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2012届高三步步高大一轮复习课件:4.3三角函数的图象与性质_图文

§4.3

三角函数的图象与性质 自主学习

基础知识
要点梳理 1.“五点法”作图原理

在确定正弦函数 y=sin x 在[0,2π]上的图象形状时,起 关键作用的五个点是 (0,0) 、
?π ? ? ,1? ?2 ? ? ?

(π 、 ,0) 、

(2π

?3 ? ? π,-1? ? ? ? ,0)、 ?2

.

余弦函数呢?

2.三角函数的图象和性质 函数性质 定义域 y=sin x R y=cos x R y=tan x π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2

图象

值域

[-1,1]

[-1,1]

R

对称性

对称中心: 对称中心: π (kπ+ ,0) (k∈Z) (kπ,0)(k∈Z) 2

π 对称轴: x=kπ+ ____________ x=kπ (k∈Z) 2 ______________; (k∈Z) ______;

对称轴:

对称中心:
?kπ ? ? ,0? (k∈Z) ?2 ?

周期





π

π 单调增区间 [2kπ- , 2 单调增区间 [2kπ- 单调增区间 π π π 2kπ+2 ](k∈Z) ; π,2kπ] (k∈Z) ; 单调性 (kπ- ,kπ+ ) 2 2 π 单调减区间 [2kπ, 单调减区间 [2kπ+2, (k∈Z) 2kπ+π](k∈Z) 3π 2kπ+ 2 ] (k∈Z)
奇偶性







3.一般地对于函数 f(x),如果存在一个非零的常数 T,使 得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函 数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正 周期(函数的周期一般指最小正周期).函数 y=Asin(ωx 2π +φ)或 y=Acos(ωx+φ)(ω>0 且为常数)的周期 T= , ω π 函数 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期 T= . ω

[难点正本

疑点清源]

1.关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈ R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以 1 叫做 y=sin x,y=cos x 的上确界,-1 叫做 y=sin x,y= cos x 的下确界. 在解含有正余弦函数的问题时,要注意深入挖掘正、 余弦函数的有界性.

2.对函数周期性概念的理解 (1)周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域范 围的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的 常数.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x),或找到哪 怕只有一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x),都不能说 T 是函数 f(x)的周期. (2)从周期函数的定义,对于条件等式“f(x+T)=f(x)”可 以理解为自变量增加一个常数 T 后,函数值不变;从图象 的角度看就是, 每相隔距离 T 图象重复出现. 因此对于 f(ωx +φ+T)=f(ωx+φ) (ω>0),常数 T 不能说是函数 f(ωx+φ) ? ? ? T? 的周期.因为 f(ωx+φ)=f ?ω?x+ω?+φ?,即自变量由 x ? ? ? ? T T 增加到 x+ ,也就是 才是函数的周期. ω ω

基础自测

? ? ? ?π ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 4 ? ? 1.函数 y=tan? -x?的定义域为__________________. 4 ? ? π π 解析 -x≠ +kπ,k∈Z, 4 2 π 故 x≠- -kπ,k∈Z, 4 π 即 x≠-4+kπ,k∈Z.

2.已知函数 y=asin x-b (a<0)的最大值为 2,最小值为 1, 1 3 ? ? 则 a=______,b=________. 2 2

解析 ∵-1≤sin x≤1, ∴a-b≤asin x-b≤-a-b,
?-a-b=2 ? ∴? ?a-b=1 ?

1 3 ,∴a=- ,b=- . 2 2

π 3.函数 y=1-2sin xcos x 的最小正周期为________. 2π 解析 y=1-sin 2x,T= =π. 2

4.设点 P 是函数 f(x)=sin ωx (ω≠0)的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称 π 轴的距离的最小值是 ,则 f(x)的最小正周 4 期是( B ) A.2π B.π π C. 2 π D. 4

解析

由正弦函数的图象知对称中心与对 1 称轴的距离的最小值为最小正周期的 ,故 4 π f(x)的最小正周期为 T=4× =π. 4

? π? ? 5.函数 y=sin?2x+ ?的图象( 3? ? ? ?π ? ? A.关于点? ,0?对称 ? ?3 ?

A )

π B.关于直线 x= 对称 4 ?π ? ? C.关于点? ,0?对称 ? ?4 ? π D.关于直线 x= 对称 3 ? π π? π ? 解析 验证法: x= 时, ?2× + ?=sin π 当 sin 3 3? 3 ? ? ? ?π ? π? ? ? ? =0, 所以 y=sin?2x+ ?的图象关于点? ,0?对 ? 3? ? ?3 ? 称.

题型分类 深度剖析
题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例 1 求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cos x);(2)y= sin x-cos x.

思维启迪 本题求函数的定义域:(1)需注意对 数的真数大于零,然后利用弦函数的图象求 解; (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于 零,然后利用函数的图象或三角函数线求解.



(1)要使函数有意义,必须使 sin(cos x)>0.

∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1. 方法一 利用余弦函数的简图得知 π π 定义域为{x|- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z}. 2 2 方法二 利用单位圆中的余弦线 OM,依题意 知 0<OM≤1, ∴OM 只能在 x 轴的正半轴上, ∴其定义域为 ? ? ? π π ? ?x|- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z?. ? ? 2 2 ? ?

(2)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0. 方法一 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结 4 4 合正弦、余弦函数的周期是 2π,所以定义域为 ? π ? ? 5π ? ?x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. ? 4 ? 4 ? ?

方法二

利用三角函数线, 如图 MN 为正弦线,

OM 为余弦线, 要使 sin x≥cos x,即 MN≥OM, π 5π 则 ≤x≤ (在[0,2π]内). 4 4 ? π ? ? 5π ? ?x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. ∴定义域为? ? 4 ? 4 ? ? π? ? 方法三 sin x-cos x= 2sin?x- ?≥0, 4? ? ? π 将 x- 视为一个整体, 由正弦函数 y=sin x 的 4 π 图象和性质可知 2kπ≤x- ≤π+2kπ,k∈Z, 4 π 5π 解得 2kπ+ ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 4 4 所以定义域为 ? ? ? π 5π ? ?x|2kπ+ ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. ? ? 4 4 ? ?

探究提高

(1)对于含有三角函数式的(复合)函数

的定义域,仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式 (或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具, 即单位 圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用 数轴.

变式训练 1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= 2+log x+ tan x; 2 (2)y= sin?cos x?.
? ?2+log1x≥0 2 ? (1)?tan x≥0 ? ?x>0 ?



?

?0<x≤4 ? π ? ?0<x<2 或 π≤x≤4, π ?kπ≤x<kπ+ 2,k∈Z ? ? π? 所以函数的定义域是?0, 2?∪[π,4]. ? ?

(2)sin(cos x)≥0?0≤cos x≤1 π π ?2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 所以函数的定义域为 ? ? ? π π ? ?x|2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?. ? ? 2 2 ? ?
点评 函数的定义域就是使函数解析式各部分有意

义的自变量的取值范围,因此转化为求不等式(组)的 解集问题来解决. 要解三角不等式, 常用的方法有二: 一是图象,二是三角函数线.

题型二

三角函数的单调性与周期性

例 2 写出下列函数的单调区间及周期: ? π? ? (1)y=sin?-2x+ ?;(2)y=|tan x|. 3? ? ?
思维启迪 (1)化为
? π? y=-sin ?2x- ?,再求单调 3? ?

区间及周期.(2)y=|tan x|的图象→y=|tan x|的 图象→求单调性及周期.

? π? ? 解 (1)y=-sin?2x- ?, 3? ? ? ? π? ? 它的增区间是 y=sin?2x- ?的减区间, 3? ? ? ? π? ? 它的减区间是 y=sin?2x- ?的增区间. 3? ? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 ? π 5π? ? 故 所 给 函 数 的 减 区 间 为 ?kπ- ,kπ+ ? , 12 12 ? ? ? ? 5π 11π? ? k∈Z;增区间为?kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z. 12 12 ? ? ? 2π 最小正周期 T= =π. 2

(2) 观 察 图 象 可 知 , y = |tan x| 的 增 区 间 是 ? ? ? π? π ? ? ? kπ,kπ+ ? ,k∈Z,减区间是 ?kπ- ,kπ? , ? ? 2? 2 ? ? ? k∈Z.最小正周期:T=π.
探究提高 (1)求形如 y=Asin(ωx+ ? )或 y=Acos(ωx+ ? ) (其中 A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式 的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+? (ω>0)” 视为一个“整体”; ②A>0 (A<0)时, 所列不等式的方向与 y =sin x (x∈R),y=cos x (x∈R)的单调区间对应的不等式 方向相同(反).

(2)对于 y=Atan(ωx+ ? ) (A、ω、? 为常数),其周期 T π ? ∈?kπ-π,kπ+π?,解出 ? ? = ,单调区间利用 ωx+ |ω| 2 2? ? x 的取值范围, 即为其单调区间. 对于复合函数 y=f(v), v= ? (x), 其单调性判定方法是: y=f(v)和 v= ? (x) 若 同为增(减)函数时,y=f( ? (x))为增函数;若 y=f(v) 和 v= ? (x)一增一减时,y=f( ? (x))为减函数. 要画出图象,结合图象判定.

(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常

变式训练 2 求下列函数的单调区间: ? ? π? ? 1 ?π 2x? ? ? ? ? (1)y= sin? - ?;(2)y=-?sin?x+ ??. 4 ?? 2 ?4 3 ? ? ?? ?
1 ?π 2x? 1 ?2x π? 解 (1)y=2sin?4- 3 ?=-2sin? 3 -4?, ? ? ? ? ? π π? 因为函数 y=sin x 的递增区间是 ?2kπ- 2,2kπ+2?,(k∈Z), ? ? ? π 3π? 递减区间是?2kπ+ ,2kπ+ ?,(k∈Z), 2 2? ? π 2x π π 3π 9π 故由 2kπ- ≤ - ≤2kπ+ ?3kπ- ≤x≤3kπ+ (k∈Z), 2 3 4 2 8 8 π 2x π 3π 9π 21π 由 2kπ+2 ≤ 3 -4≤2kπ+ 2 ?3kπ+ 8 ≤x≤3kπ+ 8 (k∈Z), ? 3π 9π? ∴函数的递减区间为?3kπ- 8 ,3kπ+ 8 ? (k∈Z), ? ? ? 9π 21π? 递增区间为?3kπ+ ,3kπ+ ? (k∈Z). 8 8 ? ?

