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求递推数列通项公式的常用方法


求递推数列通项公式的常用方法
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点,也是一个难点,高考也往往通过考查递推 数列来考查学生对知识的探索能力, 求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形, 推得原 数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列, 把一些较难处理的数列问 题化为中学中所研究的等差或等比数列,下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二, 供参考: 一 公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有

an = S n ? S n ?1 (n ≥ 2) ,等差数列或等比数列的通项公式。
例一 已知无穷数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,并且 an + S n = 1( n ∈ N ) ,求 {a n } 的通项
*

公式? 【解析】 ∵ S n = 1 ? an ,∴ an +1 = S n +1 ? S n = an ? an +1 ,∴ an +1 = :

1 1 an ,又 a1 = , 2 2

?1? ∴ an = ? ? . ?2?
反思:利用相关数列 {a n } 与 {S n } 的关系: a1 = S1 , an = S n ? S n ?1 ( n ≥ 2) 与提设条件, 建立递推关系,是本题求解的关键. 跟踪训练 1.已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn ,满足关系 lg
( Sn +1)

n

= n (n = 1, 2 ???) .试证数列

{an } 是等比数列.
归纳法: 二 归纳法:由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式,再利用数学归纳法证明 其正确性,这种方法叫归纳法. 例二 已知数列 {a n } 中, a1 = 1 , an = 2an ?1 + 1( n ≥ 2) ,求数列 {a n } 的通项公式. 【解析】 ∵ a1 = 1 , an = 2an ?1 + 1( n ≥ 2) ,∴ a2 = 2a1 + 1 = 3 , a3 = 2a2 + 1 = 7 ???? : 猜测 an = 2 ? 1 ( n ∈ N * ) ,再用数学归纳法证明.(略)
n

反思: 反思:用归纳法求递推数列,首先要熟悉一般数列的通项公式,再就是一定要用数学归 纳法证明其正确性. 其前 n 项和为 Sn , 并且对于所有自然数 n ,an 与 跟踪训练 2.设 {a n } 是正数组成的数列, 1 的等差中项等于 Sn 与 1 的等比中项,求数列 {a n } 的通项公式. 累加法: 三 累加法:利用 an = a1 + ( a2 ? a1 ) + ???( an ? an ?1 ) 求通项公式的方法称为累加法。累加法 是求型如 an +1 = an + f ( n) 的递推数列通项公式的基本方法( f ( n) 可求前 n 项和).

-1-

例三

已 知 无 穷 数 列 { a n } 的 的 通 项 公 式 是 an = ?

?1? ? , 若 数 列 {bn } 满 足 b1 = 1 , ?2?

n

(n ≥ 1) ,求数列 {bn } 的通项公式.

1 ?1? 【解析】 b1 = 1 , bn +1 ? bn = ? ? (n ≥ 1) ,∴ bn = b1 + (b2 ? b1 ) + ???(bn ? bn ?1 ) =1+ + ?? + : 2 ?2?

n

?1? ? ? ?2?

n?1

?1? =2?? ? ?2?

n?1

.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an +1 = an + f ( n) . 反思

1 ?1? * 跟踪训练 3.已知 a1 = , an +1 = an + ? ? ( n ∈ N ) ,求数列 {a n } 通项公式. 2 ?2?
四 累乘法:利用恒等式 an = a1 累乘法

n

a a2 a3 ??? n (an ≠ 0, n ≥ 2) 求通项公式的方法称为累乘法, a1 a2 an ?1

累乘法是求型如: an +1 = g ( n)a n 的递推数列通项公式的基本方法(数列 g ( n) 可求前 n 项积). 例四 已知 a1 = 1 , an = n( an +1 ? an ) ( n ∈ N * ) ,求数列 {a n } 通项公式. 【解析】∵ an = n( an +1 ? an ) ,∴ : 1× × × ??? ×

an +1 n + 1 a a a = ,又有 an = a1 2 3 ??? n ( an ≠ 0, n ≥ 2) = an n a1 a2 an ?1

2 3 1 2

n = n ,当 n = 1 时 a1 = 1 ,满足 an = n ,∴ an = n . n-1

反思: 反思 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an +1 = g ( n)a n . 跟踪训练 4.已知数列 {a n } 满足 a1 = 1 , an = a1 + 2a2 + 3a3 + ??? + ( n ? 1) an ?1 ( n ≥ 2) .则

