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第4节 定积分的换元法和分部积分法


第四节

定积分的换元积分法和分部积分法

一、定积分的换元积分法
定理
? f ? x ? ? C ?a , b? ? ? ? ?? ? ? a , ? ? ? ? ? b ?? ? ?? ? ? ?? x ? C ?? , ? ? , ? ? x ? ? 0 ?? ? ?

?

b a

f ( x ) dx ?

??

?

f [? ( t )]? ?( t ) dt



??

?

f [? ( t )]? ?( t ) dt
?

?

??

?

f [? ( t )] d? ( t )

?????? F [? ( t ) ] ?

F ?? x ? ? f ? x ?

?

? F [? ( ? )] ? F [? (? )]
?

? F (b) ? F (a )

?

b

f ( x ) dx .
a

证毕.

1

?
注意: (1)
f

b a

f ( x ) dx ?

??

?

f [? ( t )]? ?( t ) dt

? x ? ? C ? a , b ? 保 证 了 ?a
? ?

b

f

? x ? d x的 存 在 ,

? ? ? t ? ? C ?? , ? ? 保 证 了 ?

f [? ( t )] ? ?( t ) d t的 存 在 ,

? ? ? t ? ? 0保 证 了 x ? ? ? t ? 单 调 , 即 有 反 函 数 ,

从而保证了回代的可行性.

(2)

公式优点:不必回代

2

例1

?

? /2

x ? a rc co s t

cos
0

5

x sin x d x ? ? ? ? ? ?
6

?

? /2
0

co s x d co s x

5

? ?

1 6

cos

x

? /2
0

?

1 6

.

注:此例采用了凑微分法(第一换元法),所以积分限无需代换,下面三 例也是如此.

例2
例3

?0

3

dx x (1 ? x )

? 2?

3 0

d

x

t?

x

1? x
t

? ? ? ? 2 a rcta n

3

x
0

?

2? 3

.

?0

2

x 1? x
1? x
2

x?

dx ???
2

1 2

?

2 0

1 1? x
2

dx

2

?

2 0

?

5 ?1.

3

例4 解

计算

?

?
0

sin x ? sin
?

3

x dx . x dx ?

原式 ?
对 x分 类

?
0

sin x cos
0

2

?

?

| cos x |
0

sin x d x

?

????
?

?

2

co s x sin x d x ?
?

??

?

co s x sin x d x

2

?

?

2 0

sin x d sin x ?
2

??
x

sin x d sin x
? ?
2

2

?

2 3

?

sin

3

x

2 0

?

2 3

2

sin

3

?

4 3

.

4

例5 解

计算 令
3

?

8 0

dx 1?
3

. x
3
2

x ? t , x ? t , dx ? 3t dt ,

x : 0 ? 8,

t :0 ? 2,
dt ? 3?
2 0

原式 ?
2

?

2 0

3t

2

t ?1?1
2

1? t

1? t

dt
2

? 3? (t ? 1 ?
0

1 1? t

)d t ? 3 (

1 2

t

2

? t ? ln 1 ? t ) 0 ? 3 ln 3 .

注:此例采用了第二换元法,所以积分限必须代换.

5

例6 解

计算

?

ln 3 0

e ? 1 dx .
x

令 e x ? 1 ? t , e x ? 1 ? t 2 , x ? ln( t 2 ? 1 ) ,
dx ? 2t t ?1
2

d t , x : 0 ? ln 3 , t :
2t t ?1
2

2 ? 2,

原式 ?
? 2( 2 ?

?

2 2

t?

dt ? 2?
2

2 2

(1 ?

1 t ?1
2

) dt
1 3 ? ln 2 ?1 2 ?1

2 ) ? ln

t?1 t?1

? 2(2 ?
2

2 ) ? ln

? 2( 2 ?

2 ) ? ln 3 ? 2 ln(

2 ? 1) .
6

例7 解

计算

?

1 0

x

2 2 2

(1 ? x )

dx .
2

令 x ? tan t ,

d x ? sec t d t , t : 0 ?
2

?
4

原式 ?
?

?
?

? /4
0

tan

t ? sec t
2 4

dt
? /4
0

sec t
sin t d t ?
2

? /4
0

1

? 2
?

( 1 ? cos 2 t ) d t
1 4
7

?

?
8

?

