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弧度制下的扇形问题


弧度制下的扇形问题
224100 江苏省大丰市南阳中学 潘锦明 与扇形有关的问题是本节当中的难点,我们可以应用弧长公式 l ? ? r 和扇形面积公式

1 S ? ? r 2 解决一些实际问题,这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性,又能帮助 2
我们加深对弧度制概念的理解.我们通过以下三例帮你分析、归纳弧度制下的扇形问题. 一、直接应用弧长公式求解 例 1 已知扇形 的中心角为 60 ,所在圆的半径为 10cm ,求扇形的弧长及该弧所在的 弓形面积. 解:设弧长为 1 ,弓形面积为 S弓 ,则 ? ? 60 ?
?

?

π , r ? 10cm , 3

? l ? ar ?

10 1 1 πcm ,? S弓 ? S扇 ? S△ ? lr ? r 2 sin ? 3 2 2

?π 3? 2 ? 50 ? ? ?3 2 ? ? (cm ) ? ?
二、结合三角形性质求解 例 2 扇形的半径为 R ,其中心角 ? (0 ? ? ≤ π) 为多大时,扇形内切圆面积最大,其 最大值是多少? 解:如图,设内切圆半径为 r ,则 ( R ? r )sin

?
2

?r ,

所以 r ?

R sin

?
2 ,

1 ? sin

?

2

? ? R sin ? 2 2 则内切圆的面积 S ? πr ? π ? ? ? 1 ? sin ? 2
sin
因为

? ? ? sin ? ? 2 2 ? ? πR ? ? ? ? 1 ? sin ? ? 2
π , 2

2

? ? ? ? ?

2

?
2

1 ? sin

?
2

? 1?

1 1 sin

且0 ?

?
2



?
2

π πR 2 所以当 ? ,即 ? ? π 时, Smax ? . 2 2 4
评注:解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用,建立相等关系,进而求解. 三、建立二次函数进行求解 例 3 已知一个扇形的周长等于 20cm ,当这个扇形的圆心角取何值时,它有最大面

?

积,最大面积是多少? 解: 设扇形的弧长为 lcm , 半径为 rcm , 扇形中心角为 ? , 由已知条件, 得 l ? 2r ? 20 , 即 l ? 20 ? 2r , ? 扇形的面积为:

1 2 1 1 ar ? lr ? (20 ? 2r )r ? r 2 ? 10r ? ?(r ? 5) 2 ? 25 . 2 2 2 ? 当 r ? 5 时, S 最大,此时 l ? 10 , l ? 当这个扇形的圆心角 ? ? ? 2 时,它有最大面积,最大面积是 25cm2 . r S?
评注:本题是利用扇形面积公式建立二次函数,进而求二次函数的最值.此题是扇形周 长一定时, 求扇形的面积的最大值, 利用此法也可以求当扇形的面积一定求其周长的最小值 问题.


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