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2012届华师一附中高三第一轮复习专题讲座---解析几何中的几个问题

解析几何中的几个问题
(一) 定点与定值 1.已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的 距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N. (1)求 E 的方程; (2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. 解: (1)设 P(x,y),则 ( x ? 2) ? y ? 2 | x ?
2 2

1 2

1 y2 | ,化简得 x2- =1(y≠0) . 2 3

(2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2)(k≠0).与双曲线 x2-

y2 =1 联立消去 3

? 4k 2 x1 ? x2 ? 2 ? ? k ?3 y 得(3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0 由题意知 3-k2≠0 且△>0.设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 ? , 2 ? x x ? 4k ? 3 ? 1 2 k2 ?3 ?
4k 2 ? 3 8k 2 ?9k 2 ? y1y2=k (x1-2)(x2-2)=k [x1x2-2(x1+x2)+4] =k ( 2 +4) = 2 .因为 x1、x2≠-1 k ?3 k ?3 k2 ?3
2 2 2

所以直线 AB 的方程为 y=

???? ? y1 3 y1 3 y1 3 1 (x+1) .因此 M 点的坐标为( , ), FM ? (? , ) .同 2 2( x1 ? 1) x1 ? 1 2 2( x1 ? 1)

?81k 2 ???? ???? ???? ? 3 y2 9 y1 y2 3 3 4 k2 ?3 理可得 FN ? (? , = ? ) .因此 FM ?FN ? (? )2 ? 4k 2 ? 3 4 k 2 2 2( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2 2( x2 ? 1) 9 4( 2 ? ? 1) k ?3 k2 ?3
=0. ②当直线 BC 与 x 轴垂直时,起方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3),AB 的方程为 y=x+1,因此 M 点的 坐标为(

???? ? ???? ???? ???? ? 1 3 3 3 3 3 3 3 3 , ), FM ? (? , ) .同理可得 FN ? (? , ? ) 因此 FM ?FN ? (? ) 2 ? ? (? ) =0 综上 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ???? ???? ? FM ?FN =0,即 FM⊥FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.

2.在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 F.设过点 9 5

T( t, m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 . (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) .
1

解: (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) .由 PF ? PB ? 4 ,得
2 2

9 9 .故所求点 P 的轨迹为直线 x ? . 2 2 1 5 1 20 (2)将 x1 ? 2, x 2 ? 分别代入椭圆方程,以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得:M(2, ) 、N( , ? ) .直 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 ,直线 NTB 方程为: ? 5 3 ?0 2?3 3
2 ( x ? 2)2 ? y2 ? [(x ? 3) ? y2 ]? 4,化简得 x ?

?x ? 7 5 5 y ?0 x ?3 ? ,即 y ? x ? .联立方程组,解得: ? ? 10 ,所 20 1 6 2 ?y ? 3 ? ?0 ?3 ? 9 3 10 以点 T 的坐标为 (7, ) . 3 y?0 x?3 m ? ( x ?3) ,直线 NTB 方程为: (3)点 T 的坐标为 (9, m) .直线 MTA 方程为: ,即 y ? m?0 9?3 12
y ?0 x?3 m x2 y2 ? ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , ,即 y ? ( x ? 3) .分别与椭圆 m?0 9?3 6 9 5

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m , ) 、 N( ,? ). 解得: M ( 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一) x1 ? x2 时, 当 直线 MN 方程为: . y ? 0, 令 ? 40m 20m 3(80 ? m2 ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 y?
解得: x ? 1 .此时必过点 D(1,0) .当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) . 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) .

240 ? 3m2 3m2 ? 60 ? (方法二)若 x1 ? x2 ,则由 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 ,此时直线 MN 的方程为 80 ? m2 20 ? m2
x ? 1 ,过点 D(1,0) .若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m 2 10m ,得 kMD ? kND ,所以直线 MN 过 D 点.因此,直线 MN ? 20 ? m ? 2 3m ? 60 40 ? m2 ?1 20 ? m2

必过 x 轴上的点(1,0) . (二)角与距离

2

m2 x2 1.已知 m>1,直线 l : x ? my ? ? 0 ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1 , F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 2 m
(1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (2) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, AF F2 , BF F2 的重心分别为 G , H . 若原点 O 在以线段 GH V 1 V 1 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围. 解: (1)因为直线 l : x ? my ?

m2 m2 2 ,得 m ? 2 ,又因为 ? 0 经过 F2 ( m 2 ? 1, 0) ,所以 m 2 ? 1 ? 2 2
2

2 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? ?0. 2
? m2 x ? my ? ? m2 ? 2 2 ? 1 ? 0 ,则 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .由 ? 2 ,消去 x 得 2 y ? my ? 4 ? x ? y2 ? 1 ? m2 ?
m2 m m2 1 2 2 ? 1) ? ?m ? 8 ? 0 ,知 m ? 8 ,且有 y1 ? y2 ? ? , y1 ?y2 ? ? . 由 ? ? m ? 8( 4 2 8 2
2

由于 F (?c,0), F2 (c,0), ,故 O 为 F1F2 的中点,由 AG ? 2GO, BH ? 2HO , 1 ∴ G(

????

