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第二章平面向量小结复习课_图文

第二章 平面向量复习小结课

一.基本概念
1.向量及向量的模、 1.向量及向量的模、向量的表示方法 向量及向量的模 B 1)图形表示 1)图形表示 A 有向线段AB 有向线段 2)字母表示 2)字母表示 3)坐标表示 3)坐标表示

r uuu r a = OA = ( x, y) ? 点A( x, y) r uuuu r a = MN = ( xN ? xM , yN ? yM )

a = xi + y j = ( x, y)

uuu r 向量的模 :| a |=| AB | r r r

r uuu r a = AB r

一.基本概念
2.零向量及其特殊性 2.零向量及其特殊性

(1)0方向任意 ( 2 )0 // a ( 3 )0 = 0( 4 ) ? 0 = 0 ( 5 )0 + a = a + 0 = a

(6)λ0 = 0
3.单位向量 3.单位向量

(7)0? a = 0
a |a|

与非零向量 a共线的单位向量 a 0 = ± 共线的单位向量

一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线 区分向量平行、共线与几何平行、
4.平行向量 共线向量) 4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 的向量叫做相等向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 在保持长度和方向不变的前提下, 在保持长度和方向不变的前提下 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 向量可以平行移动 平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量 6.相反向量

? ( ? a ) = a, a + ( ? a ) = 0

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 的向量叫做相反向量

一.基本概念

r r 7.两个非零向量 7.两个非零向量 a与b 的夹角

θ ∈[0,π ]
首要的是通过向量平移, 首要的是通过向量平移,使两个向量共起点

二.基本运算(向量途径) 基本运算(向量途径) 1.向量加法的三角形法则 向量加法的三角形法则

r r uuu uuu uuur r r a + b = AB + BC = AC

首尾相接

2.向量加法的平行四边形法则 2.向量加法的平行四边形法则 共起点

r r uuu uuur uuur r ABCD中, + b = AB + AD = AC a
向量加法的运算律(交换律、结合律) 向量加法的运算律(交换律、结合律)

3.向量减法的三角形法则 向量减法的三角形法则

r r uuu uuur uuu r r a ? b = AB ? AD = DB

共起点

在同一个平行四边形中把握: 在同一个平行四边形中把握: a, b, a + b, a ? b 及其模的关系 D C

b
A

a

B

uuu uuur uuu uuu r r r AB = DC; AD = BC uuur r r AC = a + b; uuu r r r DB = a ? b
2 2 2

|| a | ? | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b |
| a + b | + | a ? b | = 2(| a | + | b | )
2

二.基本运算(向量途径) 基本运算(向量途径)
3.实数与向量的积 3.实数与向量的积

λa

是一个向量

运算律

a λa是一个与 共线的向量

二.基本运算(向量途径) 基本运算(向量途径)

r r 4.两个非零向量 数量积 4.两个非零向量 a与b 的数量积 r r r r a ? b =| a | ? | b | cos θ
向量数量积的几何意义

运算律

r r r | b | cos θ 叫做向量b在a方向上的投影
r r a ?b = r |a|
可正可负可为零

若 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), 则 r r 1) a + b = ( x1 + x 2 , y 1 + y 2 ) r r 2) a ? b = ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) r ( λ x1 , λ y 1 ) 3)λ a = r r 4) a ? b = x1 ? x 2 + y 1 ? y 2

.基本运算(坐标途径) 二r 基本运算(坐标途径) r

r r r 2 2 x1 + y 1 5) | a |= a ? a = r r x1 ? x 2 + y 1 ? y 2 a ?b r 6) cos θ = uu r = 2 2 x1 + y 1 ? x 2 + y 2 | a ||b | 2 2

三.两个等价条件

r r 2.非零向量 a和b r r r r a ⊥ b ? a ?b = 0

若 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 r r 1.向量 a和非零向量 b r r r r a // b ? 有唯一的实数λ,使a = λ b x1 ? y 2 ? x 2 ? y 1 = 0

x1 ? x 2 + y 1 ? y 2 = 0

四.一个基本定理
2.平面向量基本定理 2.平面向量基本定理
e e2 如果 1、 是同一平面内的两个不 共线的 向量 那么对于这一平面内的 , 任一向量 , a 有且只有一对实数 1, λ2 , 使a = λ1e1 + λ2e2 λ e e2 把不共线的向量 1、 叫做表示这一 基底 . 平面内所有向量的一组