1 4

sin 2 t

? /4
0

?

?

.

8

例8

求函数 y ?

x

2

1? x

在区间[
2

1 2
?

,

3 2

]上的平均值.
2

3



?
?

2 1 2

x
?

2

1? x
3 2

dx
2

x ? sin t
?
3

??

3

sin t cos t

? cos t d t

6

??
?

sin t d t ?
1 4

1

6

?? 2

( 1 ? cos 2 t ) d t

6

?

?

sin 2 t

? /3 ? /6

?

?
12



12

所以平均值等于

?
12

(

3 2

?

1 2

)?

3 ?1 12

? .
8

例9

x ? 0 ? 2 x, ? , 求 设 f (x) ? ?1 ? x , x ? 0 ?1 ? x ?

?

2 0

f ( x ? 1 )d x .



令 x?1? t,

原式 ?
?

?

1 ?1
1 0

f (t ) dt ?
2 xdx ?
1 0

?

1 ?1

f ( x )d x

?

?

0 ?1

1? x 1? x 2

dx

? x

2

?

?

0 ?1

(?1 ?

1? x
0

) dx

? 1 ? 1 ? 2 ln( 1 ? x ) ? 1 ? 2 ln 2 .
9

利用函数的对称性,有时可简化计算.
设 f ( x ) 在 [? a , a ] 上 连 续 , 那 么
(1) 若 f ( x ) 为 偶 函 数 ,则
( 2 ) 若 f ( x ) 为 奇 函 数 ,则
a ?a a

?
?

f ( x ) dx ? 2? f ( x ) dx ;
0

a ?a

f ( x ) dx ? 0 .



?
?

a ?a
0

f ( x ) dx ?

?

a 0

f ( x ) dx ?

?

0 ?a

f ( x ) dx ,

x ? ?t f ( x ) dx

?a

?

a 0

f (? t ) dt ?

?

a 0

f (? x ) dx ,

?

?

a ?a

f ( x )d x ?

?

a 0

[ f ( x ) ? f ( ? x )] d x ,
10

?
(1)

a ?a

f ( x )d x ?

?

a 0

[ f ( x ) ? f ( ? x )] d x
y
y ? f (x)

f ( x )为 偶 函 数 , 则
f ( ? x ) ? f ( x ),

?
(2)

?

a ?a

f ( x ) dx ? 2? f ( x ) dx
0

a

o

f ( x )为 奇 函 数 , 则
f ( ? x ) ? ? f ( x ),

y

y ? f (x)

x

?

?

a ?a

f ( x ) dx ? 0 .

o

x
11

例10

?

?
?? 2

sin x cos x 1 ? a sin
2 2

2

x ? b cos
2

2

x

dx ? 0 .

奇函数
2 2

?

1 ?1

(x ?

1 ? x ) dx ?

?

1 ?1

( x ? 2 x 1 ? x ? 1 ? x ) dx
2

?

?

1 ?1

1 dx ?

?

1 ?1

2 2 x 1 ? x dx ? 2 .

奇函数 奇函数

?

1 ?1
1

ln( x ?

1 1? ? ? ? dx ? 0 , 1 ? x ) dx ? 0 , ? ? x ?1 ?2 ?1 2?
2
1

2? x? ? ? ? 1 ? 1 ? ln 2 ? x ? d x ? ? ?

?

1 ?1

dx ? 2 ,
1 2

?

1 ?1

x (e ? e
2 x

?x

? 1) d x ? 2 ? x d x ?
0

2 3

.
12

注:

? f ? x ?关 于 l : x ? C 对 称 ? ? ? ? ? a , b ? 与 ? c , d ?关 于 x ? C 对 称 ?

?

b a

f ( x ) dx ?

?

d

f ( x ) dx ;
c

? f ? x ?关 于 M ? C , 0 ? 对 称 ? ? ? ? ? a , b ? 与 ? c , d ?关 于 x ? C 对 称 ?

?

b a

f ( x ) dx ? ? ?

d

f ( x ) dx
c

例11(周期函数在一个周期内的积分)

?


a?T a

f

? x ?T ?? f ? x?

f ( x ) dx ???????

?

T

f ( x ) dx
0

汉语表述:

周期函数在任意周期内的积分相同

?
?

a ?T

f ( x ) dx
a

?

0 a

f ( x ) dx ?

?

