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陕西省西安市第一中学2016届高三下学期第一次模拟考试数学(理)


西安市第一中学 2016 届高三第二学期第一次模拟考试 数学试卷(理科)
一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知集合 M = x (x + 2)(x - 2) ≤0 ,N={x|x﹣1<0},则 M∩N=(

9. 执行如图所示的程序框图,则输出的 S=( A.1023 B.512 C.511

)

D.255

10.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P

{

}

是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点, ) 若 A. =3 ,则|QF|=( B. ) C.3 D.6

A.{x|﹣2≤x<1} B.{x|﹣2≤x≤1} C.{x|﹣2<x≤1} D.{x|x<﹣2} 2.设 i 是虚数单位,则复数(1﹣i)(1+2i)=( A.3+3i B.﹣1+3i C.3+i )

D.﹣1+i )

11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示, 则该三棱锥的外接球表面积( A. 29? B. 30? C.
29? 2

3.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=2x2﹣1,则 f(1)的值为( A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2

)

D. 216?
3
4
主视图

4.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,顶角为 120° , 则 E 的离心率为( ) A. B.2 C. D.

12.若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方程 3(f(x))2+ 2af(x)+b=0 的不同实根个数是( A.3 B.4 C.5 ) D.6

2
侧视图

5.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数.从 1, 2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( A. B. C. D. )

俯视图

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a=______. 14.已知 p:﹣2≤x≤11,q:1﹣3m≤x≤3+m(m>0),若? p 是? q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为_______. ) 15.如图,菱形 ABCD 的边长为 1,∠ABC=60° ,E、F 分别 为 AD、CD 的中点,则
π )等于( 4

6.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正 方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形 的面积是 1 ,小正方形的面积是 A.1 B. ? 7 C. 7
1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( 25

25

25

D. ? 24

25

=__________.

7.已知向量 =(cosα,﹣2), =(sinα,1),且 ∥ ,则 tan(α﹣ A.3 B.﹣3 8.下面命题中假命题是( A. ?x∈R,3x>0 B. ?α,β∈R,使 sin(α+β)=sinα+sinβ C. ?m∈R,使 C. ) D.

) 16.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 2ccosB=2a+b,△ABC 的面积为 S=
3 c,则 ab 的最小值为_______. 12

是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增

D. 命题“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1>3x”

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 S3=7 且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=lnan,n=1,2,…,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

21.(12 分)已知 a∈R,函数 f(x)=xln(﹣x)+(a﹣1)x. (Ⅰ)若 f(x)在 x=﹣e 处取得极值,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[ ? e 2 , ?e ?1 ]上的最大值 g(a).

18.(本题满分 12 分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天 的结果如下: (1)求表中 a,b 的值 (2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量 相互独立, ①求 5 天中该种商品恰有 2 天销售量为 1.5 吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元,X 表示该种商品两天销售利润的和(单位:千 元),求 X 的分布列和期望.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答时请在 答题卡上涂黑所做题号. 22.已知四边形 ABCD 内接于⊙O,AD:BC=1:2,BA、 延长线交于点 E,且 EF 切⊙O 于 F. (Ⅰ)求证:EB=2ED; (Ⅱ)若 AB=2,CD=5,求 EF 的长. CD 的

23.在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C

19.(本题满分 12 分)如图,在三棱锥 D-ABC 中, DA=DB=DC, D 在底面 ABC 上的射影 E, AB⊥BC,DF⊥AB 于 F. (Ⅰ)求证:平面 ABD⊥平面 DEF; (Ⅱ)若 AD⊥DC,AC=4,∠BAC=60° , 求直线 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值.

的极坐标方程为 ρsin2θ=4cosθ,直线 l 的参数方程为: 于 M,N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 P(﹣2,﹣4),求|PM|+|PN|的值.

(t 为参数),两曲线相交

24.设函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|(a>1),且 f(x)的最小值为 3. (1)求 a 的值;
x2 y 2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1,F2 ,离心率为 a b
(2)若 f(x)≤5,求满足条件的 x 的集合.

3 4 3 ,点 M 在椭圆上,且满足 MF2⊥x 轴, MF1 ? . 3 3

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 y=kx+2 交椭圆于 A,B 两点,求△ABO(O 为坐标原点)面积的最大值.

试卷答案 1.A 2.C 3.B 4.D
5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.A 12.A 13.3 14.[8,+∞) 15. 16.

c2 1 ? 2 3 ,又由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,可得 a 2 ? 3c 2 , b 2 ? 2c 2 , 20.(I)由已知得 a
得椭圆方程为

17.解:(I)设{an}是公比 q 大于 1 的等比数列,∵a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列, ∴6a2=a3+4+a1+3,化为 6a1q= 联立解得 a1=1,q=2.∴an=2
n﹣1

? 2 3 ? x2 y2 ? ? 1 ,因为点 M 在第一象限且 MF2 ? x 轴,可得 M 的坐标为 ? c, c? , 2 2 3 ? 3c 2c ?
5分

+7+a1,又 S3=a1(1+q+q )=7, .6 分

2

由 F1 M ?

