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高三三角函数辅导讲义


1.弧度制 (1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示 |α|=________,l 是半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长. (2)弧度与角度的换算:360°=________rad,180°=________rad,1°=____________rad≈0.01745rad,反过来 1rad=________≈57.30°=57°18′. (3)若圆心角 α 用弧度制表示,则弧长公式 l=__________;扇形面积公式 S 扇=________=________. 2.任意角的三角函数的定义 设 α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P(x,y)与原点的距离为 r(r>0),则 sinα=_____________,cosα= ________,tanα=________ (x≠0). 3.三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容: x -α π ±α 2 π±α 3π ±α 2 2π±α (2)sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα 三者之间的关系 (sinα+cosα)2=________________;(sinα-cosα)2=________________; (sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=____________;(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=___________. 4.三角函数的图象和性质 函数 sinx -sinα cosx cosα tanx -tanα

函数 性质

y=sinx

y=cosx

y=tanx

定义域

①________

②________

____________

图象 (一个周期) 值域 ④________ ⑤________ R

对称性

对称轴:⑥________;对称 中心:⑦_______

对称轴:⑧________;对称 中心:⑨________

无对称轴; 对称中心:⑩______

最小正 周期

?________

?_________

?_______

单调增区间 单调性 ?________; 单调增区间 ?________ 奇偶性 ?________

单调减区间 ?________; 单调减区间 ?________ ?________
21 _______ ○

单调增区间 ?_______

5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=___________________________.(2)cos(α±β)=__________________________. (3)tan(α±β)=_______________________. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=______________. (2)cos2α=__________________=_________________=__________________. (3)tan2α=________________________. 升幂公式:1±sinα=____________________; 1+cosα=____________________;1-cosα=____________________. 2 2 (2)降幂公式:sin α=____________________;cos α=____________________. (3)tanα±tanβ=______________________; (4) 辅 助 角 公 式 : asinα + bcosα = a +b sin(α + φ) , 其 中 cosφ = ____________________ , sinφ = ____________________,或 tanφ=____________________,φ 角所在象限与点(a,b)所在象限________,φ 角的终 边经过点(a,b). 5π 5π 练习:1.已知角 x 的终边上一点坐标为(sin ,cos ),则角 x 的最小正值为( 6 6 5π A. 6 5π B. 3 11π C. 6 2π D. 3 )
2 2

π 2.已知 cosα=k,k∈R,α∈?2,π?,则 sin(π+α)=(

?

?

)
2

A.- 1-k B. 1-k C.-k 3 2 3.若 tanα= ,则 cos α+2sin2α=( ) 4 64 A. 25 48 B. 25 C.1 16 D. 25

2

2

D.± 1-k

π 4.已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则 sinα 的值是(

?

?

)

3 5 3 7 A. B. 5 7

3 10 1 C. D. 10 3 )

1 1-tanα 5.已知 sinα+cosα= ,α∈(0,π),则 =( 2 1+tanα

A.- 7B. 7C. 3D.- 3 2 6.已知函数 f(x)=(1+cos2x)sin x,x∈R,则 f(x)是( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π π C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 π 2π 7.若 ω>0,函数 y=cos?ωx+6?的图象向右平移 个单位长度后与原图象重合,则 ω 的最小值为( ? ? 3 4 2 A. B. C.3 3 3 D.4 )

π π 8.将函数 y=sin?2x-3?图象上的点 P?4,t?向左平移 s(s>0)个单位长度得到点 P′.若 P′位于函数 y=sin2x 的图

?

?

?

?

象上,则(

)

1 3 π π A.t= ,s 的最小值为 B.t= ,s 的最小值为 2 6 2 6 1 3 π π C.t= ,s 的最小值为 D.t= ,s 的最小值为 2 3 2 3 1 3 2tan14° 9.设 a= cos2°- sin2°,b= ,c= 2 2 2 1-tan 14° A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b 1-cos50° ,则有( 2 )

10.若一扇形的周长为 60cm,那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时,扇形的面积最大. 11.函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则 tanθ=________. 1+cos2x π 12.设 f(x)= +sinx+a2sin?x+ ?的最大值为 2+3,则常数 a=__________ 4? ? π 2sin? -x? ?2 ? π 13.把函数 y=sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位,纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y=f(x)的 6 π π 图象,对于函数 y=f(x)有以下四个判断:①该函数的解析式为 y=2sin?2x+6?;②该函数图象关于点?3,0?对称;

?

?

?

?

π π ③该函数在?0,6?上是增函数;④若函数 y=f(x)+a 在?0,2?上的最小值为 3,则 a=2 3.

?

?

?

?

其中正确判断的序号是________. 14.已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+ cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)求 f(x)在区间[0, ? ]的单调递增区间.

π 15.已知向量 a=(2cosx, 3sinx),b=(cosx,2cosx),函数 f(x)=a?b+m,m∈R,且当 x∈?0,2?时,f(x)的最

?

?

小值为 2. (1)求 f(x)的单调递增区间; 1 π (2)先将函数 y=f(x)的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,再把所得的图象向右平移 个单位, 2 12 π 得到函数 y=g(x)的图象,求方程 g(x)=4 在区间?0,2?上的所有根之和.

?

?


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