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求空间角与距离


§9.9 立体几何中的向量方法(Ⅱ)—— 求空间角与距离 基础知识 自主学习
要点梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它 的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的法向量,则求法向量的 ?n· ? a=0 方程组为? . ?n· ? b=0

2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ= |cos〈m1,m2〉| . (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n, 则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ= |cos〈m,n〉| .

(3)求二面角的大小 1°如图①,AB、CD 是二面角 ? ? l ? ???? ??? 的两个面内与棱 l 垂 ? ? 直的直线,则二面角的大小是 θ=
AB, CD

2° 如图②③,n1,n2 分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α, β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足 cos θ= cos〈n1,n2〉 或 -cos〈n1,n2〉 .

3.点面距的求法 如图,设 AB 为平面 ? 的一条斜线段,n 为平面 ? 的
??? ? AB ? n

法向量,则 B 到平面 ? 的距离 d=

n

[难点正本 疑点清源] 1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来 计算的,对空间各种角概念必须深刻理解.平行和垂直可以 看作是空间角的特殊情况. 2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻 找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点线面的位置关系的 判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量 的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 3.求点到平面距离的方法:①垂面法:借助面面垂直的性质来 作垂线,其中过已知点确定已知面的垂面是关键;②等体积 法,转化为求三棱锥的高;③等价转移法;④法向量法.

基础自测 1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是 a=(1,0,1), b=(0,1,1), 那么,这条斜线与平面所成的角是( D ) A.90° B.30° C.45° D.60° 1 1 解析 ∵cos〈a,b〉= = , 2· 2 2

又∵〈a,b〉∈[0° ,180° ],∴〈a,b〉=60° .

2.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0), n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小 为( C ) A.45° C.45° 135° 或 B.135° D.90°

解析

1 2 m· n cos〈m,n〉=|m||n|= =2, 1× 2

即〈m,n〉=45° ,其补角为 135° , ∴两平面所成的二面角为 45° 135° 或 .

3.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方 1 向向量、法向量,若 cos〈m,n〉=-2, 则 l 与 α 所成的角为( A ) A.30° B.60° C.120° D.150°

设 l 与 α 所成的角为 θ, 1 则 sin θ=|cos〈m,n〉|=2,∴θ=30° . 解析

4.如图所示,在空间直角坐标系中, 有一棱长为 a 的正方体 ABCO— A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F
解析
2 a 的距离为________. 2

由图易知 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a). ? ? ?a a a? a ∴F?a,2,0?,E?2,2,2?. ? ? ? ? ∴|EF|=
? a?2 ?a a?2 ? a?2 ?a- ? +? - ? +?0- ? = 2? ?2 2? ? 2? ?

a2 a2 2 4 + 4 = 2 a.

5.如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90° ,点 E、F 分别 是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角 是________.

解析 以 BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,BB1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系. 设 AB=BC=AA1=2, 则 C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1), ??? ? ???? ? 则 EF =(0,-1,1), BC1 =(2,0,2), ??? ???? ? ? ∴ EF ? BC1 =2, ??? ???? ? ? 2 1 EF , BC1 = ∴cos = , 2×2 2 2 ∴EF 和 BC1 所成角为 60° .
答案 60°

题型分类 深度剖析
题型一 求异面直线所成的角 例 1 如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2 .E、F 分 别是线段 AB、BC 上的点,且 EB=BF=1. 求直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值.

思维启迪: 本题易于建立空间直角坐标系, (1) → → 把 E C 1 与 F D 1 所成的角看向量EC1与FD1的夹 角,用向量法求解. (2)平移线段 C1E 让 C1 与 D1 重合,转化为平面 角,放到三角形中,用几何法求解.

??? ???? ???? ? AD AA 解 方法一 以 A 为原点, AB、 、 1 分别为 x 轴、y
轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有 D1(0,3,2), → → E(3,0,0),F(4,1,0),C1(4,3,2),于是EC1=(1,3,2),FD1= (-4,2,2),设 EC1 与 FD1 所成的角为 β,则: cosβ=
???? ???? ? ? EC1 ? FD1 ???? ???? ? ? EC1 ? FD1

1×?-4?+3×2+2×2 = 2 1 +32+22× ?-4?2+22+22 21 = 14 , ∴直线 EC1 与 FD1 所成的角 21 的余弦值为 14 .

