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4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》PPT


1.4.1《任意角的正弦函数、 余弦函数的定义》 4 、 正弦函数和余弦函数 的定义与诱导公式 4.1 单位圆与任意角的 正弦函数、 余弦函数的 定义 1.理解和掌握任意角的正 弦、余弦函数的定义,并 能根据终边上点的坐标求 正弦、余弦函数值; 2.掌握正弦、余弦函数在 各象限的符号,能根据角 的终边位置或角的大小确 定正弦、余弦函数值的符 号; 1.利用三角函数定义求 函数值.(重点) 2.利用角终边上的点的 坐标来刻画三角函数及 符号.(难点) 3.三角函数在各象限的 符号.(易混点) 请你想一想: 锐角的正弦、余弦函数的定义: 斜边 对边 ? 邻边 sin ? ? _____;cos ? ? _____ . 对边 斜边 邻边 斜边 思考:我们在直角坐标系中,如何利用单位圆 来进一步研究锐角 ? 的正弦函数、余弦函数. 当点P(u,v) 就是 ? 的终边与单位圆的交点时, 锐角三角函数会有什么结果? 单位圆 :以原点为O圆心,以单位长度为 y 半径的圆叫做单位圆. MP sin ? ? ? v, OP OM cos ? ? ? u, OP P(u,v) O α M A(1,0) x 我要学: 任意角的正弦函数、余弦函数定义 如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(u,v),那么: (1)v叫做α的正弦,记作sinα, 即sinα=v; (2)u叫做α的余弦,记作cosα, 即cosα=u. P(u,v) O y α A(1,0) x 分析理解: 对于给定的角α,点P的纵坐标v, 横坐标u都是唯一确定的,所以 正弦函数、余弦函数都是以角 为自变量,以单位圆上点的坐 标为函数值的函数. 三角函数 sin ? ? y,cos ? ? x 都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标,为函 数值的函数. 函数 sin ? 定义域 R R y P(X,Y) α M A(1,0) x cos? 角(弧度数) 一一对应 实数 O 三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 你知道吗? 正弦、余弦函数值的符号 y 正弦为正 余弦为负 O 正弦、余弦 全为正 余弦为正 正弦为负 x 正弦、余弦 全为负 2 2 1.若角 α 的终边与单位圆相交于点( ,- ),则 2 2 sinα 的值为( ) 2 2 A. B.- 2 2 1 1 C. D.- 2 2 答案: B 13π 2.cos 的值为( 3 1 A. 2 2 C. 2 ) 3 B. 2 1 D.- 2 答案: A 6 π 3.sin π·cos(- )________0(填“>”或“<”). 19 4 答案: > 任意角的正弦、余弦函数 已知角 α 的终边在射线 y=2x(x>0)上,求 角 α 的正弦、余弦和正切值. 可先设角α终边上任一点的坐标,然后借助 三角函数定义加以解决. [解题过程] 设 α 的终边与单位圆的交点为 P(x,y),则 y=2x(x>0). 2 2 又因为 x +y =1, ? ?x= 5 ? 5 所以? 2 5 ? y= ? 5 ? , 2 5 于是 sin α=y= 5,cos α=x= , 5 5 y tan α= =2. x [题后感悟] 解已知角α的终边在直线上的问题 时,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然 后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函 数值. 1.已知角 α 是第三象限的角,其终 5 边与单位圆相交于点 M(- ,n),求

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