{a n } 的通项公式是.
五 构 造 新 数 列 : 将 递 推 公 式 an+1 = qan + d ( q, d 为 常 数 , q ≠ 0 , d ≠ 0 ) 通 过

(an +1 + x) = q (an + x) 与原递推公式恒等变成 an +1 +
数列.

d d = q ( an + ) 的方法叫构造新 q ?1 q ?1

例五 已知数列 {an } 中, a1 = 1 , an = 2an ?1 + 1( n ≥ 2) ,求 {an } 的通项公式. 【解析】:利用 ( an + x ) = 2( an ?1 + x ) ,求得 an + 1 = 2( an ?1 + 1) ,∴ {an + 1} 是首项为

-2-

a1 + 1 = 2 ,公比为 2 的等比数列,即 an + 1 = 2 n ,∴ an = 2n ? 1
反思:.构造新数列的实质是通过 ( an +1 + x ) = q (an + x ) 来构造一个我们所熟知的等差或 反思 等比数列. 跟踪训练 5.已知数列 中, a1 = 1 , an = 3 倒数变换: 将递推数列 an +1 = 六 倒数变换: 式的方法叫倒数变换. 例六 已知数列 {an } ( n ∈ N * ) 中, a1 = 1 , an +1 =
n ?1

+ an-1 (n ≥ 2) 求数列 {an } 的通项公式.

can 1 d 1 1 (c ≠ 0, d ≠ 0) ,取倒数变成 = + 的形 an + d an +1 c an c

an ,求数列 {an } 的通项公式. 2 an + 1

【解析】:将 an +1 =

?1? an 1 1 1 1 取倒数得: = 2+ ,∵ ? = 2 , ∴ ? ? 是以 2 an + 1 an +1 an an +1 an ? an ?

1 1 1 = 1 为首项,公差为 2 的等差数列. = 1 + 2(n ? 1) ,∴ an = . a1 2n ? 1 an
反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或 反思 公比变化了. 跟踪训练 6.已知数列 {an } 中, , an +1 =

2 an ,求数列 {an } 的通项公式. an + 2

小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求 小结 递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训. 参考答案: 参考答案 1. 证明:由已知可得: S n = 10 ? 1 ,当 n ≥ 2 时 an = S n ? S n ?1 = 9 (10 )
n
n ?1

, n = 1 时,

a1 = S1 = 9 满足上式. ∴ {an } 的通项公式 an = 9 (10 )

n ?1

,n ≥ 2时

an = 10 为常数,所以 an ?1

{an } 为等比数列.
2. 解:由已知可求 a1 = 1 , a2 = 3 , a3 = 5 ,猜测 an = 2n ? 1 .(用数学归纳法证明).

1 ?1? ?1? 3. 由已知 an +1 ? an = ? ? ,∴ an = a1 + ( a2 ? a1 ) + ( a3 ? a2 ) + ???( an ? an ?1 ) = + ? ? 2 ?2? ?2? ?1? + ??? + ? ? ?2?
n?1

n

2

=

3 ?1? ?? ? 2 ?2?

n?1

.

4. n ≥ 2 时, an = a1 + 2a2 + 3a3 + ??? + ( n ? 1) an ?1 , an +1 = a1 + 2a2 + ??? + ( n ? 1) an ?1 + nan
-3-

作差得: an +1 ? an = nan ,∴

an +1 a a a = n + 1 ,∴ 3 = 3 , 4 = 4 , ??? , n = n a3 an a2 an ?1

?1 n = 1 an n! ? ∴ = 3 × 4 × 5 ???×n , a2 = 1 ,∴ an = (n ≥ 2) ,∴ an = ? n ! . a2 2 ?2 n≥2 ?
5. an =

3n ? 1 2

6. an =

2 n +1

-4-


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