方法二 延长 BA 至点 E1,使 AE1=1, 连结 E1F、DE1、D1E1、DF, 有 D1C1∥E1E,D1C1=E1E, 则四边形 D1E1EC1 是平行四边形. 则 E1D1∥EC1. 于是∠E1D1F(或补角)为直线 EC1 与 FD1 所成的角. 在 Rt△BE1F 中, E1F= E1B2+BF2= 52+12= 26.

2 在 Rt△D1DE1 中,D1E1= DE2+DD1 1

= AE2+AD2+DD2= 12+32+22= 14. 1 1 在 Rt△D1DF 中,FD1= FD2+DD2 1
2 = CF2+CD2+DD1= 22+42+22= 24.

在△E1FD1 中,由余弦定理得: D1E2+FD2-E1F2 21 1 1 cos∠E1D1F= = . 14 2×D1E1×FD1 21 ∴直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值为 . 14

探究提高

方法一与方法二从两个不同角度

求异面直线所成的角.方法一把角的求解转化 为向量运算,方法二体现传统方法作—证— 算;应注意体会两种方法的特点.“转化”是 求异面直线所成角的关键.平移线段法,或化 为向量的夹角.一般地,异面直线 AC、BD 的 夹角 β 的余弦为 cos β=
???? ??? ? AC ? BD ???? ??? ? AC ? BD

变式训练 1 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点.?1?求证:EF∥平面 ACD1; ?2?求异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值; ?3?在棱 BB1 上是否存在一点 P,使得二面角 P—AC—B 的大小为 30° ?若存在,求出 BP 的长,若不存在,请说明理由.

?1?证明 如图所示,分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 D—xyz, y z 由已知得 D?0, 0, 0?,A?2,0,0?,B?2,2,0?,C?0,2,0?,,B1?2,2,2?,D1?0, 0,2?,E?1,0,2?,F?0,2,1?.易知平面 ACD1 的一个法向量

??? ???? ? ???? ? ? ??? ? 是 DB1 =?2,2,2?.又∵ EF =?-1,2,-1?,∴ EF ? DB1 = ??? ???? ? ? -2+4-2=0,∴ EF ⊥ DB1 ,而 EF?平面 ACD1,∴EF∥平面
ACD1.

?2?解 ?3?解

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? EF ? AB 4 6 ??? ? cos EF , AB ? ??? ??? ? ? ? ? ∵ AB =?0, 0?, 2, ∴ 3 ?? EF ? AB 2 6

设点 P?2,2,t? ?0<t≤2?,平面 ACP 的一个法向量为 n
???? ?n ? AC ? 0, ???? ??? ? ? ? ,则 ? n ? ??? ? 0. ∵ AP =?0,2,t?, AC ? AP ?

=?x,y,z?

= ?-2,2,

2 2 0?, y=1, x=1, 则 z=- t , ∴n= (1, - t ). 1, ???? ???? 易知平面 ABC 的一个法向量 BB? =?0, 0,2?, 依题意知, BB? , 〈
???? ???? cos BB1,n〉 〈 ? n〉=30° 或〈 BB? ,n〉=150° ,∴ ? 4 t 4 t2 ? 3 2

?-?x+?y=0, ? 取 ? ?y+tz=0.

2? 2 ?

,

6 6 6 4 ? 4 ? (2 ? 2 ), 解得 t= 即 t2 4 3 或 t=- 3 ??舍去?.∵ 3 ∈?0,2], t

∴在棱 BB1 上存在一点 P,当 BP 的长为 P—AC—B 的大小为 30° .

6 3

时,二面角

题型二

求直线与平面所成的角

例 2 如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是 等腰直角三角形,∠ACB=90° ,侧棱 AA1=2,D、 E 分别是 CC1、A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的 射影是△ABD 的重心 G.求 A1B 与平面 ABD 所成角 的正弦值.

思维启迪: 建立空间直角坐标系, 求出各点及向量的坐标,
??? ? ???? 求出 A1B 与 EG 夹角的余弦值的绝对值即可.

