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2012年浙江高考数学(理科)试卷word版(含答案)


2012 浙江省高考数学(理科)试卷 word 版(含答案) 2012 年普通高等学校招生全国统一考试



学(理科)

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? ? x |1 ? x ? 4? ,集合 B ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? (CR B) ?
2

?

?

A. (1, 4)

B. (3 , 4)

C. (1, 3)

D. (1, ? (3 , 2) 4)

2.已知 i 是虚数单位,则 A. 1 ? 2i

3?i ? 1? i B. 2 ? i

C. 2 ? i

D. 1 ? 2i

3.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平 行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.把函数 y ? cos 2 x ? 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

5.设 a , b 是两个非零向量 A.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ? b B.若 a ? b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | C.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则存在实数 ? ,使得 b ? ?a D.若存在实数 ? ,使得 b ? ?a ,则 | a ? b |?| a | ? | b |

6.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共 有 A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种 7.设 S n 是公差为 d ( d ? 0 )的无穷等差数列 ? an ? 的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d ? 0 ,则数列 {S n } 有最大项 B.若数列 {S n } 有最大项,则 d ? 0 C.若数列 {S n } 是递增数列,则对任意 n ? N * ,均有 Sn ? 0 D.若对任意 n ? N * ,均有 Sn ? 0 ,则数列 {S n } 是递增数列

8.如图, F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a , ? 0) 的 b a 2 b2

左、右两焦点, B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近 线分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点

M .若 | MF1 |?| F1 F2 | ,则 C 的离心率是
A.

2 3 3

B.

6 2

C. 2

D. 3

9.设 a ? 0 , b ? 0 A.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b
a b

B. 2 ? 2a ? 2 ? 3b 若,则 a ? b
a b

C.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b
a b

D.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b
a b

10.已知矩形 ABCD , AB ? 1, BC ?

2 .将 ?ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进

行翻折,在翻折过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“ AC 与 BD ”“ AB 与 CD ”“ AD 与 BC ”均不垂直 , ,

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该三棱锥 的体积等于

cm3 .


12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 13.设公比为 q(q ? 0) 的等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n . 若 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q ? 14.若将函数 f ( x) ? x 表示为
5



f ( x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) 2 ? a3 (1 ? x)3 ? ?a4 (1 ? x) 4 ? ?a5 (1 ? x)5 ,
其中 a0 , a1 , a2 ,?, a5 为实数,则 a3 ? .

15.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 , BC ? 10 , 则 AB ? BC ?

??? ??? ? ?



16.定义:曲线 C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1 : y ? x ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于曲线
2

C2 : x 2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到直线 l : y ? x 的距离,则实数 a ?
17.设 a ? R ,若 x ? 0 时均有 ?? a ? 1? x ? 1? x ? ax ? 1 ? 0 , ? ?
2



?

?

则a? . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) ?ABC 中, 在 内角 A ,B , 的对边分别为 a , , . C b c 已知 cos A ?

2 , 3

sin B ? 5 cos C .
(Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

19. (本题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分, 取出一个黑球得 1 分.现从箱中任取(无放回,且每球取道的机会均等)3 个球,记随机变 量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E ( X ) .

20. (本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面是 边长为 2 3 的菱形, ?BAD ? 120? ,且 PA ? 平面 ABCD ,

PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB , PD 的中点.
(Ⅰ)证明: MN ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)过点 A 作 AQ ? PC ,垂足为点 Q ,求二面角

A ? MN ? Q 的平面角的余弦值.

21. (本题满分 15 分)如图,椭圆 C : 离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

1 ,其左焦点到点 P(2 , 1) 的距离为 10 ,不过原点 O 的 .... 2

直线 l 与 C 相交于 A , B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 ?ABP 面积取最大值时直线 l 的方程. 22. (本题满分 14 分)已知 a ? 0 , b ? R ,函数 f ( x) ? 4ax ? 2bx ? a ? b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ? x ? 1 时, (i)函数 f ( x) 的最大值为 | 2a ? b | ?a ; (ii) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? 0 ; (Ⅱ)若 ?1 ? f ( x) ? 1 对 x ?[0 , 恒成立,求 a ? b 的取值范围. 1]

数学(理科)试题参考答案
一、选择题:本题考察基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 2.D 3.A 4.A 5.C 6.D 7.C 8.B 9.A 10.B 二、填空题:本题考察基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11.1 15.-16 12.

1 120 9 16. 4

13. 17.

3 2

14.10

3 2

三、解答题:本题共小题,满分 72 分。 18.本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。

(Ⅰ)因为 0 ? A ? ? , cos A ?

2 ,得 3
5 3

sin A ? 1 ? cos 2 A ?


