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、 余弦 函数的教学也是如此.先研究它们的图象,在此基础上再利用图象来研究它们的性质 .显然, 加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求. 由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的 最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它 的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,教科书通过“旁 白”,指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方 向的一种引导. 由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函 数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、 三角函数值 之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦 函数、余弦函数的简图. 三维目标 1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初 步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问 题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、 解决问题的能 力. 2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在 联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我 们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、 合作探究的学习方法带 来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系, 树立科学的辩证唯物主义观. 重点难点 教学重点:正弦函数、余弦函数的图象. 教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点 ;正弦函数与余弦函数 图象间的关系. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状, 看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值 等.我们也很自然的想知道 y=sinx 与 y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修 1 中学过的 指数函数、 对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、 描点、 连线)? 进而引导学生通过取值,画出当 x∈[0,2π ]时,y=sinx 的图象. 思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生

将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方 放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使 它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理 中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移 s(纵坐标)随时间 t(横坐标)变化的情况. 有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最 基本的方法是我们以前熟知的列表描点法 ,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确 的正弦函数图象. 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值 ,由于对一般角 的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值 并用线段长(或用有向线段数值)表示 x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标 的准确数据呢?简单地说,就是如何得到 y=sinx,x∈[0,2π ]的精确图象呢? 问题②:如何得到 y=sinx,x∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本 上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在 x 轴上标横坐 标?为什么将单位圆分成 12 份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解 决了 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象,就很容易得到 y=sinx,x∈R 时的图象了. 对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并 12 等分,再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段 分成 12 等份.由于单位圆周长是 2π ,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1 上的各分点作 x 轴的 垂线,就可以得到对应于 0、

? ? ? ? 、 、 、 、…、2π 等角的正弦线,这样就解决了纵坐 6 4 3 2

标问题(相当于“列表”).第二步,把角 x 的正弦线向右平移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重 合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线 连接起来,我们就得到函数 y=sinx 在[0,2π ]上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图 1 所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形 成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.

图1 对 问 题 ②, 因 为 终 边 相 同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值 , 所 以 函 数 y=sinx 在 x∈[2kπ ,2(k+1)π ],k∈Z 且 k≠0 上的图象与函数 y=sinx 在 x∈[0,2π ]上的图象的形状完 全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象向左、右平行移动 (每次 2π 个单位长度),就可以得到正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象.(这一过程用课件处理, 让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)

图2 讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象. ②左、右平移,每次 2π 个长度单位即可. 提出问题 如何画出余弦函数 y=cosx,x∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用 正弦函数图象得到余弦函数图象吗? 活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观 察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学 生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法 .让学生动 手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学 习正弦函数、余弦函数的性质打下基础. 讨论结果: 把正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象向左平移

? 个单位长度即可得到余弦函数图象.如图 3. 2

图3 正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象和余弦函数 y=cosx,x∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 点. 提出问题 问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图 象的方法.你认为哪些点是关键性的点? 问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在[0,2π ]上的图象吗? 活动 : 对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象 , 发现在 [0,2π ]上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数 y=sinx 在[0,2π ]上的图象 的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(

3? ? ,1),(π ,0),( ,-1),(2π ,0). 2 2

因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们 连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练 掌握. 对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在 [0,2π ] 上起关键作用的五个点,并指导学生通 过描这五个点作出在[0,2π ]上的图象. 讨论结果:①略. ②关键点也有五个,它们是:(0,1),( 应用示例 思路 1

3? ? ,0),(π ,-1),( ,0),(2π ,1). 2 2

例 1 画出下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ];(2)y=-cosx,x∈[0,2π ]. 活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后 练习 1 领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法” 画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、 描点、 连线”三步来完 成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有 好处. 解:(1)按五个关键点列表: x sinx 1+sinx 0 0 1

? 2
1 2

π 0 1

3? 2
-1 0

2π 0 1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 4).

图4 (2)按五个关键点列表: x cosx -cosx 0 1 -1

? 2
0 0

π -1 1

3? 2
0 0

2π 1 -1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 5).

图5 点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例 的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生 一些动手操作的时间,或者增加图象纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看. 完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图象变换得出要画的图象,让 学生从另一个角度熟悉函数作图的方法. 变式训练 2007 山 东 临 沂 一 摸 统 考 17(1) 在 给 定 的 直 角 坐 标 系 如 图 6 中 , 作 出 函 数 f(x)= 2 cos(2x+

? )在区间[0,π ]上的图象. 4
0

解:列表取点如下: x

? 8

3? 8

5? 8

7? 8

π

2x ?

? 4

? 4
1

? 2
0

π

3? 2
0



9? 4
1

f(x)

? 2

2

描点连线作出函数 f(x)= 2 cos(2x+

? )在区间[0,π ]上的图象如图 7 所示. 4

图6 思路 2

图7

例 1 画出函数 y=|sinx|,x∈R 的简图. 活动:教师引导学生观察探究 y=sinx 的图象并思考|sinx|的意义,发现只要将其 x 轴 下方的图象翻上去即可.进一步探究发现,只要画出 y=|sinx|,x∈[0,π ]的图象,然后左、右 平移(每次 π 个单位)就可以得到 y=|sinx|,x∈R 的图象.让学生尝试寻找在[0,π ]上哪些点 起关键作用,易看出起关键作用的点有三个:(0,0),(

? ,1),(π ,0).然后列表、描点、连线, 2

让学生自己独立操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正. 解:按三个关键点列表: x sinx y=|sinx| 0 0 0

? 2
1 1

π 0 0

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 8).

图8 点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图 象变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔. 变式训练 1.方程 sinx=

x 的根的个数为( 10

)

A.7 B.8 C.9 D.10 解:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函 数 y=

x 的图象与 y=sinx 的图象的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正 10

确地画出正弦函数的图象.如 图 9,从图中可看出,两个图象有 7 个交点.

图9 答案:A 2.用五点法作函数 y=2sin2x 的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是( A.0, )

? 3? , ,2π 2 2

B.0,

C.0,π ,2π ,3π ,4π

? ? 3? , , ,π 4 2 4 ? ? ? 2? D.0, , , , 6 3 2 3

答案:B 知能训练 课本本节练习 解答: 1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象 ,也可以用“五点法”作出它们的图象,还 可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位置不同,例如函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象,可以通过将函数 y=cosx,x∈[ 个单位长度而得到(图 10).

? 3? ? , ]的图象向右平行移动 2 2 2

图 10 点评:在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函 数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认 识. 2.两个函数的图象相同. 点评:先用“五点法”画出余弦函数的图象,再通过对比函数解析式发现另一函数的图 象的变化规律,最后变换余弦曲线得到另一函数的图象(图 11).

图 11 课堂小结 以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善. 1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间[0,2π ]上的图象扩展到整个定义域的? 2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线? 这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之 外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练 掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.

作业 1.课本习题 1.4 A 组 1. 2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质. 设计感想 1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图象的感知后,升级问题,探 索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并 对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多 媒体课件,则可生动地表现出函数图象的变化过程,更好地突破难点. 2.本节课所画的图象较多,能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求 ,重 在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要 慢些,尤其是“五点法”,每个点都要能准确地找到,然后迅速画出图象. 3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展 性栏目.教学时,应留给学生一定的时间思考、探究这些问题.


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