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高等数学导数公式大全 PPT_图文

导数的基本公式与运算法则

基本初等函数的导数公式

c' ? 0 (c为任意常数)

(x? )? = ?x? -1 .

(ax)? = ax lna . (ex)? = ex.

(loga

x)? ?

1 x lna

.

(ln x)? ? 1 . x

(sin x)? = cos x.

(cos x)? = - sin x.

(tan x)? = sec2x .

(cot x)? = - csc2x .

(sec x)? = sec x tan x . (csc x)? = - csc x cot x .

另外还有反三角函数的导数公式:

1

(arcsin x)? ?

,

1- x2

(arccos x)? ? - 1 , 1- x2

(arctan x )?

?

1 1? x2

,

(arccot

x)?

?

1

-1 ? x2

.

导数的四则运算

定理2. 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导, 则它们的和、差、积与商 v( x) (u( x) ? 0)
u( x) 在 x 处也可导,且
(u(x) ? v(x))? = u?(x) ? v ?(x);

(u(x)v(x))? = u(x)v?(x) + u?(x)v(x);

?

????

v( u(

x) x)

????

u( x)v?( x) - u?( x)v( x)

?

[u( x)]2

.

推论 1 (cu(x))? = cu?(x) (c 为常数).

推论 2

????

1 u( x)

? ????

?

-

u?( x) u2 ( x)

.

乘法法则的推广:

(uvw) ' ? u 'vw ? uv ' w ? uvw'

补充例题: 求下列函数的导数:

例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1,求 f ?(x) 及 f ?(0).

解 根据推论 1 可得 (3x4)? = 3(x4)?, (5cos x)? = 5(cos x)?,又(x4)? = 4x3,(cos x)? = - sin x, (ex)? = ex, (1)? = 0,



f ?(x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ?

= (3x4) ? -(ex )? + (5cos x) ? - (1)? = 12x3 - ex - 5sin x .

f ?(0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1

例 2 设 y = xlnx , 求 y ?.
解 根据乘法公式,有
y? = (xlnx)? = x (lnx)? ? (x)?lnx
? x ? 1 ? 1? ln x x
? 1? ln x.

例3



y

?

x x2

-1 ?1

,



y

?.

解 根据除法公式,有

y?

?

?? ?

x-1

? ?

x

2

?

1

? ?

?

(x2

?

1)( x

- 1)? (x2

- (x2 ? 1)2

?

1)?( x

-

1)

?

(x2

?

1)[(

x)?

-

(1)?] - [( x2 ( x2 ? 1)2

)?

?

(1)?](

x

- 1)

?

(x2

? 1) - 2x( x ( x 2 ? 1)2

- 1)

?

2x (x2

x2 ?1 ? 1)2

.

教材P32 例2 求下列函数的导数:

(1) y ? x3 - cos x (2) y ? x2ex

(3)

y

?

x 1- x2

(4) y ? 2x3 ? 3x sin x ? e2

解:

(1) y ' ? (x3 - cos x) ' ? (x3) '- (cos x) ' ? 3x2 ? sin x

(2) y ' ? (x2ex ) ' ? (x2 ) 'ex ? x2 (ex ) ' ? 2xex ? x2ex ? (x ? 2)xex

(3)

y'

?

x ( )' 1- x2

?

x '(1-

x2 ) - x(1(1- x2 )2

x2 ) '

?

1-

x2 - x(-2x) (1- x2 )2

? 1? x2

(1 - x2 )2

(4) y ' ? (2x3) '? (3x sin x) '? (e2 ) '? 2(x3 )'-3(x sin x)'?0 ? 6x2 - 3(sin x ? x cos x)

高阶导数

如果可以对函数 f(x) 的导函数 f ?(x) 再求导,

所得到的一个新函数,称为函数 y = f(x) 的二阶导数,

记作 f ?(x) 或 y? 或

d2 y dx2 .

如对二阶导数再求导,则

称三阶导数,记作 f ??(x) 或

d3 y dx 3

.

四阶或四阶以上导

数记为 y(4),y(5),···,y(n) 或

d4 y dx 4

,

···,dn y
dx n

,

f ?(x) 称为 f (x) 的一阶导数.

