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【数学】2.5.2 向量在物理中的应用举例1


第二章 平面向量
2.5 平面向量应用举例

2.5.2 向量在物理中的应用举例

问题提出

1.用向量方法解决平面几何问题的基本 思路是什么?
几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化.

2.向量概念源于物理中的矢量,物理中 的力、位移、速度等都是向量,功是向 量的数量积,从而使得向量与物理学建 立了有机的内在联系,物理中具有矢量 意义的问题也可以转化为向量问题来解 决.因此,在实际问题中,如何运用向量 方法分析和解决物理问题,又是一个值 得探讨的课题.

探究(一):向量在力学中的应用

思考1:如图,用两条成120°角的等长 的绳子悬挂一个重量是10N的灯具,根据 力的平衡理论,每根绳子的拉力与灯具 的重力具有什么关系?每根绳子的拉力 是多少?
A

F1+F2+G=0

120° O C

B

|F1|=|F2|=10N

10N

思考2:两个人共提一个旅行包,或在单 杠上做引体向上运动,根据生活经验, 两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小 有什么关系? 夹角越大越费力. 思考3:若两只手臂的拉力为F1、F2,物 体的重力为G,那么F1、F2、G三个力之 间具有什么关系? F1+F2+G=0.

思考4:假设两只手臂的拉力大小相等, 夹角为θ ,那么|F1|、|G|、 F θ 之间的 关系如何? | G |
| F1 |= q 2 cos 2
F1 θ F2

θ ∈[0°,180°)

G

思考5:上述结论表明,若重力G一定, 则拉力的大小是关于夹角θ 的函数.在物 理学背景下,这个函数的定义域是什么? 单调性如何?

|G | | F1 |= , θ ∈[0°,180°) q 2 cos 2

思考6:|F1|有最大值或最小值吗?|F1| 与|G|可能相等吗?为什么?

探究(二):向量在运动学中的应用

思考1:如图,一条河的两岸平行,一艘 船从A处出发到河对岸,已知船在静水中 的速度|v1|=10㎞/h,水流速度|v2|= 2㎞/h,如果船垂直向对岸驶去,那么船 的实际速度v的大小是多少?
|v|= 104 ㎞/h.
A

思考2:如果船沿与上游河岸成60°方向 行驶,那么船的实际速度v的大小是多少?
v1 v 60° v2

|v|2=| v1+v2|2=(v1+v2)2=84.

思考3:船应沿什么方向行驶,才能使航 B 程最短? 与上游河岸的夹角为 78.73°.
C v1 A v v2

思考4:如果河的宽度d=500m,那么船 行驶到对岸至少要几分钟? d 0.5 t= = 椿60 3.1(min) |v| 96

理论迁移

例1 一架飞机从A地向北偏西60°方 向飞行1000km到达B地,然后向C地飞行, 若C地在A地的南偏西60°方向,并且A、 C两地相距2000km,求飞机从B地到C地的 位移. 北
B

位移的方向是南偏 西30°,大小是 10 30 km.

西 C

A





例2 一个物体受到同一平面内三个力 F1、F2、F3的作用,沿北偏东45°方向 移动了8m,已知|F1|=2N,方向为北偏东 30°,|F2| =4N,方向为东偏北30°, |F3| =6N,方向为西偏北60°,求这三 个力的合力所做的功. F3 北

W=F· s= 24 6 J.

F1
西 南

F2


小结作业

1.利用向量解决物理问题的基本步骤: ①问题转化,即把物理问题转化为数学 问题;②建立模型,即建立以向量为载 体的数学模型;③求解参数,即求向量 的模、夹角、数量积等;④回答问题, 即把所得的数学结论回归到物理问题. 2.用向量知识解决物理问题时,要注意 数形结合.一般先要作出向量示意图,必 要时可建立直角坐标系,再通过解三角 形或坐标运算,求有关量的值.


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