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2018届北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试题及答案 (2)

北京市朝阳区 2017-2018 学年度高三年级第一学期期末统一 考试 数学试卷(理工类) (考试时间 120 分钟 2018.1 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部 分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每 小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设 i 为虚数单位,则复数 z ? 1 ? i 在复平面内对应的点所在的 i 象限是 A.第一象限 D.第四象限 2. 过抛物线 y2 ? 4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点.若 AB 中点 M B.第二象限 C.第三象限 到抛物线准线的距离为 6,则线段 AB 的长为 9 B. 12 C. 6 A. D. 无 法确定 3.设函数 f ( x) ? sin(2x ? ?) 的图象为 C ,下面结论中正确的是 3 A.函数 f ( x) 的最小正周期是 ?? B.图象 C 关于点 ( ? ,0) 对称 6 C.图象 C 可由函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 ? 个单位得到 3 -1- D.函数 f ( x) 在区间 (? ? , ? ) 上是增函数 ?? 2 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三 棱锥的全面积是 A. C. 4?2 6 4?2 3 B. 8 D. 4 3 5. ?,? 表示不重合的两个平面, m , l 表示不重合的两条直 线.若 ? ? ? ? m ,l ? ? ,l ? ? ,则“ l ∥ m ”是“ l ∥ ? 且 l ∥ ”的 B.必要且不充分 A.充分且不必要条件 条件 C.充要条件 要条件 D.既不充分也不必 6.在 ?ABC 中, B ? π ,则 sin A ? sin C 的最大值是 4 A. 1 ? 2 4 B. 3 4 C. 2 2 D. 2 ? 2 4 7.点 O 在 ?ABC 的内部,且满足 OA ? 2OB ? 4OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积 与 ?AOC 的面积之比是 -2- A. D. 2 7 2 B. 3 C. 5 2 8.设连续正整数的集合 I ? ?1,2,3,...,238? , 若 T 是 I 的子集且满足条 7x ?T , 件: 当 x ? T 时, 则集合 T 中元素的个数最多是 ( ) C. 208 A. D. 209 204 B. 207 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答 案填在答题卡上. 9.角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边 经过点 P(1, 2) ,则 sin(π ? ? ) 的值是 . ;渐近 10.双曲线 C : x2 ? y 2 ? ?( ? ? 0 )的离心率是 线方程是 . ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 11.设不等式组 ? x ? 0, 表示平面区域为 D ,在区域 D 内随 ?y ? 0 ? 机取一点 P ,则点 P 落在圆 x2 ? y 2 ? 1内的概率为 . 12.有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时,1 点响 1 声,2 点响 2 声,3 点响 3 声,……,12 点响 12 声(12 时 制) ,且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为 1 秒.在 一次大钟报时时,某人从第一声铃响开始计时,如果此次 是 12 点的报时,则此人至少需等待 秒才能确定时 秒 间;如果此次是 11 点的报时,则此人至少需等待 -3- 才能确定时间. 13. 在锐角 AOB 的边 OA 上有异于顶点 O 的 6 个点, 边 OB 上有异 于顶点 O 的 4 个点,加上点 O ,以这 11 个点为顶点共可以 组成 14.已知函数 f ( x) ? 个三角形(用数字作答) . sin πx ( x ? R ) .下列命题: π x ? π1? x ①函数 f ( x) 既有最大值又有最小值; ②函数 f ( x) 的图象是轴对称图形; ③函数 f ( x) 在区间 [?π, π] 上共有 7 个零点; ④函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增. 其中真命题是 . (填写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说 明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下 的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,从该城市 市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间 的 600 人进行调查, 并按年龄层次[20,30), [30,40), [40,50), [50,60),[60,70),[70,80]绘制频率分布直方图,如图所示. 若规定年龄分布在[20,40)岁的人为 “青年人” , [40,60)为 “中 -4- 年人” , [60,80]为“老年人”. 频率 组距 0.03 0.02 0.01 O 20 30 40 50 60 70 80 年龄 (Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估 算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在 20-80 年龄段的 人口分布的概率.从该城市 20-80 年龄段市民中随机抽 取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X ,求随机变量 X 的 分布列和数学期望. 1 6. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AB ,点 E 是 PB 的中点,点 F 在边 BC 上移动. (Ⅰ)若 F 为 BC 中点,求证: EF //平面 PAC ; (Ⅱ)求证: AE

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