而把

例3 求下列函数的二阶导数
(1) y ? x cos x (2) y ? arctan x
解:
(1) y ' ? cos x ? x(-sin x) ? cos x - xsin x
y"? -sin x - (sin x ? x cosx) ? -2sin x - x cosx

(2)

y'? 1 1? x2

? - 2x (1 ? x 2 )2

y"

?

-

(1 ? (1 ?

x2 )' x2 )2

二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算

复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u ? u(x)在点x可导,函数y=f (u) 在点u处可导,则复合函数y ? f (u(x)) 在点x可导,且 dy ? dy ? du dx du dx 或记作: dy ? f '(u) ?u '(x) dx
推论 设 y = f (u) , u = ? (v), v = ? (x) 均 可导,则复合函数 y = f [? (? (x))] 也可导,
y?x ? y?u ? uv? ? v?x .

以上法则说明:复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

例4.求下列函数的导数:

1)y ? (3x2 ?1)3;

2) y ? sin( x - 2);

3) y ? ln cos x;

4) y ? etan x ;

5) y ? 2-x

解:(1)函数可以分解为y ? u3(x),u(x) ? 3x2 ?1, y ' ? [u3(x)]' ? 3u2 (x) ?u(x) ' ? 3(3x2 ?1)2 ? (3x2 ?1) '
? 3(3x2 ?1)2 ? 6x ? 18x(3x2 ?1)2

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(2)把 x - 2当作中间变量, y ' ? cos( x - 2) ? ( x - 2) ' ? cos( x - 2) ? 1 2x ? cos( x - 2) 2x

(3)把 cos x当作中间变量,

y ' ? 1 ? (cos x) ' ? - sin x ? - tan x

cos x

cos x

(4) 把 tan x 当作中间变量, y ' ? (etan x ) ' ? etan x ? (tan x) ' ? sec2 xetan x
(5) 把 - x 当作中间变量, y ' ? (2-x ) ' ? 2-x ln 2?(-x) ' ? -2-x ln 2

求导方法小结:
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出.
复合函数求导的关键: 正确分解初等函数 的复合结构.

练习:求下列函数的导数(课堂练习) (1)y ? (-1? x2 )3; (2) y ? cos 3x; (3) y ? x2 - 3x ? 2;

(4)lg cos(3 ? 2x2 )

解: (1) y ' ? 6x(-1? x2 )2

(2) y ' ? -3x ln 3?sin 3x

(3) y ' ? 2x - 3 2 x2 - 3x ? 2

(4)

y

'

?

[cos(3 ? 2x2 )]' cos(3 ? 2x2 )

?

- sin(3 ? 2x2 ) cos(3 ? 2x2 )

?

(3

?

2x2

)

'

?

-4x

tan(3

?

2x2

)

例5:求下列函数的导数

(1)y ? cosx2

(2)y ? ex2 -3x-2

(3)y ? ln ln ln x (4)y ? ln(x ? x2 ?1)

隐函数的导数
y与x的关系由方程F(x,y)=0确定,未解出因变量的 方程F(x,y)=0所确定的函数y ? y(x)称为隐函数

例6 设函数y ? y(x)由方程y ? 1? xey所确定,求 dy . dx
解:上式两边对x求导,则有y '=(1) '? (xey ) ',即

y ' ? ey ? x ? (ey ) ? ey ? x ? ey ? y '

? (1- xey ) y ' ? ey

?

y

'

?

ey 1- xey

隐函数的求导步骤: (1)方程两边对x求导,求导过程中把y视为中间变量,
得到一个含有y '的等式; (2)从所得等式中解出y '.

例7 设函数y ? y(x)由方程y - cos(x2 ? y2 ) ? x所确定,求 dy .