? ? π? ? ? ? (2)作出函数 y=-?sin?x+ ??的简图(如图), 4 ?? ? ?? ? ? π 3π? ? 由图象得函数的递增区间为 ?kπ+ ,kπ+ ? 4 4? ? ? ? π π? ? (k∈Z),递减区间为?kπ- ,kπ+ ? (k∈Z). 4 4? ? ?

点评

(1)熟练掌握正、 余弦函数 y=sin x、y=cos x 单调

区间是迅速正确求解正、余弦型函数的单调区间的关 键.特别提醒,当单调区间有无穷多个时,别忘了注明 k∈Z. (2)在求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时, 要特别注意 A 和 ω 的符号,若 ω<0,则通过诱导公式先将 ω 化正再求.

题型三 例3

三角函数的对称性与奇偶性 ( )

(1)(2010· 陕西)函数 f(x)=2sin xcos x 是

A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 ? π? (2)函数 y=sin?2x+ ?图象的对称轴方程可能是 ( ) 3? ? π π π π A.x=- B.x=- C.x= D.x= 6 12 6 12 思维启迪 (1)可以先化简为 y=sin 2x,再判断周期及奇

偶性. π (2)对 y=sin x 的对称轴为 x= 2+kπ,把“ωx+φ”看作 一个整体,即可求.

解析

(1)∵f(x)=2sin xcos x=sin 2x,

∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数. π π kπ π (2)令 2x+ =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z), 3 2 2 12 π 令 k=0 得该函数的一条对称轴为 x= .本题也可用 12 代入验证法来解.
答案 (1)C (2)D
探究提高 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,

f(x)取得最大或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. π 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ= +kπ (k∈Z),求 x. 2 如果求 f(x)的对称中心的横坐标, 只需令 ωx+φ=kπ (k∈Z) 即可.

π 变式训练 3 (1)函数 y=2sin(3x+φ) (|φ|< )的一条对称轴为 x 2 ? π = ,则 φ=________. 4 12 (2)函数 y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形,则 ? k? ? , k ? Z φ=___________. 2 π π 解析 (1)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z), 3× + 即 2 12 π π π φ=kπ+2 (k∈Z),得 φ=kπ+4 (k∈Z),又|φ|<2,∴k=0,故 π φ=4. π (2)由题意,得 y=cos(3x+φ)是奇函数,∴φ=kπ+2 ,k∈Z.

思想与方法 4.利用三角函数的有界性求函数的最值问题 ? π? 试题:(12 分)已知函数 f(x)=2asin?2x- ?+b 的定义域 3? ? ? π? 为?0, ?,函数的最大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 2? ? 的值.
审题视角
? π π? ①求出 2x- 的范围,求出 sin?2x- ?的值 3 3? ?

域.②系数 a 的正、负影响着 f(x)的值,因而要分 a>0, a<0 两类讨论.③根据 a>0 或 a<0 求 f(x)的最值,列方 程组求解.

规范解答 π π π 2 解 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ π, 2 3 3 3 ? 3 π? ∴- ≤sin?2x- ?≤1, 2 3? ? ?2a+b=1 ? 若 a>0,则? , ?- 3a+b=-5 ?
?a=12-6 3 ? 解得? ; ?b=-23+12 3 ? ?2a+b=-5 ? 若 a<0,则? ?- 3a+b=1 ?

[3 分]

[7 分]
?a=-12+6 3 ? ,解得? ?b=19-12 3 ?

[11 分]

综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3 或 a=-12+6 3,b=19-12 3. [12 分]

批阅笔记

(1)解决此类问题,首先利用正弦函数、余

弦函数的有界性或单调性求出 y=Asin(ωx+φ)或 y= Acos(ωx+φ)的最值,再由方程的思想解决问题. (2)本题易错点是:忽视对 a>0,a<0 的分类讨论,导致 漏解.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1. 利用函数的有界性(-1≤sin x≤1, -1≤cos x≤1), 求三角函数的值域(最值). 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值. 3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数 的正负号).

失误与防范 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分 析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的 影响. 2.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y =Asin(ωx+φ) (ω>0)的形式,再根据基本三角函数的 单调区间,求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问 题应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单 ? ?π ? π? 调增区间不同:(1)y=sin?2x- ?;(2)y=sin? -2x?. 4? ? ?4 ? 3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性, 如:y=sin2x-4sin x+5,令 t=sin x(|t|≤1),则 y= (t-2)2+1≥1,解法错误.
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