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江苏省苏州市2015届高考数学 必过关题3 函数3

2015 届苏州市高三数学过关题 3——函数(3)
一.填空题: 【考点一】导数几何背景及其意义
2 1. 物体的运动方程是 S ? 1 ? t ? t ,其中 S 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 t ? 3

时的瞬时速度为 米/秒. 【答案】5 [解析] S ? ? ?1 ? 2t ,当 t ? 3 时, S ? ? 5 .∴物体在 t ? 3 时的瞬时速度为 5 米/秒. 2. 水波的半径以 50cm / s 的速度向外扩张,当半径为 250cm 时,圆面积的膨胀率是

cm 2 / s .
【答案】 25000? [解析] 设时间 t 对应的水波圆的半径为 r ,面积为 S ,则 r ? 50t , S ? 2500 ? t2 ,且当

r ? 250 时, t ? 5 .故有 S ? ?5? ? 25000? cm 2 / s .
3. 曲线 y ?

sin x 1 ?? ? ? 在点 M ? , 0 ? 处的切线的斜率为 sin x ? cos x 2 ?4 ?

.

【答案】

1 2

[ 解 析 ] ∵ y? ?

cos x ? sin x ? cos x ? ? sin x ? cos x ? sin x ?

? sin x ? cos x ?

2

?

1

? sin x ? cos x ?

2

,∴当

x?

?
4

时, y ? ?

1 1 ?? ? .∴曲线在点 M ? , 0 ? 处的切线斜率为 . 2 2 ?4 ?

4. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x ,过点 P(2,? 6)作曲线 y ? f ( x) 的切线,则切线方程是 . 【答案】 3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0
3 2 [解析] f ? ? x ? ? 3x ? 3 ,设切点为 x0 , x0 ? 3 x0 ,则斜率 k ? 3x02 ? 3 ,∴切线方程为

?

?

y ? ? x03 ? 3 x0 ? ? ? 3 x0 2 ? 3? ? x ? x0 ? ,即 y ? ? 3 x0 2 ? 3? x ? 2 x03 .∵切线过点 P(2, ?6) ,
∴ x0 ? 0 或 x0 ? 3 .∴所求切线方程是 y ? ?3x 或 y ? 24 x ? 54 .

5. 已知点 P 在曲线 y ? 是 【答案】[ .

4 上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围 e ?1
x

3 ? ,? ) 4

[解析] y , ?

? 4e x ? (e x ? 1)2

ex

3? ?4 ? [?1, 0), ? ? [ , ? ) 4 1 ? x ?2

e

6. 已知 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 切线是_______. 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 [解析] 用方程的思想求出 f ( x) ? x 2 ,即 f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x) 2 ? 8(2 ? x) ? 8 . 可以为变题: f ( x) ? 2 f (3 ? x) ? x 2 ? 8x ? 8 【考点二】导数在研究函数性质中的应用 7. 函数 f ( x) ?

1 的减区间是____ ____,增区间是________. x ln x

【答案】 ( ,1)和(1,?? ) , ? 0, ?

1 e

? 1? ? e?

[解析] 注意定义域

?x | x

? 0且x ? 1 ?, y , ?

? (1 ? ln x ) ? 0,单调递减区间 (x ln x )2

1 ? (1 ? ln x) ? 1? ( ,1)和(1,?? ) , y , ? ? 0 ,单调递增区间 ? 0, ? 2 e ( x ln x) ? e?
8. 若 f ( x ) ? ? . 【答案】 (??,?1]

1 ( x ? 2) 2 ? b ln x 在 ( 1 , + ∞ ) 上 是 减 函 数 , 则 b 的 取 值 范 围 是 2

[解析]

f(x ) ? ?

1 2 x ? 2x ? 2 ? b ln x , 2

f , ( x) ? ? x ? 2 ?

b ? 0 在(1,+ x

?1]. ∞)上恒成立, b ? (??,
9. 若函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 3 既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围 为 .

