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高二数学两条直线的交点坐标1


3.3.1

两条直线的交点坐标

1 .两条直线的交点坐标
思考: 几何元素及关系 点A 代数表示

A(a,b)
l:Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0

直线l
点A在直线l上

直线l1与l2的交点是A

点A的坐标是方程组 A1 x? B1 y ?C1?0 A2 x? B 2 y ?C 2?0 的解

?

结论1:求两直线交点坐标方法-------联立方程组

2. 二元一次方程组的解与两条直线的位置关系

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? A1x ? B1 y ?C1?0? ? ? ?l1 , l2重合 无穷多解 ? ? A2 x ? B2 y ?C 2?0 ? ?l , l ? ? 无解 ? 1 2平行

例1:求下列两条直线的交点: l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.
解:解方程组 3x+4y-2 =0 2x+y+2 = 0 得 x= -2 y=2

M -2

y 2 0 x

∴l1与l2的交点是M(- 2,2)

l1
l2

例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 : l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
x-2y+2=0 得 x= 2 解:解方程组 y=2 2x-y-2=0 ∴l1与l2的交点是(2,2)

设经过原点的直线方程为 y=k x
把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 x-y=0

练习1:下列各对直线是否相交,如果相交,求出交点的

坐标,否则试着说明两线的位置关系: ? (1)l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0; ? (2)l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; ? (3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;

解:(1)x=5/2,y=5/2,两直线有交点(5/2,5/2) (2)方程组无解,两直线无交点。 l1‖l2

(3)两方程可化成同一个方程,两直线有无数个交点。 l1与l2重合

当?变化时, 方程 3 x ? 4 y ? 2 ? ? ( 2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形 ?图形有何特点 ?

? =-1时,方程为x+3y-4=0

? =0时,方程为3x+4y-2=0 ? =1时,方程为5x+5y=0

y l1 l3 l2

0

上式可化为:(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0

x

发现:此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束(直线集合)

3.共点直线系方程:
A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。 回顾例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
解:设直线方程为x-2y+2+λ(2x-y-2)=0,

因为直线过原点(0,0),将其代入上式可得: λ=1 将λ=1 代入 x-2y+2+λ(2x-y-2)=0得: 3x-3y=0即x-y=0为所求直线方程。

练习2:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点, 且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。
解法一:解方程组 x=3 x+2y-1=0, 得 y= -1 2x-y-7=0 ∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)

又∵直线x+2y-5=0的斜率是-1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0 解法二:所求直线在直线系2x-y-7+λ(x+2y-1)=0中 经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0 2+λ - ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ-1 因此,所求直线方程为3x-y-10=0 ∴

4.能力提升:
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上,则m 的值是 (A)0 (B)-24 (C)±6 (D)以上都不对 ②若直线x-y+1=0和x-ky = 0相交,且交点在第二象 限,则k的取值范围是 (A)(-∞,0) (B)(0,1] (C)(0,1) (D)(1,+∞) ③两直线x-y-1=0,3x+y-2=0与y轴所围成的三角形的面积 为 (A)9/4 (B)9/8 (C)3/4 (D)3/8 ④已知不论m取何实数值,直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过 一定点,则这点的坐标为 (A) m≠0 (B) m≠-3/2 (C) m≠1 (D) m≠0,m≠-3/2,m≠1

⑤当k为何值时,直线 y=kx+3过直线 2x-y+1=0与y= x+5 的交点? K=3/2

1. 两直线交点的求法---联立方程组。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用

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滴滴的解释着。旁边被百蝶遗忘的慕容凌娢可谓是坐立不安,不知该怎么做,只好呆呆地看着他们沉浸在自己的“二人世界”之中。“韩公子, 昨天礼部张大人来过,百蝶听他说明年的会试定会由他主持……”百蝶突然转移了话题。“啪”的一声,那位公子猛然将手中杯子放在桌上,茶 水溅到了桌子。把正在发愣的慕容凌娢吓了一跳。喝茶就喝茶,怎么突然就生气了,我想喝还不行呢……说好了回来就吃东西,可我都等了这么 多章了,还只是坐在这里当背景……再不吃东西我就真的要挂了!“笑话!会试的主考官向来是由圣上定夺,他一个礼部侍郎竟敢如此揣测圣意, 真是太放肆了。”他皱了皱眉,然后脸上出现了不屑的笑,“倒是百蝶,你怎么开始在意这种事了呢?”“百蝶不是有意要惹公子生气的。”百 蝶低着头小声说,颇有一副无辜的样子,“只是……只是那天张大人喝多了酒,说得话有些猖狂……”“无妨,我又不会怪你。”他爱抚的将百 蝶搂在怀里,安慰她道,“这种人的言论你不要太在意就是了。”猖狂也是要有本钱的,谁让人家权高位重,你们在这说这些有什么用?再说下 去,一条人命就要被你们给间接杀害了。慕容凌娢不满的撇了撇嘴。不行,他们两个在那里不停地唧唧歪歪,鬼知道什么时候会说完。我必须想 办法让那个撩妹的家伙赶快离开,不然我迟早是饿死的料。“据我所知,会试历来是由礼部主持。”慕容凌娢生硬的插嘴道,“所以……不管你 怎么说,都是改变不了这个事实的。”“这位是……”那人在此时才注意到了慕容凌娢。原来你刚才根本就没有正眼看我啊?现在才发现我的存 在,也太不尊重人了吧……慕容凌娢平复了一下自己的情绪,仔细想想,这也不能怪他啊,毕竟自己在这里如坐针毡的等了半天,都没有敢发表 一下自己的意建,他没注意也是可以理解的。“这是我的远房表妹,初次来京城。没见过世面,也不懂礼数,还请公子恕罪。”百蝶一边介绍一 边用眼神示意慕容凌娢别在多说,“白绫,还不快给韩公子赔罪!”为什么要我给他赔罪?我说的明明就是实话啊。慕容凌娢看了他一眼,并没 有要道歉的意思。那人没有等到慕容凌娢的道歉,倒是产生了一丝惊奇。“原来如此,我说怎么没见过,原来不是醉影楼的人啊。”他饶有兴趣 的看了一眼慕容凌娢,继续说到,“这醉影楼里,还从未有人敢反驳我。”“没有人反驳不代表你是正确的,而且大多数客观存在的事情即是不 用反驳,也是事实。”“你的大道理还真有意思。”他起身便准备离去,“别被你所相信的真理给骗了。”“韩公子……莺凝,去送送韩公子。” 百蝶对站在走廊上的一个女子说道。可算是走了,慕容凌娢心里高兴的不能行,可偏偏还要装出什么都不知道的样子。可


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