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概率中-几何概型教案


概率中-几何概型教案
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 全国通用 1、几何概型的定义 2、与长度(角度)有关的几何概型 3、与面积(体积)有关的几何概型 4、几何概率公式

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级

60

教学目标

1. 了解几何概型的概念及基本特点; 2.熟练掌握几何概型的概率公式; 3.正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算.

教学重点

1、理解几何概型的定义、特点。 2、 会用几何概型概率公式求解随机事件的概率。

教学难点

将实际问题抽象成几何概型; 几何概型的概率计算中测度的选择。

教学过程
一、课程导入
思考: 玩转盘游戏 图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向黄色区域时,甲获胜,否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获 胜的概率是多少?

从上面的问题我们总结上述试验的共同特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个 (2)每个基本事件出现的可能性相等

二、复习预习
1、准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用几何概型求随机事件概率的关键。 2、定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为几何概型. 3、在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下: P(A)= 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

三、知识讲解
考点 1、几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型, 简称为几何概型.

考点 2、几何概型的概率公式
在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下: P(A)= 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

四、例题精析
考点一 与长度、角度有关的几何概型

例 1 已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________.

【规范解答】(1)根据点到直线的距离公式得 d=

25 =5; 5 |c| 5 =3,取 c=15,则直线 4x+3y=15 把圆所截得的劣弧的长 3,则可得直线 4x+3y=15 截得的圆弧所对的圆心角

(2)设直线 4x+3y=c 到圆心的距离为 3,则

度和整个圆的周长的比值即是所求的概率,由于圆半径是 2 为 1 60°,故所求的概率是 . 6

【总结与反思】本题考察了与角度、长度有关的几何概率,属于基础题。

考点二

与面积有关的几何概型

例 2 (1)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此 点取自阴影部分的概率是( A.1- 2 C. π 2 π ) 1 1 B. - 2 π 1 D. π

【规范解答】A (1)法一:设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,OA 的中点为 D,如图,连接 OC,DC.不妨令 OA=OB= 2,则 ?π 1 ? ? ? OD=DA=DC=1.在以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积 S1= + ×1×1-? - ×1×1?=1,所以整体图形中空 4 2 ?4 2 ? π 1 1 白 部分面积 S2=2.又因为 S 扇形 OAB= ×π×22=π,所以阴影部分面积为 S3=π-2. 4 所以 P= π-2 2 =1- . π π

法二:连接 AB,设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,令 OA=2. 由题意知 C∈AB 且 S 弓形 AC=S 弓形 B C=S 弓形 O C, 1 所以 S 空白=S△OAB= ×2×2=2. 2

1 又因为 S 扇形 OAB= ×π×22=π,所以 S 阴影=π-2. 4 所以 P= S阴影 = π-2 2 =1- . π π

S扇形OAB

考点三

与体积有关的几何概型

例 3(1)在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内随 机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( π A. 12 π C. 6 D.1- π B.1- 12 π 6 )

(2)一只蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行.若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的 6 个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同,那么蜜蜂飞 行是安全的概率为( )

1 A. 8 1 C. 27

B.

1 16

3 D. 8

【规范解答】(1)B

(2)C

(1)点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径的半球的外部.记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A, 1 4π 23- × ×13 2 3 23

则 P(A)=

=1-

. 12

π

(2)由题意,可知当蜜蜂在棱长为 10 的正方体区域内飞行时才是安全的,所以由几何概型的概率计算公式,知蜜蜂 103 1 飞行是安全的概率为 3= . 30 27

课程小结
1、准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用几何概型求随机事件概率的关键。 2、定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为几何概型. 3、在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下: P(A)= 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)


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