T 0

f ( x ) dx ?

?

a ?T

f ( x ) dx ,
T

?

a ?T

f ( x ) dx
T

x ?T ? t
0

?

a 0

f (t ? T ) dt

?

?

a 0

f (t ) dt ? ? ? f ( x ) dx ,
a
a ?T a

?

?

f ( x ) dx ?

?

T

f ( x ) dx .
0

14

例12
(1)

设 f ( x ) 在 [ 0, ] 上 连 续 ,证 明 : 1

?

?
0

f (sin x ) d x ? 2 ?

? /2

f (sin x ) d x .
0



?
?
/2

?
0

f (sin x ) d x ?

?

? /2
0

f (sin x ) d x ?

??

?
/2

f (sin x ) d x ,

??
?

f (sin x ) d x t ? ? ? x
? /2

??
? /2

0 /2

f [sin( ? ? t )] d ( ? t )

?

f (sin t ) d t
0
?
0

?

?
0

f (sin x ) d x ,

0

?

?

f (sin x ) d x ? 2 ?

? /2

f (sin x ) d x .
15

例12 (2)

设 f ( x ) 在 [ 0, ] 上 连 续 ,证 明 : 1

?

? /2
0

f (sin x ) d x ?

?

? /2

f (cos x ) d x .
0



令 t?

?
2

? x,
0

?
?

? /2
0

f (sin x ) d x ? ? ?

? /2

f [sin(

?
2

? t )] d t

?

? /2

f (cos x ) d x .
0
16

例12
(3)

设 f ( x ) 在 [ 0, ] 上 连 续 ,证 明 : 1

?

?
0

xf (sin x ) d x ?

?
2

?

?
0

f (sin x ) d x ,

并计算

?

?
0

x sin x 1 ? cos
2

dx . x

证 令 t ?? ? x,
I ? ?

? ?

?
0

xf (sin x ) d x ?

? ? (?

0

? t ) f [sin( ? ? t )] ( ? d t )

?
0

( ? ? t ) f (sin t ) d t ? ?

?

?
0

f (sin x ) d x ? I ,

? I ?

?
2

?

?

f (sin x ) d x .
0

17

?
?
0

?
0

xf (sin x ) d x ?

?
2

?

?

f (sin x ) d x
0

?
?

x sin x 1 ? cos
?
0

f

? x ??

sin x 2 ? sin
2

2

dx x

????????

x

?
2

?

?
0

sin x 1 ? co s x
2

dx

?
2

?
?

1 1 ? cos
2

d cos x ? ? x

?
2

arctan(cos

x)

?
0

? ?

2

[arctan( ? 1 ) ? arctan 1 ] ?

?

2

.

4
18

例13 设 f ( x ) 在 ( ?? , ? ? ) 上 连 续 , 且 满 足

?


x 0

t f ( x ? t ) dt ? e ? x ? 1 , 求 f ( x ) ,
x

令 u ? x?t, 则
x 0 x 0

?
?

t f ( x ? t ) dt ? ? ? ( x ? u) f (u) du
x

0

?

( x ? u) f (u) du ? x ? x?
x 0 x 0 x

x 0

f (u) du ?
x

?

x

u f (u) du ,
0

?

f (u) du ?

?

x 0

u f (u) du ? e ? x ? 1 ,
x

两边求导,?


f ( u ) d u ? xf ( x ) ? xf ( x ) ? e ? 1 ,

?

x 0

f ( u ) d u ? e ? 1 , 再求导,得

f (x) ? e

x

.
19

例14

设 f (x) ?

?
1

x 1

ln t 1? t

dt ,其 中 x ? 0 ,求 f (

1 x

) ? f (x) .



f(

1 x

)?

?

x 1

ln t 1? t

dt
x 1

t ? 1/ u

?

x 1

ln u u? u
2

du ,

? f(

1 x

) ? f (x) ?

?

ln u u (1 ? u )

dt ?

?

x 1

ln t 1? t

dt

?

?

x 1

? ln t ln t ? ? ? ? t (1 ? t ) 1 ? t

? ? dt ? ? ?

?

x 1

ln t t

dt

?

1 2

ln x .

