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线性规划问题的求解策略-高考数学解题模板

【高考地位】 线性规划问题是高考的必 考内容,其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。近年来,高考中的线 性规划问题更趋灵活多样,体现了“活、变、新”等特点,更加深刻的考查学生解决综合性问题的能力。 在高考中以各种题型中均出现过,其试题难度属中高档题. [来源:学科网 ZXXK] 【方法点评】 类型一 线性目标函数问题 使用情景:求目标函数的最值 解题模板:第一步 第二步 第三步 根据已知约束条件画出其可行域; 平移目标函数的直线系,根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解; 得出结论. ? x ≥ 0, ? ?2 x ? y ? 2 ≤ 0, ? 例 1 已知实数 x , y 满足不等式组 ? y ≥ ?2, 则 2 x ? y 的最大值是___________. ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? x ? y 的最大值是 例 2 错误! 未找到引用源。 已知 x 、y 满足不等式组 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 , 则z?2 ?y ?1 ? . ?y ? 2 ? 【变式演练 1】已知变量 x , y 满足约束条件 ? : ? x ? y ? 1 ,若 ? 表示的区域面积为 4,则 z ? 3x ? y 的最 ?x ? y ? a ? 大值为___________. ?x ? k ? 【变式演练 2】已知约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 表示面积为 1 的直角三角形区域,则实数 k 的值为( ?x ? y ? 0 ? A.0 B.1 C.1 或 3 ) D.3 类型二 非线性目标函数问题 使用情景:求非线性目标函数的最值 解题模板:第一步 第二步 根据已知约束条件画出其可行域; 借助目标函数的几何意义,并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如 直线的斜率问题、两点的距离的平方等; 第三步 得出结论. ? x ? 0, y ?1 ? 例 3 已知不等式组 ? x ? y ? 0, 则z ? 的最大值为 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12, ? [来源:Z.xx.k.Com] . ?3x ? y ? 6 ? 0 ? 例 4 在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域上一动点, 已知点 ? x ? 0, y ? 0 ? A ? ?1, 2? ,则直线 AM 斜率的最小值为( A. ? ) C. 0 D. 2 3 B. ?2 4 5 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5 若 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? y ? 2 | x | 的最大值为( ?y ? 0 ? A.-8 B.-4 ) C.1 D.2 ?x ? y ? 4 ? 0 y2 ? 【变式演练 3】已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 的最大值是( x ?x ?1 ? 0 ? A. ) 1 3 B.9 C.2 D.11 ?x ? 2 y ? 0 y 1 ? 【 变式演练 4】若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,且 z ? 仅在点 A( ?1, ) 处取得最大值, 2 x?a ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 则实数 a 的取值范围为( ) B.(??,?1) C.(?2,?1) D.(?1,1) [?2,?1) A. 【变式演练 5】已知实数 x , y 满足 ? ?x ? 2 y ?1 ? 0 2x ? y ? 2 ,则 z ? 的取值范围为( x ? x ? y ?1 ? 0 ?10 ? , ?? ? ?3 ? C. ? 2, ) A. ? 0, ? 10 ? ? 3? ? B. ? ??, 2? ? ? ? 10 ? ? 3? ? D. ? ??, 0? ? ? ?10 ? , ?? ? ?3 ? 类型三 含参数线性目标函数问题 使用情景:求含参数线性目标函 数的最值 解题模板:第一步 第二步 讨论; 第三步 得出结论. 根据已知约束条件画出其可行域; 画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较并进行分类 ?y ? x ? 例 6 已知 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的-2 倍,则 a 的值是 ?x ? a ? . ? y ? x, ? 【变式演练 6】错误!未找到引用源。设 m ? 1 ,变量 x , y 在约束条件 ? y ? mx, 下,目标函数 z ? x ? my ?x ? y ? 1 ? 的最大值为 2 ,则 m ? _________. 【高考再现】 ? x ? y ? 2, ? 1.【2016 高考山东文数】若变量 x,y 满足 ? 2 x ? 3 y ? 9, 则 x2+y2 的最大值是( ? x ? 0, ? (A)4(B)9(C)10(D)12 ) ? x ? y ? 3 ? 0, ? 2.【2016 高考浙江文数】若平面区域 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 间的距离的最小值是( A. 3 5 5 ) B. 2 C. 3 2 2 D. 5 ?x ? y ?1 ? 0 ? 3.【2016 高考新课标 2 文数】若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为__________ ?x ? 3 ? 0 ? ? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 4. 【2016 高考新课标Ⅲ文数】 若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 错误! 未找到引用源。 则 z ? 2 x ? 3 y ? 5 ? x ? 1, ? 的最大值为_____________. 5.【2016 高考新课标 1 文数】某高科技企业 生产

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