【答案】 (??,?1) ? (2,??) [解析] f ? ? x ? ? 3x2 ? 6ax ? 3a ? 6 ? 0 , ? ? 0 ,所以 a ? (??,?1) ? (2,??) . 10.若函数 f ? x ? ? x3 ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ?? 2,2? [ 解析 ] f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ,令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ?1 .当 x ? ? ??, ?1? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 .

x ? ? ?1,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 .函数 f ? x ? 在 x ? ?1 处取得极
大值,在 x ? 1 处取得极小值.要使函数有 3 个不同的零点,只需两个极值异号即可, ∴ f ? ?1? f ?1? ? 0 ,即 ? a ? 2?? a ? 2? ? 0 , a ? ? ?2, 2? . 11. 已知函数 f ? x ? ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? c ,若对任意 x ? ?? 1,2? 都有 f ?x? ? c 2 ,则 c 的 2

取值范围是



【答案】 (??,?1) ? (2,??) [ 解 析 ]

f ?x ?max ? c 2 . f ? ? x ? ? 3x2 ? x ? 2 ? 0 , x ? 1orx ? ?

2 , 计 算 3

3 2 8 f ?1? ? c ? , f(2) ? c? 2, f(? ) ? c ? , f(2) ? c? 2 ? c2 , c ? (??, ?1) ? (2, ??) 2 3 9
12. 函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的 解集为 【答案】 (?1,??) [ 解析 ] 设 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ? 4 ,则 g? ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? 0 .∴ g ? x ? 是 R 上的增函 数. 又 g ? ?1? ? f ? ?1? ? 2 ? ? ?1? ? 4 ? 0 , ∴ f( x) ? 2x ? 4 ?g x 13. 函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? cos x 上最大值 等于_______
3 2



g ?? ?

?1 ??x ? ?? 1



【答案】

32 27

[解析]高次三角函数,先换元再求导,令

t ? cos x

1] , , t ? [?1,

y ?? t 3 ? 1 ? t 2 ? t .
14. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 处有极值 10 ,则 a ? b ? 【答案】 ?7 .

? f ' (1) ? 0, ?2a ? b ? ?3, 2 ? [解析] f ( x) ? 3x ? 2ax ? b, 由已 知得 ? 即? 2 ? f (1) ? 10. ?a ? a ? b ? 9.
解得 ?

?a ? ?3, ?a ? 4, 经检验:当 a ? ?3, b ? 3 时, x ? 1 不是极值点,舍去; 当 或? ?b ? 3. ?b ? ? 11.

a ? 4, b ? ?11 时,符合题意.∴ a ? b ? ?7 .
【考点三】导数的综合应用 15.

f ( x)是定义在R上的偶函数 , 当x ? 0时, f ( x) ? x ? f ?( x) ? 0, 且f (?4) ? 0 , 则


xf ( x) ? 0 解集为

【答案】 (??,?4) ? (0,4) [解析]令 g(x ) ? xf (x ).根据函数奇偶性可以判断, g(x ) ? xf (x )为奇函数,再根 据 g(x ) ? xf (x )在 x ? 0 是单调减, g(x ) ? xf (x )在 x ? 0 是单调增,数形结合. 16. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x2 (a为常数). 若存在 x ??1, e? , 使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立, 则实数 a 的取值范围是 【答案】 [?1,??) [解析] ∵ a ln x ? x2 ? (a ? 2) x ,∴ a( x ? ln x) ? x2 ? 2x . ∵ x ? ln x 恒成立,∴只要存在 x ??1, e? ,使 a ? .

x2 ? 2x x2 ? 2x ) min . 成立.∴ a ? ( x ? ln x x ? ln x

令 h( x ) ?

x2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2ln x) , h?( x) ? ,对于 x ? 2 ? 2 ln x ? 0 在 x ??1, e? 恒 x ? ln x ( x ? ln x) 2

成立,所以 h( x) 在 x ??1, e? 上为增函数, h( x)min ? h(1) ? ?1 .所以 a ? ?1 .

17. 已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是



1 【答案】 (0, ) 2
[解析] 函数的定义域为 {x x ? 0} ,导数为 f '( x) ? 1 ? 2ax ? ln x ,要使函数有两个极值 点 , 则 f ' (x ? )

1 ? a 2 x?

两个根。由 ln x? 有 0

f '( x) ? 1 ? 2ax ? ln x ? 0 得 ln x ? 2ax ? 1 , 令
y?l nx ,y ?

y ? 2ax ? 1 与 y ? ln x 2a, ?x当直线 1
1 , x

相切是的斜率为 k ,则满足条件 0 ? 2a ? k 。 y ' ? 由 y'?