??? ???? ?

????

x1 y1 x y x ? x2 y1 ? y2 ( x ? x ) 2 ( y ? y2 ) 2 2 , ), h( 2 , 1 ), GH ? 1 2 ? 1 , ), .设 M 是 GH 的中点,则 M ( 1 3 3 3 3 6 6 9 9

由题意可知 2 MO ? GH , 即 4[(

x1 ? x2 2 y ?y ( x ? x )2 ( y ? y )2 ) ? ( 1 2 )2 ] ? 1 2 ? 1 2 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 6 6 9 9

m2 m2 m2 1 m2 1 2 )(my2 ? ) ? y1 y2 ? (m ? 1 ( ? ) 所以 ) ? ? 0 ,即 m2 ? 4 又因为 而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 2 2 8 2 8 2
m ? 1 且 ? ? 0 所以 1 ? m ? 2 .所以 m 的取值范围是 (1, 2) .

2.已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? . 2 a b 3

(1)求双曲线 C 的方程; (2)设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线,l 与双曲线 C 交于不同的两点
2 2

A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值. .w.k.s.5.u.c.o.m

3

? a2 3 ? ? ?c 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 ,∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ,所求双曲线 C 的方程为 解: (1)由题意,得 ? ?c ? 3 ?a ?
x2 ? y2 ? 1. 2

(2)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上,圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为

? 2 y2 x0 ?1 ?x ? 2 2 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 . ? 由 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x0 ? 4 ? x ? 4 x0 x ? y ? y0 ? ? ? x ? x0 ? , 2 y0 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0
2 2 2 8 ?2x0 ? 0 , ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、 且 0 ? x0 ? 2 , 3x0 ? 4 ? 0 , ? ? 16x0 ? 4 B, ∴ 2 且

? 3x

2 0

2 ? 4 ?? 8 ? 2 x0 ? ? 0 .设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

4 x0 , x1 x2 ? 2 3x0 ? 4

??? ??? ? ? 2 ??? ??? ? ? 8 ? 2 x0 OA ? OB 1 ,∵ cos ?AOB ? ??? ??? ,且 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , ? ? 2 y0 3x0 ? 4 OA ? OB
2 2 2 2 2 x0 ?8 ? 2 x0 ? ? 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? 1 2 ?4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? ? 2 ?4 ? 2 ?? 2 ? ? x1 x2 ? ? ? 2 2 ? 3x ? 4 2 ? x 2 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? 3x0 ? 4 0 0 ? ? ?

2 8 ? 2 x0 ? 0 ,∴ ?AOB 的大小为 90? . .w.k.s.5.u.c.o.m 2 3x0 ? 4

3. 已知动圆 M 过定点 P(0, m)(m ? 0) , 且与定直线 l1 : y ? ?m 相切, 动圆圆心 M 的轨迹为 C , 直线 l2 过 点 P 交曲线 C 于 A, B 两点. (1)求曲线 C 的方程; (2)若 l2 交 x 轴于点 S ,且
?

SP SA

?

SP SB

? 3 ,求 l2 的方程;

(3) l2 的倾斜角为 30 ,在 l1 上是否存在点 E 使 ?ABE 为正三角形? 若能,求点 E 的坐标; 若 若不能, 说明理由. 解: (1)依题意,曲线 C 是以点 P 为焦点,直线 l1 为准线的抛物线,所以曲线C的方程为 x ? 4my .
2 2 (2)由题意知 k 存在且 k ? 0 .设 l2 方程为 y ? kx ? m ,代入 x ? 4my 由消去 y

2 得 x ? 4mkx ? 4m ? 0 .设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4mk , x1 x2 ? ?4m ,
2 2

SP SA

?

SP SB

?

m m m( y1 ? y2 ) m[k ( x1 ? x2 ) ? 2m] ? ? ? y1 y2 y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m)
4

?

1 1 m[k ( x1 ? x2 ) ? 2m] m(2m ? 4mk 2 ) ? ? 2 ? 4k 2 ? 3 ,所以 k ? ? , l2 方程为 y ? ? x ? m . 2 2 2 2 2 k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m m
(3)由(1)知 l2 方程为 y ?

3 4 3 x ? m 代入 x2 ? 4my ,消去 y 得: x 2 ? mx ? 4m2 ? 0 . 3 3

x1 ? ?

2 3 2 3 m m, x2 ? 2 3m , A(? m, ), B(2 3m,3m) .假设存在点 E ? x0 , ?m? ,使 ?ABE 为正三 3 3 3
16 m. 由 BE ? AE , 3

角形,则 BE ? AB ? AE , | AB |? y1 ? y2 ? 2m ? 即 (?

14 3 14 3 2 3 m 化简得 x0 ? m 因为 E ( m, ?m) , m ? x0 )2 ? ( ? m)2 ? (2 3m ? x0 )2 ? (3m ? m)2 , 9 9 3 3

则 AE ?

