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必修4第一章第1节任意角的概念与弧度制





高一 蔡秀梅 林卉





数学





人教新课标 B 版

课程标题 编稿老师 一校

必修 4 第一章第 1 节任意角的概念与弧度制 二校 黄楠 审核 孙永涛

一、 学习目标:
1. 推广角的概念,了解象限角与终边相同的角的概念,并能指出它们的联系。 2. 了解弧度制,能进行弧度与角度的互化。

二、重点、难点
重点:了解弧度制,能进行弧度与角度的互化。 难点:弧度的概念,用集合表示终边相同的角。

三、考点分析:
1. 了解任意角的概念和弧度制。 2. 理解弧度与角度的互化。

一、任意角
1. 任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的,由于旋转有逆时针和顺时针两种方 向,因此旋转所得到的角也有正负之分. 如果角的终边没有做任何旋转,则称该角为零角。 注意:一般情况下,角的始边与 x 轴的正半轴重合,顶点在坐标原点。 2. 正确理解直角坐标系中的角 象限角: 是指始边与 x 轴的正半轴重合, 顶点在坐标原点, 而终边落在某个象限内的角。 注意:终边落在坐标轴上的角叫轴线角,它不属于任何象限角。 3. 终边相同的角:具有同一终边的角的集合。 与角 ? 终边相同的角可用集合表示为{ ? ∣

? ? ? ? k ? 360? , k ? Z } 或 { ? ∣

? ? ? ? 2kπ, k ? Z } 。
二、弧度制
1. 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角。 2. 如果半径为 r 的圆心角 ? 所对的弧长为 l ,那么,角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 3. 弧度制和角度制的相互转化:

l 。 r

180? ? π rad 180 ? π 1rad ? ( ) ? 57?18? , 1? ? rad ? 0.01745 rad 。 π 180

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知识点一:任意角 ? 例 1. 设 A ? {小于 90 的角}, B ? {第一象限的角},则 A ? B ? ( ? A. {锐角} B. {小于 90 的角}
C. {第一象限的角}
?



D. 以上都不对

思路分析:小于 90 的角由锐角、零角、负角组成,而第一象限的角包含有锐角及其他 终边在第一象限的角。 解题过程:由分析, A ? B 由锐角和终边在第一象限的负角组成,所以述 A、B、C 都 不对。故选 D。 解题后的思考:小于 90 的角不都是锐角,它还包含有零角、负角,只有小于 90 的正 角才是锐角。 例2. 如果角 a 与角 q ? 45? 具有同一条终边,角 b 与角 q ? 45? 具有同一条终边,那么 a 与
? ?

b 的关系是什么?
思路分析:根据终边相同的角的定义,先表示出 a 与 b ,再找两者之间的联系。 解题过程:依题意可得, a ? 360? ? m ? q ? 45? , m ? Z ,而 b ? 360? ? n ? q ? 45? ,

n ? Z ,所以 a ? b ? (m ? n) ? 360? ? 90? 。
? ? 因为 m ? Z , n ? Z ,所以 m ? n 也是整数。令 k ? m ? n ,则 a ? b ? k ? 360 ? 90 。

解题后的思考:注意角的表示的统一性。用角度制表示终边相同的角为

360? ? k ? ? ? k ? Z? ,不能写成 2kπ ? ?
例 3. 若 ? 是第二象限角,求

?

?

的形式。

? 所在的象限。 3
?

? ? 思路分析:由于 ? 是第二象限角,仅想到 90 ? ? ? 180 ,从而得到 30 ?

?
3

? 60? ,

得到

? 为第一象限角是错误的。 3
k ? k ? 360? ? 30? ? ? ? 360? ? 60? , k ? Z 。 3 3 3

解题过程:∵ ? 是第二象限角,∴ k ? 360? ? 90? ? ? ? k ? 360? ? 180? , k ? Z , ∴

? ? 当 k ? 3n 时, n ? 360 ? 30 ?

?



? 为第一象限角。 3

3

? n ? 360? ? 60? , n ? Z ,

? ? 当 k ? 3n ? 1 时, n ? 360 ? 150 ?

