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2015高考数学模拟试卷 新课标 27

2015 高考数学模拟试卷 新课标

1. 已知复数 z 1 =2+i,z 2 =3-i, 其中 i 是虚数单位, 则复数 A.0 B.

z1 的实部与虚部之和为 ( z2



1 C.1 D.2 2 2 2 2. 已知集合 M={x|x -2008x-2009>0},N={x|x +ax+b≤0}, 若 M∪N=R , M∩N=(2009,2010] ,

则 A .a=2009,b=-2010 C.a=2009,b=2010 3.已知条 件 p: B .a=-2009,b=2010 D.a=-2009,b=-2010 )

1 ? 0 和条件 q: lg( 1 ? x ? 1 ? x 2 ) 有意义,则 ? p 是 ? q 的( x ?1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

4.已知数列 {a n }为等差数列且 a1 ? a 7 ? a13 ? 4? , 则 tan(a 2 ? a12 ) 的值为 A. 3 B . ? 3 C. ?
3 3

D.— 3

5.某连队身高符合建国 60 周年国庆阅兵标准的士兵共有 45 人,其中 18 岁~21 岁的 士兵有 15 人,22 岁~25 岁的士兵有 20 人,26 岁~29 岁的士兵有 10 人,若该连队有 9 个参加国庆阅兵的名额,如果按年龄分层选派士兵,那么,该连队年龄在 26 岁~29 岁的士兵参加国庆阅兵的人数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 )

6. .执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 16,则图中判断框内①处应填( A.3 B.4 C.5 D.2

开始

a=1,b=1 否

a≤ ① 是 b=2b

输出 b

a=a+1 1

结束 结束

7. .在区间[-1,1]上随机取一个数 x,则 sin A.
1 4

?x
4 5 6

的值介于 ?

2 1 与 之间的概率为( 2 2

)

B.

1 3

C.

2 3

D.

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8. 已知 函数 f(x)=2sin( ? x+ ? )(其中 ? >0, | ? |< f(0)= 3 , 则( A. ? ?
1 ? ,? ? 2 6
2

? ? )的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 2

) B. ? ?
1 ? ,? ? 2 3

C. ? ? 2, ? ?

?
6

D.? ? 2, ? ?

?
3

9. .已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,若数 列{ A.
1 } 的前 n 项和为 Sn ,则 S2009 的值为( f (n)
2007 2008

) D.
2010 2011

B.

2009 2010

C.

2008 2009

10. .已知直线 l ? 平面?,直线m ? ?,有下列命题: (1) ? // ? ? l ? m (3) l // m ? ? ? ? A. (1) (2) (2)? ? ? ? l // m (4) l ? m ? ? // ? C. (2) (4) 其中正确的命题是 ( D. (1) ( 3) )

B. (3) (4 )

11. . △ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 , ∠ BAC=30° , 设 M 是△ABC 内的一点(不在边界上), 定义 f(M)=(x,y,z) , 其中 x,y,z 分别表示△MBC, △MC A, △MAB 的面积, 若 f(M)=(x,y, 则
1 4 ? 的最小值为( x y
1 ), 2

) C.18 D.16

A.9

B.8

?lg | x | ( x ? 0) 12. 若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x) 且 x∈(-1,1]时 f(x)=1-x2 , 函数 g(x)= ? , ( x ? 0) ?1

则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为( A.12 B.14 C.13 D .8 第Ⅱ卷

)

13.已知向量 a =(sin ? ,2)与向量 b =(cos ? ,1)互相平行,则 tan2? 的值为_______。 14. 抛物线 y ? 2 x 2 的准线方程是_____________; 15.一个几何体的三视图如下图所示, 则该几何体外接球的表面积为_______。

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2 2 2
正视图

2

2 2 2
侧视图

2

俯视图

16.设 n ?

?

2

1

(3 x 2 ? 2)dx ,则 ( x ?

2 x

) n 展开式中含 x 2 项的系数是_________。

17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m =(sin2x,cosx) , n =( 3 , 2cosx)(x∈ R),f(x) = m ? n ? 1 (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,角 A、 B、C 的对边分别为 a,b,c ,f(A)=2,a= 3 ,B= 18. .(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,∠BAC=90° ,O 为 BC 的中点。 (1)证明:SO⊥ 平面 ABC; (2)求二面角 A-SC-B 的余弦值. 19. .(本小题满分 12 分) 有一种舞台灯,外形是正六棱柱,在其每一个侧面(编号为① ② ③ ④ ⑤ ⑥ )上安装 5 只颜色 各异的灯,假若每只灯正常发光的概率为 0.5,若一个侧面上至少有 3 只灯发光,则不 需要更换这个面,否则需要更换这个面,假定更换一个面需要 100 元,用? 表示更换的 面数,用 ? 表示更换费用。 (1)求① 号面需要更换的概率; (2)求 6 个面中恰好有 2 个面需要更换的概率; (3)写出? 的分布 列,求 ? 的数学期望。 20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C :
x2 a
2

? , 求 b 的值。 4

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ?

