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高中数学北师大版必修5 正弦定理和余弦定理 习题课课件(30张)


1. 3 正弦定理和余弦定理习题课 利用正、余弦定理解三角形 2 在△ABC 中,若 c· cos B=b· cos C,且 cos A= ,求 sin 3 B 的值. [解]由 c· cos B=b· cos C, 结合正弦定理得, sin Ccos B=sin Bcos C, 故 sin(B-C)=0,易知 B=C,故 b=c. 2 因为 cos A= ,所以由余弦定理得 3a2=2b2,再由余弦定理得 3 6 cos B= , 6 30 故 sin B= . 6 [方法归纳] 正、余弦定理的变形形式比较多,解题时应根据题目条件的 不同,灵活选择. 1.(1)在△ABC 中,已知 b2=ac,且 a2-c2=ac-bc,则 A= π 3 bsin B 2 ________ , =________ . 3 c (2)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的 边,且 3a=2csin A. ①确定角 C 的大小; 3 3 ②若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2 2 2 2 b + c - a ac+bc-ac 1 2 解:(1)由题意知,b =ac?cos A= = = , 2bc 2bc 2 π 因为 A∈(0,π ),所以 A= . 3 b a 由 b =ac,得 = , c b 2 π bsin B a sin A 3 3 所以 =sin B· =sin B· =sin A= .故填 和 . c b sin B 2 3 2 (2)①由 3a=2csin A 及正弦定理得, a 2sin A sin A = = . c sin C 3 3 因为 sin A≠0,所以 sin C= . 2 π 因为△ABC 是锐角三角形,所以 C= . 3 π ②法一:因为 c= 7,C= , 3 由面积公式得 1 π 3 3 absin = ,即 ab=6.(i) 2 3 2 由余弦定理得, π a +b -2abcos =7, 3 2 2 即 a2+b2-ab=7.(ii) 由(ii)变形得(a+b)2=3ab+7.(iii) 将(i)代入(iii),得(a+b)2=25, 故 a+b=5. 法二:前同法一,联立(i)、(ii) 2 2 2 2 ? ? a + b - ab = 7 , a + b =13, ? ? 得? ?? ? ? ?ab=6 ?ab=6, 消去 b 并整理得 a4-13a2+36=0, 解得 a2=4 或 a2=9. ? ?a=2 ? ?a=3 所以? 或? ? ?b=3 ? ?b=2. 故 a+b=5. 正、余弦定理与三角恒等变形的综合 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c, 且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; π? ? (2)求 sin A+ 的值. 4? ? [解](1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 6 3 由于 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos A= 2 1 2 2 1- = . 9 3 π π 2 2 π? 2 ? 1? ? 故 sin A+ =sin Acos +cos Asin = × +?-3?× 4 4 3 2 4

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