?
3

? n ? 360? ? 180? , n ? Z ,

? ∴ 为第二象限角。 3
? ? 当 k ? 3n ? 2 时, n ? 360 ? 270 ?

?
3

? n ? 360? ? 300? , n ? Z ,

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? 为第四象限角。 3 ? 综上可知, 为第一、二、四象限角。 3 ? 解题后的思考:由 ? 所在象限,确定 所在象限的其他方法:可先将各个象限 n 等分, n 从第一象限离 x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码 1,2,3,4,直到将所有 ?
∴ 区域标完为止。如果 ? 在第几象限,则 二象限,则

?
3

n

就在图中标号为几的区域内。例如此题, ? 在第

就在图中标号为 2 的区域内,即第一、二、四象限。

例 4. 若 A ? {?

? ? k ? 360? , k ? Z} , B ? {? ? ? k ?180? , k ? Z} ,
) 。 D. A ? B ? C ? ? B. A ? B ? C C. A ? B ? C

C ? {? ? ? k ? 90? , k ? Z},则下列关系中正确的是(
A. A ? B ? C

思路分析: A 表示终边在 x 轴非负半轴上的角, B 表示终边在 x 轴上的角, C 表示终 边在坐标轴上的角。 解题过程:由分析,三个集合之间是相互包含的关系,所以应选 D。 解题后的思考:对于终边为 x 轴的角的集合(即 {? 的 角 的 集 合 ( 即 {?
? ? ? k ? 1 8 ?0? 9 0 ? k, ? ) ,应记熟记牢。 {? ? ? k ? 9 0 k ? Z} ,

,终边为 y 轴 ? ? k ?180? , k ? Z} )

) 终边为坐标轴的角的集合(即 , Z}

知识点二:弧度制
例 5. 已知一扇形的圆心角为 72°,半径等于 20cm ,求扇形的面积。 思路分析:利用弧长公式与扇形面积公式求解。

π 2π ? rad , 180 5 2π 1 1 ? 20 ? 8π ? cm ? ,∴ S ? lR ? ? 8π ? 20 ? 80π ? cm 2 ? 。 ∴l ??R ? 5 2 2
解题过程:设扇形的弧长为 lcm ,∵ 72 ? 72 ?
?

解题后的思考: 解题时应注意扇形的面积公式中需要把圆心角的表示从角度制转化成弧 度制。

例 6. 已知扇形的周长为 10cm ,面积为 4cm ,求扇形圆心角的弧度数。

2

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思路分析:扇形的周长为两条半径与一段弧长之和。因此此题利用面积及周长的条件, 求解出半径与弧长的长度,再利用圆心角等于弧长比半径得到答案。 解题过程:设扇形圆心角的弧度数为 ? ? 0 ? ? ? 2? ? ,弧长为 l ,半径为 r ,则

1 lr ? 4 。② 2 2 联立方程①②,可得 r ? 5r ? 4 ? 0 ,解得 r1 ? 1 , r2 ? 4 。
l ? 2r ? 10 ,①
当 r ? 1 时, l ? 8 ? cm? ,此时 ? ? 8 rad ? 2π rad ,舍去; 当 r ? 4 时, l ? 2 ? cm? ,此时 ? ?

2 1 rad ? rad 。 4 2

解题后的思考:圆心角、扇形周长、扇形面积都包含了半径与弧长的关系,因此已知其 二就可求解出扇形中最基本的量——半径和所对弧长。 例 7. 时钟经过一小时,时针转过了( A. ) 。

π π rad rad D. ? 12 12 1 思路分析:一个小时,时针相当于转过了 周角。 12 1 π 解题过程:时针走一小时, 转过了 ? 2π = rad ,注意角的表示中逆时针旋转为正, 12 6
B. ? C. 所以应选 B。 解题后的思考:钟表的认读,注意每分钟秒针走一圈,分针走 1 格,时针走 小时分针走一圈,时针走 5 格。 例 8. 用角度和弧度分别写出满足下列条件的角的集合: (1)第一象限角; (2)锐角; (3)小于 90 的角; (4)终边与 称的角; (5)终边在直线 y ? x 上的角。 思路分析:第(4)题中应先找到与 示方法表示出来。
?