2

20

练习:
P245 习题六

21

二、定积分的分部积分法
定理
设 函 数 u ( x ), v ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 可 导 , 则
b a b

?
略证

u dv ? ( uv ) a ? ? v du .
a
b b

b

?

b a

? u dv ? ? ? uv ? vdu ? ? (uv ) b ? b v du . u dv ? ? ? ?a a ? ?a ? ?a ? ? ? ?
1 0

例1

?

xe dx ?
x

?

1

x de
0

x

? xe

x 1 0

?

?

1 0

e dx

x

? e?e

x

1 0

?1.
5 1

例2

?

5 1

ln x d x ? x ln x

?

?

5

x d ln x
1

? 5 ln 5 ?

?

5 1

x?

1 x

d x ? 5 ln 5 ? 4 .

22

例3

?

e 1

ln x x
3

dx ? ?
e 1

1

? 2
e 1

e

ln x d
1

1 x
2

? ?
? ?

1 2x
1 2e
2

2

ln x
? 1

?
1 x
3

1

? 2

1 x
2

d ln x
1 2e
?
0

? 2

e 1

dx ? ?

2

?

1 4x
2

e

?
1

1 4

?

3 4e
2

.

例4

?

?
0
2

x sin x d x ? ? ?
2

x d cos x
2

2

? ? x cos x

?
0

?

?

?
0

2 x cos x d x ? ?

?

?
2

?

2 x d sin x
0

? ?

2

? 2 x sin x

?
0

?

?

?
0

2 sin x d x ? ?

?4.
23

与换元法结合.
例5 解 计算 ? 0
1

e

x

dx .

令 x ? t , x ? t 2 , d x ? 2 td t , t : 0 ? 1 ,

原式 ?

?

1 0

2 t e d t ? 2 ? t de
t

1

t

0

? 2te

t

1 0

? 2? e dt
t 0
t 1 0

1

? 2e ? 2e

? 2.

24

例6

计算

?

3

arcsin
0

x 1? x
? t,

dx .
x 1? x ? sin t ,
2

解 令 arcsin

x 1? x


,

解得 x ? tan 2 t ,

x :0 ? 3 , t :0 ?

?
3

原式 ?

?

? /3

t d tan
0

2

t ? t ? tan t
2

? /3 0

?

?

? /3
0

tan t d t
? /3
0

2

?? ?
? 4? 3

?

? /3
0

(sec t ? 1 ) d t ? ? ? tan x
2

?

?
3

?

3 .
25

例7 解

计算
I ?

?

e

sin(ln x ) d x .
1

?

e

sin(ln x ) d x
1

? x sin(ln x )
? e sin 1 ?
e

e 1

?

?1

e

x ? cos(ln x ) ?
x ) dx
e 1

1 x

dx

? 1 cos(ln

? e sin 1 ? x cos(ln x )

?

?1

e

x ? sin(ln x ) ?

1 x

dx

? e sin 1 ? e cos 1 ? 1 ? I ,
? I ? 1 2
26

(e sin 1 ? e cos 1 ? 1 ) .

例8 计算积分 I ? 解

?

1 0

f (x) x

dx , 其中 f ( x ) ?
?x

?

x

e
1

?t

2

dt .

采用分部积分的方法 , f ?( x ) ? e
I ?

?

1 2 x
f (1) ? 0

?

1 0

f (x) x

dx ? 2? f ( x ) d
0
1

1

x

? 2 f (x)

x
0

? 2?
?x

1

x df ( x )
0

? ?2?
1

1 0

x ?e
?x

? 2

1 x

dx

? ?? e
0

dx ?

1 e

?1.
27

例9


计算 I n ?
In ? ??
n?1

?

? /2

sin
0

n

xdx , (n ? N )

? /2

sin
0

n?1

x d cos x
? ( n ? 1)?
2

? ? sin

x cos x
? /2
0

? /2
0

? /2

cos
0

2

x sin

n?2

x dx

? ( n ? 1)?

( 1 ? sin

x ) sin

n?2

x dx

? ( n ? 1) I n? 2 ? ( n ? 1) I n ,

得到递推公式: I n ?

n?1 n

I n?2 , (n ? 2)

28

In ?

?

? /2

sin
0

n

xdx ,

In ?

n?1 n

I n?2 (n ? 2)



I0 ?