448 m ? AB .因此,直线 l 上不存在点 E ,使得 ?ABE 是正三角形. 27

(三)轨迹方程 1.设椭圆 C1 :

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,抛物线 C2 : x ? by ? b . 2 a b

(1)若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; (2)设 A(0,b) Q ? 3 3, ? ,又 M、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个 ,

? ?

5? 4?

交点,若△AMN 的垂心为 B ? 0, b ? ,且△QMN 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程.

? ?

3 ? 4 ?

2 2 2 2 c 解: 1) ( 由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上, 可得: ? b , a ? b ? c ? 2c , 有 由
2 2

c2 1 2 . ? ?e? 2 a 2 2

(2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称,设 M (? x1 , y1 ), N ( x1 , y1 )( x1 ? 0) ,由 ?AMN 的垂心为 B,有

???? ???? ? 3 BM ? AN ? 0 ? ? x12 ? ( y1 ? b )( y1 ? b ) ? 0 . 由 点 N ( x1 , y1 ) 在 抛 物 线 上 , x12 ? by1 ? b2 , 解 得 : 4 b b 5 5 b 5 b y1 ? ? 或y1 ? b(舍去) ,故 x1 ? M b, M (? b, ? ), N ( b, ? ) ,得 ?Q N 重心坐标 ( 3, ) .由 4 4 2 2 4 2 4 1 1 b2 ? b 2 , 所以b=2 , M (? 5, ? ), N ( 5, ? ) ,又因为 M、N 在椭圆上得: 重心在抛物线上得: 3 ? 2 2 4

a2 ?

16 x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 2 y ? 4 . ,椭圆方程为 16 3 4
3

5

(四)对称与范围

G 1. 已知点 G 是△ABC 的重心, A (0, , -1)B (0, , x 轴上有一点 M, M ?CM 1)在 满 A M,
(1)求点 C 的轨迹方程;

???? ?

????? ???? ? ??? ? A ?)? B R ( ??



(2)若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点 P、Q,且满足 AP ? AQ ,试求 k 的取值范围.

???? ?

????

解: (1)设 C(x,y) ,则 G(

x y , ) .因为 GM=λAB(λ∈ R),所以 GM∥ AB.又 M 是 x 轴上一点,则 M 3 3

2 ???? ????? ? x 2 ?x? ( ,0) .又 MA ? MC ,所以 ? ? ? ? 0 ? 1? ? 3 ?3?

x2 ?x ? ? x ? ? y 2 ,整理得 +y2=1(x≠0),此即为 ? 3 ?3 ?
??? ? ???? ?

2

点 C 的轨迹方程. (2)① k=0 时,l 和椭圆 C 有两个不同交点 P、Q,根据椭圆的对称性有 AP ? AQ . 当

? y ? kx ? m, ? ② k≠0 时,可设 l 的方程为 y=kx+m,联立方程组 ? x 2 当 ,消去 y,整理得(1+3k2)x2+6kmx 2 ? y ?1 ? ?3
+3(m2-1)=0(*). 因为直线 l 和椭圆 C 交于不同两点, 所以 Δ=(6km)2-4(1+3k2)· 2-1)>0, 3(m 1+3k2-m2>0. (**).

3 m2 ? 1 6km 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 x1,x2 是方程(*)的两相异实根,所以 x1+x2=,x1x2= , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
则 PQ 的中点 N 0,y0) (x 的坐标是 x0=

?

?

x1 ? x 2 3km m 3km m , =, 0=kx0+m ? y , N 即 ()又 . 2 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m ?1 ??? ???? ? ???? ??? ? 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 AP ? AQ ,所以AN ? PQ , 所以 k·AN=k· ? 3k k =-1, 所以 m= , m= 将 代入 (**) , 3km 2 2 ? 1 ? 3k 2

得 1+3k2=-(

1 ? 3k 2 2 ) >0(k≠0),即 k2<1,所以 k∈ (-1,0)∪ (0,1).综合① 得 k 的取值范围是(-1,1) ② . 2

2.如图,已知 O 为坐标原点,P(a,0)(a>0)为 x 轴上一动点,过 P 作直线交抛物线 y2=2px(p>0)于 A、 B 两点, S△AOB=t· 设 tan∠ AOB. 问: a 为何值时,t 取得最小值, 当 并求出最小值. 解:当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 的方程为 y=k(x-a)(k≠0),联立

?y ? k ? x ? a ?, 消去 y,得 k2x2-2(k2a+p)x+k2a2=0. ? 2 ? y ? 2px,
设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则 x1x2=a2,y1y2=-2pa.当 AB 与 x 轴垂直时,上述结论仍然成立.由 S△AOB=

1 1 1 |OA|· |OB|sin∠ AOB= |OA|· |OB|cos∠ AOB· tan∠ AOB,t= |OA|· |OB|cos∠ AOB,因为 2 2 2
6

|OA|· |OB|cos∠ AOB= OA? OB =x1x2+y1y2,所以 t= 以当 a=p 时,t 有最小值-

???? ??? ?

1 1 1 1 2 1 2 (x1x2+y1y2)= (a2-2ap)= (a-p)2p ≥- p ,所 2 2 2 2 2

1 2 p. 2

7