π rad 6

π rad 6

1 格;每 12

? 角的终边关于 y 轴对 6

? 角的终边关于 y 轴对称的代表角,再依据角的表 6
? ? ?

解题过程: (1)角度表示: ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z , 弧度表示: ?? 2kπ ? ? ? 2kπ ?

?

?

? ?

π ? , k ? Z? 。 2 ?
?

(2)角度表示: ? 0 ? ? ? 90
?

?

? ,弧度表示: ?? 0 ? ? ? π ? 。 ? ? 2? ?
?

π? 2? ? π π (4)可选择主角 π ? ,因此问题转化为写出与 π ? 角的终边相同的角的集合,即 6 6
(3)角度表示: ? ? ? 90 ,弧度表示: ??
?

?

?

? ? ?。

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角度表示: ? ? ? k ? 360 ? 150 , k ? Z ,弧度表示: ??
? ?

? ? π ? ? ? (5)角度表示: ? ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z ,弧度表示: ?? ? ? kπ ? , k ? Z? 。 4 ? ?

?

?

? ?

? ? 2k? ? ? , k ? Z? 。

5 6

?

?

?

解题后的思考:切忌角度制与弧度制在角的集合表示中混用。当角的表示较复杂时,先 找到在 [0, 2π) 中的主角,再考虑加上 2kπ , k ? Z 等信息。

由于实际生活的需要,我们进行了角的概念的推广。在坐标系中学习角时,应区别象限 角与轴线角。通过角的旋转的定义,我们得到了终边相同的角的概念。在圆中学习圆心角的 角度制与弧度制的互化, 即通过周角的数值对应, 建立任意角间两值的联系。 扇形中的弧长、 周长、面积的计算都基于弧度制,因此角度制与弧度制的互化是非常重要的能力。

在学习了终边相同的角的概念后, 我们知道这些角的三角函数值是相等的, 因此只要通 过对一个圆周中角的三角函数值的研究,就可以完成对任意角的三角函数的学习。 请同学们预习 1.2 任意角的三角函数,并思考如何在一个圆中研究三角函数。而圆具有 很好的对称性, 能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢?例如, 能否从单位圆关 于 x 轴、 y 轴、直线 y ? x 的轴对称性以及关于原点 O 的中心对称性等内容出发,获得一些 三角函数的性质呢?

(答题时间:60 分钟)
一、选择题 1. 已知角 ? 、 ? 的终边相同,那么 ? ? ? 的终边在( A. x 轴的非负半轴上 B. y 轴的非负半轴上 C. x 轴的非正半轴上 D. y 轴的非正半轴上 ) 2. 下列各对角中终边相同的角是( )

π π 和 ? ? 2kπ (k ? Z) 2 2 7π 11π C. ? 和 9 9
A. A. 1∶2 B. 1∶4

π 22π 和 3 3 20π 122π D. 和 9 3
B. ? ).
?

3. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2 ,则两个扇形周长的比为( C. 1∶ 2 D. 1∶8

4. 已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的正半轴上,则角 855 是( A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 5. 若 ? 与 ? 的终边互为反向延长线,则有( ). D. 第四象限角



? ? ? ? 180? C. ? ? ??
A. 二、填空题

B.