5 cos C ? sin B ? sin( A ? C )

? sin A cos C ? cos Asin C
?
所以 tan C ? 5 (Ⅱ)由 tan C ? 5 ,得

5 2 cos C ? sin C 3 3

sin C ?
于是

5 1 , cos C ? , 6 6

sin B ? 5 cos C ?
由 a ? 2 及正弦定理

5 . 6

a c ,得 ? sin A sin C

c ? 3.
设 ?ABC 的面积为 S ,则

S?

1 5 ac sin B ? . 2 2

19.本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查 抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分 14 分。 (Ⅰ)由题意得 X 取 3,4,5,6,且

P( X ? 3 ) ?

3 C5 5 ? , 3 C9 42 2 C4 ? C52 5 ? , 3 C9 14

P ( X ? 4) ?

1 C4 ? C52 10 ? , 3 C9 21 4 C4 1 ? . 3 C9 21

P ( X ? 5) ?

P ( X ? 6) ?

所以 X 的分布列为

X P
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

3

4

5

6

5 42

10 21

5 14

1 21

E ( X ) ? 3 ? P( X ? 3) ? 4 ? P( X ? 4) ? 5 ? P( X ? 5) ? 6 ? P( X ? 6) ?

13 . 3

20.本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用, 同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ)因为 M , N 分别是 PB , PD 的中点,所以 MN 是 ?PBD 的中位线,所以

MM / / BD 又因为 MN ? 平面 ABCD ,所以 MM / / 平面 ABCD .
(Ⅱ)方法一: 连结 AC 交 BD 于 O ,以 O 为原点, OC , OD 所在直线为 x , y 轴,建立空 间直角坐标系 Oxyz ,如图所示 在菱形 ABCD 中, ?BAD ? 120? ,得

AC ? AB ? 2 3 , BD ? 3 AB ? 6 .
又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 . P A? A C 在直角 ?PAC 中, AC ? 2 3 , PA ? 2 6 , AQ ? PC ,得

QC ? 2 , PQ ? 4 .
由此知各点坐标如下,

A(? 3 , 0 , 0) , B(0 , ? 3 , 0) , C ( 3 , 0 , 0) , D(0 , 3 , 0) ,
P(? 3 , 0 , 2 6) , M (?

3 3 , ? , 6) , 2 2

N (?

3 3 3 2 6 , , 6) , Q( ,0, ). 2 2 3 3

设 m ? ( x , y , z ) 为平面 AMN 的法向量. 由 AM ? (

???? ?

???? 3 3 3 3 , ? , 6) , AN ? ( , , 6) 知 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? ?

3 3 x ? y ? 6z ? 0 2 2 3 3 x ? y ? 6z ? 0 2 2

取 x ? ?1 ,得

m ? (2 2 , 0 , ? 1)
设 n ? ( x , y , z ) 为平面 QMN 的法向量.

由 QM ? (?

???? ?

???? 5 3 3 6 5 3 3 6 ,? , ) , QN ? (? , , )知 6 2 3 6 2 3
6 z?0 3 6 z?0 3

? 5 3 3 x? y? ?? ? 6 2 ? ?? 5 3 x ? 3 y ? ? 6 2 ?
取 z ? 5 ,得

n ? (2 2 , 0 , 5)
于是

cos ? m , n ??

m?n 33 ? . | m | ? | n | 33

所以二面角 A ? MN ? Q 的平面角的余弦值为 方法二: 在菱形 ABCD 中, ?BAD ? 120? ,得

33 . 33

AC ? AB ? BC ? DA , BD ? 3 AB ,
有因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? AC , PA ? AD , 所以 PB ? PC ? PD . 所以 ?PBC ? ?PDC . 而 M , N 分别是 PB , PD 的中点,所以

MQ ? NQ ,且 AM ?

1 1 PB ? PD ? AN . 2 2

取线段 MN 的中点 E ,连结 AE , EQ ,则

AE ? MN , QE ? MN ,
所以 ?AEQ 为二面角 A ? MN ? Q 的平面角. 由 AB ? 2 3 , PA ? 2 6 ,故 在 ?AMN 中, AM ? AN ? 3 , MN ?

1 BD ? 3 ,得 2

AE ?

3 3 . 2

在直角 ?PAC 中, AQ ? PC ,得

AQ ? 2 2 , QG ? 2 , PQ ? 4 ,
在 ?PBC 中, cos ?BPC ?

PB 2 ? PC 2 ? BC 2 5 ? ,得 2 PB ? PC 6

MQ ? PM 2 ? PQ 2 ? 2 PM ? PQ cos ?BPC ? 5 .
在等腰 ?MQN 中, MQ ? NQ ? 5 , MN ? 3 ,得

QE ? MQ 2 ? ME 2 ?

11 . 2

在 ?AEQ 中, AE ?

3 3 11 , QE ? , AQ ? 2 2 ,得 2 2

cos ?AEQ ?