4 4 3 x2 y2 ? ?1 ,解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 4c 2 ? c 2 ? 3 2 3 3

(II)bn=lnan=(n﹣1)ln2,∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= 18.解:(1)∵ =50∴a= =0.5,b= =0.3 3分

n(n + 1) ln2. 12 分 2

(II)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将 y ? kx ? 2 代入椭圆,可得 (3k 2 ? 2) x 2 ? 12kx ? 6 ? 0 由 ? ? 0 ,可得 3k 2 ? 2 ? 0 ,则有 x1 ? x 2 ? ? 所以 x1 ? x2 ?

12 k 6 , x1 x 2 ? 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2

(2)①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p=0.5 设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨,则 X~B(5,0.5) P(X=2)=C5 ×0.5 ×(1﹣0.5) =0.3125 ②X 的可能取值为 4,5,6,7,8,则 p(X=4)=0.2 =0.04
2 2 2 3

2 18k 2 ? 12 因为直线 y ? kx ? 2 与轴交点的坐标为 (0,2) 3k 2 ? 2
2 (18k 2 ? 12) 2 6 ? (3k 2 ? 2) 1 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2
6t 6t ?2 2 ?2 t?4 t ? 8t ? 16 6 6 ? 16 2 t ? ?8 t

7分

所以 ?OAB 的面积 S ?

p(X=5)═2×0.2×0.5=0.2 p(X=8)=0.3 =0.09
2

p(X=6)═0.5 +2×0.2×0.3=0.37

2

2 令 3k ? 2 ? t , 由①知 t ? (0,??) S ? 2

p(X=7)═2×0.3×0.5=0.3

所以 t ? 4 时,面积最大为 所有 X 的分布列为: EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2. 19.(Ⅰ)如图,由题意知 DE ? 平面 ABC 所以 AB ? DE ,又 AB ? DF ,所以 AB ? 平面 DEF 又 AB ? 平面 ABD 所以平面 ABD ? 平面 DEF ……4 分 (Ⅱ)如图建系,则 A(0,?2,0) , D(0,0,2) , B( 3,?1,0) , 所以 DA ? (0,?2,?2) , DB ? ( 3,?1,?2) 设平面 DAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) 12 分

6 . 2

12 分

21.解:(Ⅰ)f'(x)=ln(﹣x)+a, 由题意知 x=﹣e 时,f'(x)=0,即:f'(﹣e)=1+a=0,∴a=﹣1 ∴f(x)=xln(﹣x)﹣2x,f'(x)=ln(﹣x)﹣1 令 f'(x)=ln(﹣x)﹣1=0,可得 x=﹣e 令 f'(x)=ln(﹣x)﹣1>0,可得 x<﹣e 令 f'(x)=ln(﹣x)﹣1<0,可得﹣e<x<0 ∴f(x)在(﹣∞,﹣e)上是增函数,在(﹣e,0)上是减函数, (Ⅱ)f'(x)=ln(﹣x)+a,∵x∈ , ∴﹣x∈ , ∴ln(﹣x)∈ , 6分

? 3 ?n ? DA ? 0 ?? 2 y ? 2 z ? 0 ,?1,1) 由? 得? ,取 n ? ( 3 3 x ? y ? 2 z ? 0 ? n ? DB ? 0 ? ?
设 EB 与 n 的夹角为 ? ,所以 cos? ?

①若 a≥1,则 f'(x)=ln(﹣x)+a≥0 恒成立,此时 f(x)在上是增函数, fmax(x)=f(﹣e﹣1)=(2﹣a)e﹣1 ②若 a≤﹣2,则 f'(x)=ln(﹣x)+a≤0 恒成立,此时 f(x)在上是减函数,

EB ? n | EB | ? | n |
21 7

? 2

2 7 3

?

21 7

fmax(x)=f(﹣e )=﹣(a+1)e

2

2

③若﹣2<a<1,则令 f'(x)=ln(﹣x)+a=0 可得 x=﹣e ∵f'(x)=ln(﹣x)+a 是减函数,

﹣a

所以 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值为

8分

∴当 x<﹣e﹣a 时 f'(x)>0,当 x>﹣e﹣a 时 f'(x)<0

∴f(x)在(﹣∞,﹣e)上左增右减, ∴fmax(x)=f(﹣e )=e ,(13 分)
﹣a ﹣a

综上:

(12 分)

22.证明:(Ⅰ)∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∴∠EAD=∠C,又∵∠DEA=∠BEC,∴△AED∽△CEB, ∴ED:EB=AD:BC=1:2,即 EB=2ED; (Ⅱ)∵EF 切⊙O 于 F.∴EF =ED?EC=EA?EB,设 DE=x,则由 AB=2,CD=5 得: x(x+5)=2x(2x﹣2),解得:x=3,∴EF2=24,即 EF=2
2

23.解:(Ⅰ)根据 x=ρ cosθ 、y=ρ sinθ ,求得曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x, 用代入法消去参数求得直线 l 的普通方程 x﹣y﹣2=0.

2

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为:

(t 为参数),

代入 y2=4x,得到 则 t1+t2=12

,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2, .

,t1?t2=48,∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=

24.解:(1)函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的 x 对应点到 4、a 对应点的距离之和, 它的最小值为|a﹣4|=3,再结合 a>1,可得 a=7.

(2)f(x)=|x﹣4|+|x﹣7|=

,故由 f(x)≤5 可得,

①,或

②,或

③.

解①求得 3≤x<4,解②求得 4≤x≤7,解③求得 7<x≤8, 所以不等式的解集为.


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