1 1 ? 2a , 得 切 点 横 坐 标 x ? 。此时 2a x 1 1 1 1 ? 1 ,即 a ? ,所以此时切线斜率为 k ? 2a ? 1 ,所以 ln ? 2a ? ? 1 ? 0 ,解得 2a 2 2a 2a 1 0 ? 2a ? 1 ,即 0 ? a ? 2
18. 已知函数 f ( x) ?

a 3 b 2 a?b?c 的最小值 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在 R 上单调递增,则 3 2 b?a

为 . 【答案】3 [ 解 析 ]

?a ? 0 , 所 以 f ?( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 在 R 上 恒 成 立 , ? ? ?? ? 0
b a?b?c , ? b?a 4a
2

b 2 ? 4ac ? 0 ? c ?
本不等式可得.

a?b?

b2 b b2 1? ? 2 4a ? a 4a ,令 b ? 1 ? t ? 0 ,再利用基 b b?a a ?1 a

二.解答题:

19. 设 f ( x) ? a ln x ( a ? R ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? b (b? R ) 。 (1)求 a 、b 的值; (2)设集合 A ? [1, ??) , 集合 B ? {x | f ( x) ? m( x ? ) ? 0} , 若 A ? B ,求实数 m 的取值范围.

1 x

a , f ?(1) ? 1 , ∴ a ? 1, 又切点 (1, 0) 在切线 y ? x ? b 上, ∴ b ? ?1 。 x 1 1 (2) f ( x) ? ln x ,∵ A ? B ,∴ ?x ? ? 1, ? ?? , f ( x) ? m( x ? ) ,即 ln x ? m( x ? ) , x x 1 g ( x) ? ln x ? m( x ? ) 设 , , ?x ? ?1, ? ??, g ( x) ? 0 x 1 1 ?mx 2 ? x ? m g ?( x) ? ? m(1 ? 2 ) ? , x x x2 ①若 m ? 0, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与 g ( x) ? 0 矛盾;
[解析] (1) f ?( x ) ? ②若 m ? 0 方程 ?mx ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m ,
2 2

1 时, g ?( x) ? 0 .? g ( x) 在 (1,??) 上单调递减,? g ( x) ? g (1) ? 0 , 2 1 2 不等式成立, 当 0 ? m ? 时,方程 ?mx ? x ? m ? 0 ,设两根为 x1 , x2 ?x1 ? x2 ? , 2
当 ? ? 0 ,即 m ?

1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m 2 当 x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0 , g ( x) ? ?0,1? , x2 ? ? ?1,??? , 2m 2m 1 m? 2. 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设矛盾,综上所述, x1 ?
20 某 农 户 准 备 建 一 个 水 平 放 置 的 直 四 棱 柱 形 储 水 窖 ( 如 图 ) ,其中直四棱柱的高

AA1 ? 10m , 两 底 面 ABCD, A1B1C1D1 是 高 为 2 m , 面 积 为 10m 2 的 等 腰 梯 形 , 且

?? ? ?ADC ? ? ? 0 ? ? ? ? 。若储水窖顶盖每平方米的造价为 100 元,侧面每平方米的造价 2? ?
为 400 元,底部每平方米的造价为 500 元。 (1)试将储水窖的造价 y 表示为 ? 的函数; (2) 该农户如何设计储水窖, 才能使得储水窖的造价最低, 最低造价是多少元 (取 3 ? 1.73 ) 。

[解析] (1)过 A 作 AE ? DC ,垂足为 E ,则 AE ? 2 , DE ?

2 2 , AD ? ,令 tan ? sin ?

AB ? x ,从而 CD ? x ?

4 1 4 ? ,故 ? 2 ? ? x ? x ? tan? 2 tan ? ?

2 ? ? ? 10 ,解得 x ? 5 ? tan? , ?

CD ? 5 ?

2 , 4分 tan ?

所以 y ? ? 20 ? 2 AD ?10? ? 400 ? ?10 AB ? ? 500 ? ?10CD? ?100

? 8000 ? 8000 ?

2 2 ? 2 ? ? ? ? 5000 ? ? 5 ? ? ? 1000 ? 5 ? ? sin ? tan ? ? tan ? ? ? ?
7分

1 ?? ?? ? 2 ? 38000 ? 8000 ? ? ?? 0 ? ? ? ? 2? ? sin ? tan ? ??
(2) y ? 38000 ? 8000 ?