AE 2 ? QE 2 ? AQ 2 33 ? . 2 AE ? QE 33

所以二面角 A ? MN ? Q 的平面角的余弦值为

33 . 33

21.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解 析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分 15 分。 (Ⅰ)设椭圆左焦点为 F (?c , ,则由题意得 0)

? (2 ? c) ? 1 ? 10 ? , ?c 1 ? ? ?a 2
得?

?c ? 1 ?a ? 2
所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3
y y (Ⅱ)设 A( x1 ,1 ) , B( x2 , 2 ) ,线段 AB 的中点为 M .
当直线 AB 与 x 轴垂直时, 直线 AB 的方程为 x ? 0 , 与不过原点的条件不符, 舍去. 故

可设直线 AB 的方程为

y ? kx ? m(m ? 0) ,
由?

? y ? kx ? m
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

消去 y ,整理得

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 ,


(1)

8km ? ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? ? 64k 2 m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ? 12) ? 0 , ? 2 ? x x ? 4m ? 12 ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
所以 AB 线段的中点 M (?

8km 4m2 ? 12 , ), 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 M 在直线 OP 上,所以

3m ?2km , ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2


3 m ? 0 (舍去)或 k ? ? , 2
此时方程(1)为 3x ? 3mx ? m ? 0 ,则
2 2

? x1 ? x2 ? m ? ? ? 3(12 ? m ) ? 0 , ? m2 ? 3 x1 x2 ? ? 3 ?
2

所以

| AB |? 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 |?

39 ? 12 ? m2 , 6

设点 P 到直线 AB 距离为 d ,则

d?

| 8 ? 2m | 3 ?2
2 2

?

2| m?4| , 13

设 ?ABP 的面积为 S ,则

S?

1 3 | AB | ?d ? ? (m ? 4) 2 (12 ? m2 ) , 2 6

其中 m ? (?2 3, 0) ? (0, 2 3) , 令 u (m) ? (12 ? m )(m ? 4) , m ? [?2 3, 2 3]
2 2

u '(m) ? ?4(m ? 4)(m2 ? 2m ? 6) ? ?4(m ? 4)(m ? 1 ? 7)(m ? 1 ? 7) ,
所以当且仅当 m ? 1 ? 7 , u (m) 取到最大值, 故当且仅当 m ? 1 ? 7 , S 取到最大值. 综上,所求直线 l 方程为 3x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0 . 22.本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识,同时考查推理 论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分 14 分。 (Ⅰ) (i) f '( x) ? 12ax 2 ? 2b ? 12a( x 2 ?

b ) 6a

当 b ? 0 时,有 f '( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增 所以当 0 ? x ? 1 时,

?3a ? b, b ? 2a f ( x) max ? max{ f (0), f (1)} ? max{?a ? b,3a ? b} ? ? ?| 2a ? b | ? a ??a ? b, b ? 2a
(ii)由于 0 ? x ? 1 ,故 当 b ? 2a 时,

f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f ( x) ? 3a ? b ? 4ax3 ? 2bx ? 2a ? 4ax3 ? 4ax ? 2a ? 2a(2 x3 ? 2 x ? 1)
当 b ? 2a 时,

f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f ( x) ? a ? b ? 4ax3 ? 2b(1 ? x) ? 2a ? 4ax3 ? 4a(1 ? x) ? 2a ? 2a(2 x3 ? 2 x ? 1)

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 1 ,则
3

g '( x) ? 6 x 2 ? 2 ? 6( x ?
于是

3 3 )( x ? ), 3 3

x
g '( x)
g ( x)
所以, g ( x) min ? g (

0

(0,

3 ) 3

3 3
-

(

3 ,1) 3
0 增

1

+ 1

1



极小值

3 4 3 ) ? 1? ? 0, 3 9

所以 当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0
3

故 f ( x)? | 2a ? b | ? a ? f ( x) ? a ? b ? 2a(2 x3 ? 2 x ? 1) ? 0 (Ⅱ)由(i)知,当 0 ? x ? 1 , f ( x) max ?| 2a ? b | ? a ,所以

| 2a ? b | ?a ? 1
若 | 2a ? b | ?a ? 1 ,则由(ii)知

f ( x) ? ?(| 2a ? b | ?a) ? ?1
所以 ?1 ? f ( x) ? 1 对任意 0 ? x ? 1 恒成立的充要条件是

?| 2a ? b | ? a ? 1 , ? ?a ? 0
? 2a ? b ? 0 ? 2a ? b ? 0 ? ? 即 ?3a ? b ? 1 ,或 ?b ? a ? 1 (1) ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?
在直角坐标系 aOb 中, (1)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分, 其中不包括线段 BC , 作一组平行直线 a ? b ? t (t ? R) ,得

?1 ? a ? b ? 3 .
所以的取值范围是 (?1,3] .


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