? ? ? ? 180? ? D. ? ? ? ? (2k ? 1) ?180 , k ? Z

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6. 与 1840° 终边相同的最小正角为 ,与-1840° 终边相同的最小正角 是 . 7. 角 ? 的终边在第二、四象限的角平分线上,则角 ? 的集合为 。 (用弧度 制表示) 8. 在 ? ? k ? 90? ? 45? , k ? Z 表示的所有角中,不重合的终边位置有____ 9. 在 0 到 2?范围内与 ? __个。

19 π 终边相同的角是__ 6

____。 __;一条长

10. 在一个圆中,一条长度等于半径的圆弧所对的圆心角的弧度数是____ 度等于半径的 3 倍的弦所对的圆心角的弧度数是___ 三、解答题 11. 若角 ? 是第三象限角,则 180? ? ? ,180? ? ? 是第几象限角? ___。

12. **一个正常的时钟,自零点开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度 数是多少? 13. *已知扇形周长为 C,当扇形的圆心角?多大时,扇形的面积最大? 14. *在扇形 AOB 中,?AOB= 90 ,弧 AB 长为 m,求此扇形内切圆的面积。 15. ** 已知集合A={x|k?+
?

? ? ?x<k?+ ,k?Z},B={x|4-x2?0},求A?B。 3 2

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1. A

角 ? 、 ? 的终边相同,∴ ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z , ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z , ∴ ? ? ? 的终边在 x 轴的非负半轴上。

2. C 3. C 4. B 5. D
?

11π 7π ? 2π ? 可知,这两个角终边相同。 9 9 由已知相似比为 1: 2 。 ? ? ? 由 855 ? 2 ? 360 ? 135 知,角 855°是第二象限角。 ? ? ? ? 180? ? k ? 360? , k ? Z ,整理得到选项 D.

?

6. 40 , 320 。 7. ??

1840? ? 5 ? 360? ? 40? , ?1840? ? (?6) ? 360? ? 320? 。

? ?

? ? kπ ? , k ? Z? 。
?

π 4

?

8. 4。 当 k=4m(m?Z)时,?=m?360?+45?, 当 k=4m+1(m?Z)时,?=m?360?+135?,当 k=4m+2 (m?Z) 时,?=m?360?+225?, k=4m+3 当 (m?Z) 时,?=m?360?+315?,所以,在?=k?90?+45?,k?Z 表示的所有角中,不重合的终边位置有 4 个.

5? 19 19 19 π 终边相同的角为 ? ? 2kπ ? π, k ? Z , π终 。 与? 所以,在 (0,2?) 中与 ? 6 6 6 6 5? 边相同的角是 . 6 2? l 10. 1, 。 由角的弧度数公式: ? ? 得? ? 1 ;而长度为 3 r 的弦所对的圆心角 3 r 2? 是 . 3 ? ? ? ? 11. 解:若 ? 是第三象限角,则 k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? Z
9. 则 ?k ? 360 ? 180 ? ? ? ?k ? 360 ? 90 , k ? Z ,
? ? ? ?

(k ? 1) ? 360? ? 180? ? ? ? (k ? 1) ? 360? ? 90? , k ? Z , ? ? 所以 180 ? ? 是第四象限角, 180 ? ? 是第一象限角。 ? 12. 解: 设分针转过的弧度为 ? , 则时针转过的弧度为 , 当分针与时针再一次重合时, 12 ? 24 ? ?2π 故 ? ? ? π 。 分针比时针多转过 ?2π 弧度,所以 ? ? 12 11 C 13. 解:设扇形半径为 r,则周长 C=2r+?r,并有 C-2r>0,0<r< , 2 2 1 C 1 C 扇形面积 S= (C-2r)r=-(r- )2+ ,所以,当 r= C 时 S 有最大值, 2 4 4 16 2 C C 此时?r=C-2r = ,即圆心角?=2 时,S 有最大值 . 2 16 ? 14. 解 : 如 图 所 示 : 设 扇 形 的 半 径 为 R, 内 切 圆 半 径 为 r, 则 m= R , 又 因 为 2 R 2( 2 ? 1)m OD=R,HD=r,OH= 2 r,而 OD=OH+HD=(1+ 2 )r=R,所以,r= = ,内切圆 ? 1? 2
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面积 S=

12 ? 8 2 2 m . ?

15. 解:集合 A=…?[-

2? ? ? ? ,- )?[ , )?…, 3 2 3 2 ? ? ? 集合 B=[-2,2],所以,A?B={x|-2?x<- 或 ?x< }. 2 3 2

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