2 ? cos ? , sin ?

y? ? 8000

sin 2 ? ? ? 2 ? cos ? ? cos ? 8000 ?1 ? 2cos ? ? 10 分 ? sin 2 ? sin 2 ?

令 y? ? 0 ,则 ? ?

?
3

,当 ? ? ? 0,

? ?

??

? 时, y? ? 0 ,此时函数 y 单调递减; 3?

当 ? ??

? ?? ? ? 时, , ? 时 , y? ? 0 , 此 时 函 数 y 单 调 递 增 。 所 以 当 ? ? 3 ?3 2?
8 0 0? 0 3 。5 1 8 4 0
?

ym i ? 0 n 3 8 0 0?

答:当 ?ADC ? 60 时,等价最低,最低造价为 51840 元。 ········ 15 分 21. 某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高该生产线的生 产能力,提高产品的增加值.经过市场调查,产品的增加值 y 万元与技术改造投入的

x 万元之间满足:① y 与 (a ? x) 和 x 2 的乘积成正比;② x ? (0,
常数.若 x ?

2am ] ,其中 m 是 2m ? 1

a 3 时, y ? a . 2 (1)求产品增加值 y 关于 x 的表达式;(2)求产品增加值 y 的最大值及相应的 x 的值.

[ 解 析 ] (1) 设 y ? f ( x) ? k (a ? x) x 2 , 因 为 x ?

a 时 , y ? a3 , 所 以 k ? 8 , 所 以 2

f ( x) ? 8(a? x )2 x , x ? (0,

2am ]. 2m ? 1
2a . 3

(2)因为 f ' ( x) ? ?24 x2 ? 16ax ,令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 0 (舍), x ? ①当

2am 2a 2a 2a ? ) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x ? (0, ) ,即 m ? 1 时,当 x ? (0, 2m ? 1 3 3 3 2a 2am 2a 2am ) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x ? ( , ) 上是减 上是增函数,当 x ? ( , 3 2m ? 1 3 2m ? 1 2a 32 3 a ; 函数,所以 ymax ? f ( ) ? 3 27 2am 2a 2am ? )时 , f ' ( x ) ? 0 , 所 以 f(x) 在 ②当 , 即 0 ? m ? 1 时 , 当 x ? ( 0, 2m ? 1 3 2m ? 1

x ? (0,

2am 2am 32m2 3 ) 上是增函数,所以 ymax ? f ( )? a 综上,当 m ? 1 时,投入 2m ? 1 2m ? 1 2 m ? 1

2a 32 3 2 am 32m 2 3 a .当 0 ? m ? 1 时,投入 a . 万元,最大增加值 万元,最大增加值 3 27 2m ? 1 2m ? 1
22. [2014·浙江卷] 已知函数 f (x) ? x3 ? 3| x ? a | (a ? 0) , f ( x ) 在 [?1,1] 上的最小值 记为 g (a ) .(1)求 g (a ) ;(2)证明:当 x ?[?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a) ? 4 . [解析] (1)因为 a ? 0, x ?[?1,1] ,所以, (i)当 0 ? a ? 1 时, 若 x ? [?1,a] , 则 f (x) ? x 3?3 x ?3 a , f ' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 故 f ( x ) 在

x ? (?1, a) 上是减函数;若 x ? [a,1] ,则 f ( x) ? x3 ? 3x ? 3a , f ' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 x ? (a,1) 上是增函数.所以 g (a) ? f(a) ? a 3 .
(ii)当 a ? 1 时, 有x ? a, 则 f( x) ? x 3? 3 x ? 3 a ,f ' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 , 故 f ( x ) 在 (?1,1)

上是减函数,所以 g (a) ? f(1) ? ?2 ? 3a .综上, g (a) ? ?

? a3 ,0 ? a ? 1, ??2 ? 3a, a ? 1

(2)证明:令 h( x) ? f ( x) ? g (a) .(i)当 0 ? a ? 1 时, g (a) ? a 3 若 x ? [a,1] ,则 h( x) ? x3 ? 3x ? 3a ? a3 ,得 h' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 ,则 h( x ) 在 x ? (a,1) 上 是增函数,所以 h(x ) 在 x ? [a,1] 上的最大值是 h(1) ? 4? 3 a ? a3 ,而 0 ? a ? 1 ,所以