利用向量分解的“唯一性” 利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组

五.应用举例

向量加减法则

uuu r uuu r r r r r uuuu r 设OA = a, OB = b, 试用a, b表示 MN

例1.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 1.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 如图平行四边形OADB的对角线OD C,线段BC上有一点 满足BC=3BM,线段CD 线段BC上有一点M BC=3BM,线段CD上有一 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 满足CD=3CN, 点N满足CD=3CN,

五.应用举例
例2.

向量的长度与夹角问题

r r o 已知两单位向量a与b的夹角为120 ,若 r r r u r r r r u r c = 2a ? b, d = 3b ? a, 试求c与d的夹角的 余弦值.

五.应用举例
例3.

平行与垂直问题

r r r 平面内给定三个向量a = (3, 2), b = (?1, 2), c = (4,1) r r r 1)求满足a=mb+nc的实数m,n; r r r r 2)若(a+kc)⊥(2b-a),求实数k; u r u r r r r u r r u r 3)若d满足(d -c)//(a+b),且|d -c|= 5,求d .

五.应用举例
例4.

平行与垂直问题

r r 已知向量a =(cosα ,sinα ), b=(cosβ ,sinβ ), rr r r r r 且 a, b满足关系 | k a + b |= 3 | a ? kb | (k > 0) r r 1)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k); r r r r 2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能,则 说明理由;若能,求出对应的k值; r r 3)求a与b夹角的最大值.

已知平行四边形ABCD的三顶点 A(-1, 例5. 已知平行四边形 的三顶点 - -3),B(3,1),C(5,2),求第四个顶点 和 , , , , ,求第四个顶点D和 1 中心M的坐标 中心 的坐标 M (2, ? ) D(1,- ,-2) ,- 2 已知a=(1,1),b=(-4,5),分别求 ,b 例6. 已知 , , - , ,分别求a, 的单位向量。 的单位向量。
2 2 a0 = ( , ) 2 2

4 41 5 41 b0 = (? , ) 41 41

例7. 在正八边形A1A2A3……A8中,设A1A2=a, 在正八边形 ,

A1A8=b,试用 ,b表示: 表示: ,试用a, 表示

uuuur uuuuu uuuuu uuuur uuuuu uuuur r r r A2 A3 , A2 A4 , A4 A5 , A5 A6 , A6 A7 , A7 A8
A6 A5 A4 A3

uuuur A2 A3 = 2a + b
uuuuu r A2 A4 = (1 + 2)a + (1 + 2)b

A7 A8 b A1 a A2

某人由点O出发向西走 例8.某人由点 出发向西走 某人由点 出发向西走2km,再向西偏北 , 30°走3km,再向北偏东 °走4km,再向北 ° ,再向北偏东45° , 到达M地 地相对于O地的地理位 走5km到达 地,求M地相对于 地的地理位 到达 地相对于 置(距离和方向 。 距离和方向)。 距离和方向

uuuu r | OM |= 9.5km

北偏西11° 北偏西 °

已知a=(3,- ,b=(-1,0), ,-2), - , , 例9. 已知 ,- 的坐标; (1)求向量 -2b的坐标; (11,6) )求向量3a- 的坐标 , 的长度; (2)求a+3b的长度; ) 的长度 行向量 2

(3)求x的值,使xa+(3-x)b与3a-2b为平 的值, ) 的值 - 与 - 为平 x=9

已知向量a=(1,5),b=(-3,2),求a 例10. 已知向量 , , - , , 方向上的正射影的数量。 在b方向上的正射影的数量。 方向上的正射影的数量

a ? b 7 13 | a | ? cos < a, b >= = |b| 13

今日作业 1.系统复习平面向量一章的基础知识 1.系统复习平面向量一章的基础知识 2.完成《作业本》中平面向量一章的习题 2.完成《作业本》 完成 下周二单元检测