2 , 点 A 是椭圆上的一点, 且点 A 到椭 2

圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ( x 0 , y 0 ) ,关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P1 ( x1 , y1 ) , 求 3 x 1 ? 4 y 1 的取 值范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=alnx,(a∈R)g(x)=x2 ,记 F(x)=g(x)-f(x) (Ⅰ)判断 F(x)的单调性; 1 1 (Ⅱ)当 a≥ 时,若 x≥1,求证:g(x-1)≥f( ); 2 x

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a 1 (Ⅲ)若 F(x)的极值为 ,问是否存在实数 k,使方程 g(x)-f(1+x2 )=k 有四个不同实数 2 2 根?若存在,求出实数 k 的取值范围;若不存在,请说明理由。 22.四、选考题: (本小题满分 10 分) 请考生在第 22、23、题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 2, ? 2 ? 2 2 ? cos( ?? (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程。 23.选修 4—5;不等式选讲 已知 f(x)=x|x-a|-2 (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)<|x-2| (2)当 x∈ (0,1] 时,f(x)<
1 2 x -1 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2

?
4

)?2

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参考答案 1.C 【解析】略 2.A 【解析】略 3.A 【解析】略 4.D 【解析】略 5.D 【解析】略 6.B 【解析】略 7.D 【解析】略 8.D 【解析】略 9.B 【解析】略 10.D 【解析】略 11.C 【解析】略 12.C 【解析】略 13.4 3

【解析】略 14.(0,1/8) 【解析】略 15. 8 ? 【解析】略 16.40 【解析】略

答案第 1 页,总 5 页

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17. 【解析】略 18. 【解析】略 19.(1)因为① 号面不需要更换的概率为:
1 1 = 2 2
3 4 5 C5 ? C5 ? C5

2

5

?

1 2

所以① 号面需要更换的概率为:P=1-

(2)根据独立重复试验,6 个面中恰好有 2 个面需要更换的概率为:
2 C6 15 2 1 2 1 4 ( ) ( ) ? 6 ? P6 (2)= C 6 2 2 64 2
2 C0 C1 C6 1 2 15 1 6 6 ? ? ? (3 ) 因 为 ? B ( , , P6 (1)= 6 , P6(2)= 6 , P6 (3)= 6 ) , 又 P6 (0)= 6 64 32 64 2 2 2 2

3 C6

26

?

C4 C5 C6 5 15 3 1 6 6 6 ? ? ? ,P6 (4)= 6 ,P6 (5)= 6 ,P6 (6)= 6 16 64 32 64 2 2 2

? 的分布列为: ?
P( ? ) 0 1 2 3 4 5 6

1 64

1 16

5 64

5 16

15 64

3 32

1 64

? =100 ? ,E ? =100E ? =300

【解析】略
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20 .解:(1) 依题意知, 2a ? 4,? a ? 2. ∵e ?

…… 2 分 …… 4 分

c 2 , c ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 2 . ? a 2

∴所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

…… 6 分

(2)∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? ,

? y 0 ? y1 ? x ? x ? 2 ? ?1, ? 0 1 ∴ ? ? y 0 ? y1 ? 2 ? x 0 ? x1 . ? 2 ? 2
解得: x1 ?

…… 8 分

4 y0 ? 3 x0 3 y0 ? 4 x0 , y1 ? . 5 5

…… 10 分 …… 12 分

∴ 3x1 ? 4 y1 ? ?5x0 .

x2 y2 ? ? 1 上, ∴ ? 2 ? x0 ? 2 , 则 ? 10 ? ?5x0 ? 10 . ∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 在椭圆 C : 4 2
∴ 3x1 ? 4 y1 的取值范围为 ?? 10, 10? . 【解析】略 21.解: (Ⅰ) F ( x) 的定义域为(0,+∞) , 当 a ? 0 时, F ?( x) >0 恒成立 ……14 分

F ?( x) ? 2 x ?

a 2x 2 ? a ? x x

∴ F ( x) 在(0,+∞)上单调递增;

当 a >0 时,若 0 ? x ?

2a 2a , F / ( x) <0 ∴ F ( x) 在(0, )上单调递减; 2 2

若 x>

2a 2a , F / ( x) >0,∴ F ( x) 在( ,+∞ )上单调递增. . . . . . . . . . . . .4分 2 2

1 1 2( x ? ) 2 ? (a ? ) 1 a 2 2 ? 0, (Ⅱ)令 h( x) ? g ( x ? 1) ? f ( ) ,则 h?( x) ? 2( x ? 1) ? ? x x x 1 所以 h( x) 在[1,+∞)上单调递增,∴ h( x) ? h(1) ? 0 ,∴ g ( x ? 1) ? f ( ) . . .8分 x
(Ⅲ)由(1)知 F ( x) 仅当 a >0 时,在

x=

2a 处取得极值 2

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2a a 由 F( ) ? 可得 a =2 2 2
令 t ? x 2 ,得

x2 1 ∴k ? . .○ ? 2 ln(1 ? x 2 ) . 2

t 2 . .○ ? k ? 2 ln(1 ? t ) . 2

1 有四个不同的根,则方程○ 2 有两个不同的正根, 方程○

t 当直线 y1 与曲线 y2 相切时, 由导数知识可得切点坐标 (3, ? k , y 2 ? 2 ln(t ? 1) , 2 t 3 3 2 ln 4 ) ∴切线方程为 y ? ? 2 ln 4 ? ,其在 y 轴上截距为 2 ln 4 ? ; 2 2 2 3 当直线 y1 在 y 轴上截距 ? k ? (0,2 ln 4 ? ) 时, y1 和 y2 在 y 轴右侧有两个不同交点,所以 2 3 k 的取值 范围为( ? 2 ln 4 ,0) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 2
令 y1 ? (附:也可用导数求解)

【解析】略 22.

【解析】略 23.

答案第 4 页,总 5 页

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【解析】略

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