h(1)? 4,故 f ( x) ? g (a) ? 4 .
若 x ? [?1,a] , 则 h( x) ? x3 ? 3x ? 3a ? a3 ? 0 , 得 h' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 , 则 h (x )在

x ? (?1, a) 上是减函数,所以 h( x) 在 x ?[?1,a] 上的最大 值是 h(? 1) ? 2? 3 a ? a3 ,令 ) (0,1) 上 是 增 函 数 , 所 以 t(a) ? 2? 3 a ? a3 , 则 t ' (a) ? 3 ? 3a2 ? 0 , 知 t ( a 在 t (a) ? t (1) ? 4 ,即 h(?1) ? 4 .故 f ( x) ? g (a) ? 4 .
(ii)当 a ? 1 时,g(a) ? ?2 ? 3a , 故h () x ?x 3? 3 x? 2 , 得 h' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 , 此时 h( x)

在 x ? (?1,1) 上 是 减 函 数 , 因 此 h( x) 在 x ?[?1,1] 上 的 最 大 值 是 h(?1) ? 4 . 故

f ( x) ? g (a) ? 4 .综上,当 x ?[?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a) ? 4 .
23. [2014·四川卷] 已知函数 f(x) ? ex ? ax2 ? bx ?1 ,其中 a, b ? R , e ? 2.71828 ?为 自然对数的底数.(1)设 g(x) 是函数 f(x) 的导函数,求函数 g(x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (2)若 f(1) ? 0 ,函数 f(x) 在区间 (0,1) 内有零点,证明: e ? 2 ? a ? 1 .
x [ 解 析 ] (1) 由 f(x) ? ex ? ax2 ? bx ?1 , 得 g ( x ? ) ' xf ? (e ) ? a x2 ?, b所 以

g' ( x ?) ex ? a 2
当 x ? [0,1] ]时, g' (x) ?[1 ? 2a,e ? 2 a] .

1 时, g ' (x) ? 0 ,所以 g(x) 在 [0,1] 上单调递增,因此 g(x)min ? g (0) ? 1 ? b ; 2 e ' 当 a ? 时, g (x) ? 0 ,所以 g(x) 在 [0,1] 上单调递减,因此 g(x)min ? g (1) ? e ? 2a ? b ; 2 1 e ' 当 ? a ? 时,令 g (x) ? 0 ,得 x ? ln(2a) ? (0,1) , 2 2 所以函数 g(x) 在区间 [0, ln(2a)] 上单调递减,在区间 (ln(2a),1] 上单调递增, 于是, g(x) 在 [0,1] 上的最小值是 g(x)min ? g (ln(2a)) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b .
当a ?

综上所述,当 a ? 当

1 时, g(x) 在 [0,1] 上的最小值是 g(x)min ? g (0) ? 1 ? b ; 2

1 e ? a ? 时, g(x) 在 [0,1] 上的最小值是 g(x)min ? g (ln(2a)) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b ; 2 2 e 当 a ? 时, g(x) 在 [0,1] 上的最小值是 g(x)min ? g (1) ? e ? 2a ? b . 2 (2)证明:设 x0 为 f(x) 在区间 (0,1) 内的一个零点,则由 f (0) ? f ( x0 ) ? 0 可知,

f(x) 在区间 (0, x 0 ) 上不可能单调递增,也不可能单调递减.
则 g(x) 不可能恒为正,也不可能恒为负.故 g(x) 在区间 (0, x 0 ) )内存在零点 x1. 同理 g(x) 在区间 (x 0 ,1) 内存在零点 x2.故 g(x) 在区间 (0,1) )内至少有两个零点. 由(1)知,当 a ? 当a ?

1 时,g(x) 在 [0,1] 上单调递增,故 g(x) 在 (0,1) 内至多有一个零点; 2

e 时,g(x) 在 [0,1] 上单调递减, 故 g(x) 在 (0,1) 内至多有一个零点, 不合题意. 2 1 e 所以 ? a ? . 2 2 此时 g(x) 在区间 [0, ln(2a)] 上单调递减,在区间 (ln(2a),1] 上单调递增. 因此 x1 ? (0,ln(2a)), x 2 ? (ln(2a),1) ,必有 g(0) ? 1 ? b ? 0,g(1) ? e? 2a ? b ? 0 由 f(1) ? 0 ,有 a ? b ? e ? 1 ? 2 , g(0) ? a ? e ? 2 ? 0,g(1) ? 1 ? a ? 0 解得 e ? 2 ? a ? 1 所以,函数 f(x) 在区间(0,1)内有零点时, e ? 2 ? a ? 1 . ln x 3 2 24. 已知函数 f ( x) ? , g( x) ? x ? 2 x ? 2 ? xf ( x) . x 8
(Ⅰ)求函数 y ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 在 [em , ??)(m ? Z ) 上有零点, 求 m 的 最 大 值 ;( Ⅲ ) 证 明 : f( x) ? 1 ?