解:方程两边分别对x求导,得

dx

x ' ? y '? sin(x2 ? y2 ) ? (x2 ? y2 ) '

? 1 ? y '? sin(x2 ? y2 ) ? (2x ? 2 yy ')

? 1 ? y '? 2x sin(x2 ? y2 ) ? 2 y sin(x2 ? y2 ) ? y '

? [1? 2 y sin(x2 ? y2 )]y ' ? 1- 2x sin(x2 ? y2 )

? y ' ? 1- 2x sin(x2 ? y2 ) 1? 2 y sin(x2 ? y2 )

练习:设函数y ? y(x)由方程xy ? y2 ? 2x所确定,求 dy . dx
解:两边分别对x求导,得 (xy) '? ( y2 ) ' ? 2
? y ? x ? y '? 2 y ? y ' ? 2 ? (x ? 2y)? y ' ? 2 - y ? y'? 2- y
x ? 2y

二元函数的偏导数的求法

求 z ? f (x, y) 对自变量 x (或 y)的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数,直接利用一元函数求导公式和
四则运算法则进行计算.

例1 设函数 f (x, y) ? x3 - 2x2 y ? 3y4,



f

?
x

(

x,

y),

f

?
y

(

x,

y),

f

?
x

(1,1),

f

?
y

(1,

-1),

解: f x?(x, y) ? (x3 - 2x 2 y ? 3y 4 )?x ? 3x 2 - 4xy
f y?(x, y) ? (x3 - 2x2 y ? 3y4 )?y ? -2x2 ?12y3
f x?(1,1) ? 3?12 - 4 ?1?1 ? -1
f y?(1,-1) ? -2?12 ?12? (-1)3 ? -14

例2 设函数 z ? (x2 ? y 2 ) ln( x2 ? y 2 ), 求 ?z ?z
?x ?y

解:?z ?x

?

(x2

?

y2

)?x

ln( x 2

?

y2

)

?

(x2

?

y2

)[ln(x 2

?

y2

)]?x

?

2x

ln( x 2

?

y2

)

?

(x2

?

y2

)

x2

1 ?

y2

(x2

?

y2

)?x

? 2x ln(x2 ? y2 ) ? 2x

? 2x[ln(x2 ? y2 ) ?1]

类似可得

?z ?y

?

2 y ln( x 2

?

y2)

?

(x2

?

y2)

2y x2 ? y2

? 2 y[ln(x2 ? y2 ) ?1]

二元函数的二阶偏导数

函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数

?z ?x

?

f x? ( x, y),

?z ?y

?

f y?( x, y),

一般说来仍然是 x , y 的函数,如果这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在,则称它们的偏导数是 f (x , y)

的二阶偏导数.

依照对变量的不同求导次序, 二阶偏导数有四

个:(用符号表示如下)

????

?z ?x

????

?
x

?

? ?x

????

?z ?x

????

?2z ? ?x2

? f x??x( x, y) ? z?x?x;

????

?z ?x

????

?
y

?

? ?y

????

?z ?x

????

?

?2z
?
? x? y

f x??y ( x, y)

? z?x?y;

????

?z ?y

??? ? ?x

?

? ?x

????

?z ?y

????

?

?2z ? y? x

?

f y??x ( x, y)

? z?y?x ;

????

?z ?y

????

?
y

?

? ?y

????

?z ?y

????

? ?2z ? y2

? f y??y ( x, y) ? z?y?y .

其中 f x??y ( x, y) 及 f y??x ( x, y) 称为二阶混合偏导数.
类似的,可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数, 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数,而 f x?( x, y) ,
f y?(x, y)称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数.
注:当两个二阶导数连续时,它们是相等的
即 f x??y( x, y) ? f y??x (x, y)

例 3 设 z ? arctan xy,

试求函数的四个二阶偏导函数

?2z ?2z ?x2 ? y2

?2z ? x? y

?2z ? y? x

思考题一
求曲线 y ? 2x - x3上与 x轴平行
的切线方程.

思考题一解答

y? ? 2 - 3x2 令 y? ? 0 ? 2 - 3x2 ? 0

x1 ?

2 3

x2 ? -

2 3

切点为 ?? 2, 4 6 ?? ? 3 9?

?? - 2, - 4 6 ?? ? 3 9?

所求切线方程为 y ? 4 6 和 y ? - 4 6

9

9