解 如图所示,建立空间直角坐标系,坐标原点为 C, 设 CA=2a,则 A?2a,0,0?,B?0,2a,0?,D?0,0, 1? , A1?2a , 0 , 2?,E?a , a , 1? , G(
2a 3



? ??? ? 1 1 2 ? ??? ? ∴a=1, EG ? ? ? 3 , ? 3 , ? 3 ? , AB ? ?
??? ? EG 为平面
???? ??? ? ???? ??? ? A1B ? EG 2 A1B, EG ? ???? ??? ? ? 3 A1B ? EG

? ??? ? a a 2 ? ??? ? EG ? ? ? , ? , ? ? , BD ? 3 3 3?

??? ??? 2 2 2 ? ? ? ? 0, 2a,1? . EG ? BD ? a ? ? 0 , 3 3
? ? ?2, 2, ?2 ? .

2a 3

, ),

1 3

ABD 的一个法向量. ,
2 3

且 cos

∴A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值是

.

探究提高

平面的法向量,有时需要求出,有

时题目本身就有,要准确理解题意,把法向量 找出来.如本题中由于 E 在平面 A B D 上的射影 是△A B D 的重心 G ,则 E G ⊥平面 为平面 A B D 的法向量.
??? ? A B D ,EG 即

变式训练 2 如图所示,已知点 P 在正方体 ABCD— A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA=60° . ????1?求 DP 与 CC′所成角的大小; ?2?求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.



??? ? ???? ? 建立空间直角坐标系 Dxyz. DA =?1, 0?, ' 0, CC
???? ? BB′D′D 中, ,延长 DP 交 B′D′于 H.设 DH

如图所示,以 D 为原点,DA 为单位长度

= ?0 , 0 , 1?., 连 接 BD , B′D′. 在 平 面 =?m,m,1? ?m>0?,由已知
???? ??? ? ? ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? DH ? DA ? DA ? DH cos DH , DA
2 2

???? ???? ? DH , DA =60° ,由
?m ?+? .解

,可得 2m=


得m=

???? ? ,所以 DH =(

2 2

2 2



1)

(1)因为 cos 所以
???? ???? ? ? DH , CC '

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ???? ? ? 2 2 DH , CC ' ? 2 ? . 2 1? 2

=45° 即 DP 与 CC′所成的角为 45° , .
2 2 ?0? ? 0 ? 1? 0 1 2 2 ? 2 1? 2

???? (2)平面 A A 'D D '的一个法向量是 DC =(0,1,0). 因

为 cos

???? ???? ? DH , DC

=

,所以

???? ???? ? DH , DC



60° ,,可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30° .

题型三 例 3

求二面角 ?2010· 陕西?如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面

ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC= 2 2 ,E,F 分别是 AD,PC 的中点. ?1?证明:PC⊥平面 BEF; ?2?求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.

思维启迪:建立空间直角坐标系,利用向量坐标求解.
?1?证明 如图,以 A 为坐标原点,AB,AD, AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐 标系. ∵AP=AB=2,BC=AD=2 2 , 四边形 ABCD 是矩形, ∴A,B,C,D,P 的坐标为 A?0,0,0?,B?2,0,0?, C?2, 2 2 ,0?,D?0, 2 2 ,0?, P?0,0,2?.又 E,F 分别是 AD,PC 的中点, ∴E?0, 2 ,0?,F?1, 2 ,1?.

??? ? ??? ? PC =?2, 2 2 ,-2?, BF =?-1, ??? ? EF =?1,0,1?.

2 ,1?,

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? PC ? BF ? ?2 ? 4 ? 2 ? 0, PC ? EF ? 2 ? 0 ? 2 ? 0. ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? PC ? BF , PC ? EF . ? PC ? 平面BEF .

(2)解 由(1)知平面 BEF 的一个法向量 n1 =

??? ? PC =?2, 2 2 ,-2?,平面 BAP 的一个法向量 n2 ???? = AD =?2, 2 2 ,0??,
∴n1·2=8., n 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ,,则 cos θ=
| n1 ? n2 | 8 2 ? ? |cos〈n1,n2〉|= | n1 || n2 | 4 ? 2 2 2



∴θ=45° . ∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45° .

探究提高 求二面角最常用的方法就是分别 求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后 通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的 大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐 角还是钝角.