?
2

, I1 ? 1 ,

若n为正偶数,则

In

n?1 n?3 3 1 ? ? ?? ? ? I0 n n?2 4 2

n?1 n?3 3 1 ? ? ? ?? ? ? ? ; n n?2 4 2 2

若n为大于1的奇数,则
In n?1 n?3 4 2 ? ? ?? ? ? . n n?2 5 3
29

3 1 ? ?n ?1 n ? 3 ? ? n ? n ? 2 ? ? ? 4 ? 2 ? 2 , n为 正 偶 数 n 2 ?0 sin xdx ? ? n ? 1 n ? 3 4 2 ? ? ? ? ? ? , n为 大 于 的 奇 数 1 n?2 5 3 ? n



例如,?

? /2

sin
0

6

5 3 1 ? 5? , x dx ? ? ? ? ? 32 6 4 2 2

?
另外,?

? /2

sin
0

5

4 2 8 x dx ? ? ? . 5 3 15

? /2

cos
0

n

xdx ?

?

? /2

sin
0

n

xdx .
30

例10 计算 I ?

I ?

?

?

co s
0

5

x 2

dx ,

(n ? N )



x 2

? t,
5

则 dx ? 2dt ,

?

? /2
0

co s t d t

16 4 2 ? . ? 2? ? 15 5 3

31

二、小结
定积分的换元积分公式

?

b a

f ( x ) dx ?

??

?

f [? ( t )]? ?( t ) dt

(注意:第二换元法中,换元必换限)

定积分的分部积分公式

?

b

udv ? ? uv

?

b

?

a

a

?

b

vdu .

a

(注意与不定积分分部积分法的区别)

32

*思考题
设 f ?? ( x ) 在 ? 0 ,1 ? 上 连 续 , 且 f ( 0 ) ? 1 ,

f ( 2 ) ? 3 , f ? ( 2 ) ? 5 , 求 ? x f ?? ( 2 x ) dx .
0

1

33

思考题解答

?0

1

x f ?? ( 2 x ) dx ?
?

1
1 2

?0 2

1

xd f ? ( 2 x )
1

? x f ? ( 2 x ) ?0
f ?( 2 ) ? ? 1 4 1 4

?

1

2?

1

f ? ( 2 x ) dx
1

0

? ?

1 2 5 2

? f ( 2 x ) ?0
f ( 0 )? ? 2 .

? f (2) ?

34

练习题
一、 填空题:
?

1、 设 n 为 正 奇 数 , 则 2、 设 n 为 正 偶 数 , 则 3、 4、 5、
二、 1、

?0 ?0

2

sin cos

n

xdx ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; xdx = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;

? 2 n

? ? ?

1

xe
0 e

?x

dx ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;

x ln xdx ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;

1 1 0

x arctan xdx ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

计算下列定积分:

?

e

sin(ln x ) dx ;

2、

1

?

e 1 e

ln

x

dx


35

3、 J ( m ) ?
?

?0

?

x sin

m

xdx , m 为 自 然 数 ) (

4、

?0

sin

n?1

x cos( n ? 1 ) xdx .
?

三 、 已 知 f ( x ) ? tan
四 、 若 f ?? ( x ) 在 ? 0 , ? 证明:

2

x ,求

?0

4

f ? ( x ) f ?? ( x ) dx .

?连 续 , f ( 0 ) ? 2 , f ( ? ) ? 1 ,

?

?
0

[ f ( x ) ? f ?? ( x ) ] sin xdx ? 3 .

36

练习题答案
一 、 1、 4、 二 、 1、
( n ? 1 )! ! n!! 1 (e
2



? 1) ;

4 e sin 1 ? e cos 1 ? 1

( n ? 1 )! ! ? 2 1? ? ; 2、 3、 ; e n! ! 2 1 3 1 3 ) ? ? ln . 5、 ( ? 4 9 2 2
; 2 、 2 (1 ?
2

1 e

);

2

?1 ? 3 ? 5 ? ( m ? 1) ? ? , m 为偶数 ? 2 ? 4 ? 6? m ? 2 3、 J ( m ) ? ? ; ? 2 ? 4 ? 6 ? ( m ? 1 ) ? ? , m ? 1为奇数 ? 1 ? 3 ? 5? m ?
37

0, ? ? 4 、 ? 2 ( n ? 1 )! ! ?, ? ? n! !

当 n 为正奇数时 当 n 为正偶数时


三 、 8.

38

练习:
P245 习题六

39


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