1 在其定义域内恒成立,并比较 x

f(22 ) ? f(32 ) ? ??? ? f (n2 ) 与

(2n ? 1)(n ? 1) ? ( n ? N 且 n ? 2 )的大小 2(n ? 1)
'

(3 x ? 2)( x ? 2) 4x 2 2 ∴函数 g ( x) 的单调递增区间为 (0, ), (2, ??) , g ( x) 的单调递减区间为 ( , 2) 3 3 2 (Ⅱ)∵ g ( x) 在 x ? [ ,?? ) 上的最小值为 g (2) 3 3 2 1 ln 4 ? 1 ?0 且 g (2) ? ? 2 ? 4 ? 2 ? ln 2 ? ln 2 ? ? 8 2 2 2 n ∴ g ( x) 在 x ? [ ,?? ) 上没有零点,∴要想使函数 g ( x) 在 [e ,??) , (n ? Z ) 上有零点, 3
[解析] (Ⅰ)由题知: g ( x) 的定义域为 (0, ??) ∵ g ( x) ?

2 且 f (e n ) ? 0 即可, 3 3 3 1 2 1 3 1 ?1 ?2 ?1 ?2 ? 2 ? 2 ? ln e ? 2 ? 2 ( 2 ? 2) ? 0 验证 g (e ) ? e ? 2e ? 1 ? 0 ,g (e ) ? 4 8 8e e e 8e n n ?1 n 当 n ? ?2 且 n ? Z 时均有 g (e ) ? 0 ,即函数 g ( x) 在 [e , e ] ? [e ,??)(n ? Z ) 上有零 点,∴ nmax ? ?2 . 1 ln x 1 ? 1 ? ( x ? 0) 只须证 ln x ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上恒 (Ⅲ)要证明 f ( x ) ? 1 ? , 即证 x x x 1 ' 成立. 令 h( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) ,由 h ( x) ? ? 1 ? 0 ? x ? 1 x 则 在 x ? 1 处 有 极 大 值 h(1) ? 0 , ∴ ln x ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上 恒 成 1 2 ? 立.∴ f ( n ) ? 1 ? 2 , n ? N ∴ f (23 ) ? f (32 ) ? ? ? ? ? f (n 2 ) ? n 1 1 1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? ? ? (1 ? 2 ) 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ) ? (n ? 1) ? [ ? ? ??? ? ] 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 (2n ? 1)( n ? 1) ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (n ? 1) ? ( ? )? 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 2n ? 2 (2n ? 1)( n ? 1) 2 2 2 ∴ f (2 ) ? f (3 ) ? ? ? ? ? f (n ) ? 2n ? 2
并考虑到 g ( x) 在 (0, ] 单调递增且在 [ , 2 ] 单调递减,故只须 e ?
n

2 3

2 3

三. 课本改编题: 1.【选修 2-2,2013 年 6 月版 P 14 第 5 题】已知函数 y ? f ( x ) 的图像在点 M (1, f (1)) 处 的切线方程是 y ?

1 x ? 2 ,那么 f (1) ? f ' ( x) ? 2



【答案】 3

改编:设函数 f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 2.【选修 2-2 ,2013 年 6 月版 P20 第 5 题 】直线 y ? 吗?(1) f ( x) ? . 【答案】 4 x ? y ? 0

1 x ? b 能作为下列函数图像的切线 2

1 4 x ; (2) f ( x) ? x ; (3) f ( x) ? sin x ; (4) f ( x) ? e . x 改编:[2014·安徽卷] 若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件:
(i)直线 l 在点 P( x0 , y0 ) 处与曲线 C 相切;(ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧.则 称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是 ________(写出所有正确命题的编 号). 3 ①直线 l :y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C :y=x ; 2 ②直线 l :x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1) ; ③直线 l :y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x; ④直线 l :y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x; ⑤直线 l :y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x. 【答案】①③④


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