变式训练 3 如图所示,在五面体 A B C D E F 中,F A ⊥平面 A B C D , A D ∥B C ∥F E ,A B ⊥A D ,M 为 E C
1 的中点,A F =A B =B C =F E =?AD. 2

(1)求证:B F ⊥D M ;? (2)求二面角 A —C D —E 的余弦值.?
解 以 A 为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系,不妨设 A B =1,? 依题意得 A (0,0,0) (1,0,0) 、B 、? C (1,1,0) (0,2,0) (0,1,1) 、D 、E 、
1 1 F (0,0,1) M ? ( ,1, ). 、 2 2

(1)证明

??? ? ???? ? BF =(-1,0,1) DM ,

1 1 ? ( , ?1, ), 2 2

??? ???? ? ? 1 1 BF ?DM ? ? ? 0 ? ? 0, ?∴B F ⊥D M .? ∴ 2 2

(2)解
??? ? ?u? ? 0, CE ? 则 ?u????? ? 0, ? DE ?

设平面 C D E 的一个法向量为 u=(x,y,z),?

??? ? ??? ? 又 CE =(-1,0,1) DE =(0,-1,1) , ,?

? ? x ? z ? 0, ?? ? ? y ? z ? 0.

令 x=1,可得 u=(1,1,1).? 又由题设,平面 A C D 的一个法向量为 v=(0,0,1),?
u?v 0 ? 0 ?1 3 ? ? . ∴cos〈u,v〉=? | u |? v | | 3 3 ?1
3 . 3

故二面角 A —C D —E 的余弦值为

题型四 求空间距离 例4 在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA= SC=2 3,M、N 分别为 AB、SB 的中点,如 图所示. 求点 B 到平面 CMN 的距离.

思维启迪:由平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC,BA= BC,可知本题可以取 AC 中点 O 为坐标原点,分别以 OA,OB,OS 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直 角坐标系,用向量法求解.
解 取 AC 的中点 O, 连接 OS、 OB.∵SA=SC, AB=BC, ∴AC⊥SO,AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC, 平面 SAC∩平面 ABC=AC, ∴SO⊥平面 ABC, 又∵BO?平面 ABC,∴SO⊥BO.

如图所示,建立空间直角坐标系 Oxyz, 则 B(0,2 3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2 2), M(1, 3,0),N(0, 3, 2).
???? ? ∴ CM =(3,

???? ? MN =(-1,0, 2), ???? MB =(-1, 3,0).

3,0),

设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,
???? ? ? CM ·=?x+ 3 y=0 n ? ? ? ???? 取 n ? MN ·=-x+ 2 z=0 ?

z=1,

则 x= 2,y=- 6,∴n=( 2,- 6,1). ???? | n ? MB | 4 2 ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d= | n | ? 3 .

探究提高

点到平面的距离,利用向量法求解
???? H .由 BH ?

比较简单,它的理论基础仍出于几何法.如本 题,事实上,作 B H ⊥平面 C M N 于
???? ???? ???? ? ? ???? ? BM ? MH 及BH ? n ? n ? BM . ???? ???? ???? ? ?| BH ? n |?| n ? BM|=|BH|? | n |, ???? ? ???? ? ???? | n ? BM | | n ? BM | ?| BH |? , 即d ? . |n| |n|

变式训练 4 如图所示,已知直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD⊥BD,AD=BD= a,AA1= 2a,E 是 CC1 的中点. (1)求证:A1D⊥平面 BDE; (2)求点 D1 到平面 BDE 的距离; (3)求二面角 B—DE—C 的余弦值.



如图所示,以 D 为原点,DA、DB、DD1

所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系,则 B(0,a,0),A1(a,0, 2a), ? 2 ? ? C(-a,a,0),E?-a,a, a?, 2 ? ? ?
???? ∴ AD =(-a,0,- 2a),

2 ? → → ? ? DB=(0,a,0),BE=?-a,0, a?. 2 ? ? ?

???? → (1)证明∵ AD DB=0+0+0=0,

∴A1D⊥DB,同理 A1D⊥BE. 又 DB∩BE=B,∴A1D⊥平面 BDE.

