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解三角形高考题选


新宁一中高一数学

1.(2010 年高考福建卷理科 19) (本小题满分 13 分) 某港口 O 要将一件重要物品送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发 时,轮船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。 假设该小船沿直线方向 以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为 多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方 案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮 船相遇,并说明理由。

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2.(2007 山东理)(本小题满分 12 分)如图, 甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向 航行, 乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船 位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船 航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的 北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

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【答案】解如图,连结 A1B2 , A2 B2 ? 10 2 ,
20 A1 A2 ? ? 30 2 ? 10 2 , 60 ?A1 A2 B2 是等边三角形, ?B1 A 1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,

在 ?A1B2 B1 中,由余弦定理得
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ? A1B2 cos 45?

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

2 ? 200 , 2

B1B2 ? 10 2.
10 2 因此乙船的速度的大小为 20 ? 60 ? 30 2.

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

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