??? ? ?n1 ? BD ? 0, ? ? ? ??? (2)解 设平面 BDE 的一个法向量 n1=(x, z), ? n ? BE ? 0. y, 则 ? 1 ?ay=0, ?y=0, ? ? 即? ∴? 2 ?z= 2x. ? ?-ax+ 2 az=0. ?
令 x=1,得 n1=(1,0, 2). ???? ? 又 DD1 =(0,0, 2a),∴点 D1 到平面 BDE 的距离为 ???? ? ? ???? ? | n ? DD1 | ???? 2× 2a 2 d? ?| DD1 | ? | cos DD1 , n1 | = 2a× = 3a. | n1 | 2a× 3 3

(3)解 设平面 DEC 的一个法向量 n2=(x,y,z), ??? ? ? n1 ? CE ? 0, ? 2 ? ?x=y, ? az=0, ? ???? ? 2 ∴? ?n1 ? DC ? 0. 即? ? ?z=0. ? ?-ax+ay=0. ? 令 x=1,得 n2=(1,1,0). 6 n1·2 n ∴cos〈n1,n2〉= = . |n1|· 2| 6 |n ∵点 B 在平面 CDE 的射影落在 CDE 内, ∴二面角 B—DE—C 为锐角. 6 ∴二面角 B—DE—C 的余弦值为 6 .

答题模板 10.向量法求空间角 试题: (12 分)如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底 面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC, 求二面角 P—AC—D 的大小.

审题视角 (1)由于正方形的对角线互相垂直,则以 正方形的对角线为坐标轴建立空间直角坐标系.(2)注 ??? ? 意到SD⊥平面PAC,即 DS 是平面PAC的法向量.

规范解答 (1) 证明 连结 BD,设 AC 交 BD 于 O, 由题意知 SO⊥平面 ABCD. → → → 以 O 为坐标原点,OB,OC,OS分别为 x 轴、y 轴、z 轴正 方向,建立坐标系 Oxyz,如图所示. 6 设底面边长为 a,则高 SO= a. 2 ? ? ? 6 ? 2 ? ? ? 于是 S?0,0, a?,D?- a,0,0?, ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ???? ? ? 2 2 ? ? OC ? C?0, a,0?, ? ? 0, 2 a, 0 ? . ? 2 ? ? ? ? 2 6 ? → ? ? SD=?- a,0,- a?, 2 2 ? ? ? → → OC· =0, SD 故 OC⊥SD,从而 AC⊥SD. [6 分] [2 分]

(2)解

由题设知,

6 ? → ? 2 ? 平面 P A C 的一个法向量DS=? a,0, a?,[8 分] 2 ? ? 2 ? 6 ? → ? ? 平面 D A C 的一个法向量OS=?0,0, a?, ? ? ??? ??? 2 ? ? ?
OS ? DS 3 ??? ??? ? ? ? 设所求二面角为 θ,则 cos θ= OS DS 2 ,

所求二面角 P -A C -D 的大小为 30°.

答题模板 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量?直线的方向向量、平面的法向 量?坐标. 第四步:计算向量的夹角?或函数值?. 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题 规范.

批阅笔记

?1?利用向量求角是高考的热点, 几

乎每年必考,主要是突出向量的工具性作 用.,?2?本题易错点是学生在建立坐标系时不能 明确指出坐标原点和坐标轴,导致建系不规 范.,?3?将向量的夹角转化成空间角时,要注意 根据角的概念和图形特征进行转化, 否则易错.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.若利用向量求角,各类角都可以转化为向量的夹角来运 算.?1?求两异面直线 a、b 的夹角 θ,须求出它们的方向向 量 a,b 的夹角,则 cos θ=|cos〈a,b〉|.?2?求直线 l 与平 面 α 所成的角 θ,可先求出平面 α 的法向量 n 与直线 l 的 方向向量 a 的夹角.则 sin θ=|cos〈n,a〉|.?3?求二面角 α—l—β 的大小 θ,可先求出两个平面的法向量 n1,n
2

所成的角,则 θ=〈n1,n2〉或 π-〈n1,n2〉. 2.求点到平面的距离,若用向量知识,则离不开以该点为端 点的平面的斜线段.

失误与防范 1. 利用向量求角, 一定要注意将向量夹角转化 为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定 义、范围不同. 2. 求点到平面的距离, 有时利用等积法求解可 能更方便.

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